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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Métropole~\decofourright\\12 septembre 2013}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}   

\medskip
 
Une résidence de vacances propose deux types de séjours à la semaine :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] location d'appartement sans demi-pension; 
\item[$\bullet~~$] location d'appartement avec demi-pension (c'est-à-dire que le petit déjeuner et le dîner sont compris).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
Les locataires peuvent également, quelle que soit la formule choisie, participer à une visite de la région.
 
Afin de préparer la saison à venir, le gestionnaire étudie le fichier des locataires des mois de juin, juillet, août et septembre de l'année précédente. Il constate que :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]30\,\% des locataires ont choisi la location avec demi-pension; 
\item[$\bullet~~$]parmi les locataires ayant choisi la location avec demi-pension, 80\,\% ont participé à la visite de la région; 
\item[$\bullet~~$]parmi les locataires ayant choisi la location sans demi-pension, 45\,\% ont participé à la visite de la région.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

Il choisit au hasard une fiche.

\medskip
 
\fbox{\parbox{\textwidth}{Rappel de notations
 
Quel que soit l'évènement A, on note $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire de A et $P$(A) la probabilité que A soit réalisé.
 
De plus, si B est un évènement de probabilité non nulle, on note $P_{\text{B}}(\text{A})$ la probabilité de réalisation de A sachant que B est réalisé.}}

\medskip
 
On note :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement : \og La fiche correspond à un locataire ayant choisi la location avec demi-pension \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement : \og La fiche correspond à un locataire ayant participé à la visite de la région \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\parbox{0.55\linewidth}{\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $P(D)$ et de $P_{D}(V)$. 
		\item Déterminer $P\left(\overline{D}\right)$. Que représente cette valeur ?  
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter sur la copie l'arbre de probabilités ci-contre. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire par une phrase l'évènement $D \cap V$. 
		\item Calculer sa probabilité.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{$0,3$}}
		{
\TR{$V$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}}
		{
\TR{$V$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] Déterminer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un locataire ayant participé à la visite de la région. 
\item[\textbf{5.}] Le gestionnaire de la résidence estime que, parmi les locataires qui s'inscriront à la visite, la moitié aura choisi une location avec demi-pension. 
Que peut-on penser de cette estimation? Justifier la réponse par un calcul. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}   

\medskip 

L'étude des chiffres d'affaires annuels de deux entreprises, notées A et B a conduit à la modélisation suivante :
 
\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le chiffre d'affaires de l'entreprise A augmente de \np{3000} ~\euro{} chaque année ; 
\item[$\bullet~~$]le chiffre d'affaires de l'entreprise B augmente de 5\,\% chaque année.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La première année, chacune de ces deux entreprises a réalisé un chiffre d'affaires de \np{30000}~\euro.
 
On note $a_{n}$ le chiffre d'affaires, en euros, réalisé par l'entreprise A au terme de la $n$-ième année et $b_{n}$ le chiffre d'affaires, en euros, réalisé par l'entreprise B au terme de la $n$-ième année.
 
Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, donne les résultats pour les premières années. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&E &F &G &H\\ \hline 
1&Rang de l'année : $n$& Chiffre d'affaires de l'entreprise A : $a_{n}$& 
Chiffre d'affaires de l'entreprise B : $b_{n}$& 
Chiffre d'affaires cumulé de l'entreprise B \\ \hline
2& 1 &\np{30000} &\np{30000} &\np{30000} \\ \hline 
3 &2 &\np{33000} &\np{31500} &\np{61500} \\ \hline 
4 &3 &\np{36000} &\np{33075} &\np{94575} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip 

\textbf{Partie A : Étude du chiffre d'affaires de l'entreprise A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$ ? Justifier. Préciser son premier terme $a_{1}$ et sa raison. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Calculer le chiffre d'affaires, en euros, réalisé par l'entreprise A au terme de la cinquième année. 
		\item Proposer une formule qui, saisie dans la cellule F3, permet par recopie vers le bas de calculer le chiffre d'affaires annuel de l'entreprise A.
	\end{enumerate} 
\item L'entreprise A décide d'embaucher un salarié dès que son chiffre d'affaires annuel dépassera \np{50000}~\euro.
 
Au terme de quelle année cela lui sera-t-il possible ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude du chiffre d'affaires de l'entreprise B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, saisie dans la cellule G3, permet par recopie vers le bas de calculer le chiffre d'affaires annuel de l'entreprise B ? 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$ ? Justifier. Préciser son premier terme $b_{1}$ et sa raison. 
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer le chiffre d'affaires prévisible pour l'entreprise B au terme de la sixième année. 

