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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small juin 2007}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Métropole juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.

Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le prix d'un article a augmenté de 2\,\%
 par mois chaque mois de l'année 2006.
 
Le taux d'évolution global sur l'année 2006 est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}   inférieur à 24\,\% &\textbf{b.~~}égal à 24\,\% &\textbf{c.~~} supérieur à 24\,\%.
\end{tabularx}

\medskip

Les questions suivantes se rapportent au tableau ci-dessous. C'est un extrait du tableau de l'indice de référence des loyers en France, base 100 au deuxième trimestre 2004, publié par l'INSEE. Les indices sont calculés à la fin de chaque trimestre.


\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|}\hline
Période					&Indice de référence\\ \hline
Premier trimestre 2003	&97,10\\ \hline
Premier trimestre 2004	&99,33\\ \hline
Premier trimestre 2005	&\\ \hline
Premier trimestre 2006	&104,61\\ \hline
\multicolumn{2}{r}{\emph{Source : INSEE}}
\end{tabular}
\end{center}

\item  Sur une année, du premier trimestre 2004 au premier trimestre 2005, les loyers ont augmenté de 2,79\,\%.

Au premier trimestre 2005, l'indice de référence des loyers arrondi à $10^{-2}$ est égal à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}  $102,12$ &\textbf{b.~~} $101,77$ &\textbf{c.~~}  $102,10$\\
\end{tabularx}

\medskip

\item  Entre le premier trimestre 2003 (indice $97,10$) et le premier trimestre 2004 (indice $99,33$), le taux annuel d'évolution des loyers est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}   2,23\,\% (arrondi à 0,01\,\%) &\textbf{b.~~} 2,30\,\% (arrondi à 0,01\,\%) &\textbf{c.~~}  supérieur à 2,40\,\%.
\end{tabularx}

\medskip

\item  Entre le premier trimestre 2004 (indice $99,33$) et le premier trimestre 2006 (indice 104,61) le taux moyen annuel d'évolution des loyers arrondi à 0,01\,\% est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}  2,62\,\% &\textbf{b.~~}  2,31\,\% &\textbf{c.~~}  2,64\,\%.
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le service comptable d'un magasin réalise une étude sur le fichier des clients qui ont fait des achats le premier samedi du mois de novembre 2006.

Il constate que 15\,\% des clients ont effectué leurs achats avec une carte de fidélité. Parmi ceux-ci, 80\,\% ont réalisé des achats d'un montant total supérieur à 50~\euro.

Parmi les clients qui n'ont pas effectué leurs achats avec une carte de fidélité, 60\,\% ont réalisés des achats d'un montant total supérieur à 50~\euro.

On choisit au hasard une fiche de ce fichier. On admet que toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies.

On considère les évènements suivants :

F : \og La fiche choisie indique que le client a effectué ses achats avec une carte de fidélité \fg ; 

S : \og La fiche choisie indique que le client a réalisé des achats d'un montant total supérieur à 50~\euro \fg.

Pour répondre aux questions suivantes, on pourra construire un arbre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la probabilité $P$(F) de l'évènement F.
		\item  Donner $P_{\text{F}}$(S), la probabilité, sachant F, de l'évènement S.
	\end{enumerate}
\item  Décrire par une phrase l'évènement F $\cap$  S.
Calculer la probabilité $P(\text{F} \cap  \text{S})$.
\item  Montrer que la probabilité de l'évènement S est égale à $0,63$.
\item  Les évènements F et S sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant donne le nombre de clients du téléphone mobile en France atteint à la fin de chaque année.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1998	&1999	&2000	&2001	&2002	&2003	&2004	&2005\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$	&0		&1		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Nombre de clients en 
millions $y_{i}$		&11,2	&20,6	&29,7	&37,0	&39,6	&41,7	&44,5	&48,0\\ \hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : ARCEP observatoire des mobiles}}
\end{tabularx}

\medskip

Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ est donnée dans l'annexe, à rendre avec la copie.

Le point G est le point moyen du nuage.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On souhaite réaliser un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients au centième).

À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite D d'équation $y = 4,9x + 16,7$.
\item Tracer la droite D sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
\item  En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre de clients pour la fin de l'année 2007. Indiquer la méthode utilisée.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet qu'un autre ajustement du nuage de points est obtenu à l'aide d'une partie de la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 9] par  :

\[f(x) = \dfrac{52}{1 + 3\text{e}^{- 0,6x}}\]

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir au dixième).
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1		&2		&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9\\ \hline
$f(x)$	&	&19,6	&27,3	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie.

Dans la suite, on suppose que ce modèle reste valable jusqu'à la fin de l'année 2008.
\item  Donner, selon ce modèle, le nombre de clients pour la fin de l'année 2007.
\item Indiquer si selon ce modèle on peut envisager de dépasser au cours de l'année 2008 le nombre de 52 millions de clients. Expliquer la démarche conduisant à cette réponse.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|p{3cm}|X|}\hline
\multicolumn{3}{|c|}{Formulaire}\\ \hline
Suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$&Premier terme $u_{0},~u_{n+1} = u_{n} + r$&$u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = (n + 1)u_{0}+ \dfrac{n(n+1)}{2}r$\\ \hline
Suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q$&Premier terme $u_{0},~u_{n+1} = qu_{n}$&$u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} =u_{0}\dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} $\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Le 1\up{er} janvier suivant la date de sa naissance, les grands parents de Katia lui ouvrent un livret d'épargne et déposent un capital de 100 euros. Ils déposent ensuite 100~\euro{} sur ce livret tous les 1\up{er} janvier suivants.

Ce placement est à intérêts composés au taux annuel de 3\,\% fixe pour toute la durée du livret d'épargne.
 
Les intérêts sont versés tous les