\emph{On arrondira le résultat à l'euro près.} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de la somme $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} + b_{6}$.
		 
\emph{On arrondira le résultat à l'euro près.}

Que représente-t-elle ? 
		\item Proposer une formule qui, saisie dans la cellule H3, permet par recopie vers le bas de calculer le chiffre d'affaires cumulé de l'entreprise B.
	\end{enumerate}		 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}   

\medskip
 
La courbe $C$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 4~;~8]$. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
 
$C$ vérifie les propriétés suivantes :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les deux points A et B ont des coordonnées entières et appartiennent à $C$ ; 
\item[$\bullet~~$] la tangente au point d'abscisse $- 2$ est parallèle à l'axe des abscisses ; 
\item[$\bullet~~$] la tangente au point B passe par le point de coordonnées (4~;~ 0). 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1.2)(10,7.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange](-4.5,-1.2)(10,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-4.5,-1.2)(10,7.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4.5,-1.2)(9,7.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{8}{x 4 add 2.71828 0.5 x mul exp div}
\psline[linestyle=dotted]{<->}(-3.1,7.1)(4.3,-0.3)
\psline[linestyle=dotted]{<->}(-3.5,5.436)(-0.5,5.436)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,4)(-4,0)
\uput[ur](0,4){B}\uput[ul](-4,0){A}\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](7.5,0.3){$C$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement les images par la fonction $f$ de $-4$ et de $0$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente à la courbe $C$ au point B.  		\item En déduire la valeur de $f'(0)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Étude de fonction}

\medskip
 
On donne une expression de la fonction $f$sur l'intervalle $[-4~;~8]$ : 

\[f(x) = (x + 4)\text{e}^{-0,5x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte de $f(-2)$. 
		\item En déduire une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $- 2$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que $f'(x) = (- 0,5x - 1)\text{e}^{-0,5x}$.
 \item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-4~;~8]$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-4~;~8]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}   

\medskip
 
L'Indice du Coût de la Construction (ICC) est un indice trimestriel (base 100 au quatrième trimestre de 1953, date de sa création). L'ICC mesure l'évolution du prix de la construction des bâtiments neufs à usage principal d'habitation en France métropolitaine.
 
Le tableau ci-dessous présente les indices du coût de la construction au premier trimestre, de 2000 à 2012.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline  
Indice du Coût de la Construction au premier trimestre : $y_{i}$
&\np{1083} &\np{1125} &\np{1159} &\np{1183} &\np{1225} &\np{1270} &\np{1362}\\ \hline
\multicolumn{8}{c}{~}\\ \hline
Année  &\multicolumn{1}{X|}{~} &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$ &\multicolumn{1}{X|}{~}&7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline  
Indice du Coût de la Construction au premier trimestre : $y_{i}$ &\multicolumn{1}{X|}{~}&\np{1385} &\np{1497} &\np{1503} &\np{1508} &\np{1554} &\np{1617}\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE }}\\
\end{tabularx}  
\end{center}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
 
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
 
Une réponse correcte rapporte 1 point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution global de l'Indice du Coût de la Construction entre les premiers trimestres de 2000 et 2012, en pourcentage, arrondi à l'unité, est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}  
\textbf{a.~~} 16\,\%& 
\textbf{b.~~} 33\,\%& 
\textbf{c.~~} 49\,\%&
\textbf{d.~~} 53\,\%
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Le taux d'évolution moyen annuel de l'Indice du Coût de la Construction entre les premiers trimestres de 2000 et 2012, en pourcentage, arrondi au dixième, est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} 
\textbf{a.~~} 0,9\,\%& 
\textbf{b.~~} 3,1\,\%& 
\textbf{c.~~} 3,4\,\%& 
\textbf{d.~~} 4,1\,\%
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Les coordonnées du point moyen G (arrondies à l'unité) du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ associé à la série statistique sont : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}  
\textbf{a.~~} (6~;~\np{1344})& 
\textbf{b.~~} (6~;~\np{1350})& 
\textbf{c.~~} (6~;~\np{1362})& 
\textbf{d.~~} (6~;~\np{1456})
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, obtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis au dixième) est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}  
\textbf{a.~~} $y = 46,0x + \np{1068,2}$&\textbf{b.~~} $y = 43,2x + \np{1085,7}$\\ \textbf{c.~~} $y = 45,2x + \np{1074,0}$&\textbf{d.~~} $y = 44,5x + \np{1083,0}$
\end{tabularx}
\medskip 
\end{enumerate}
\end{document}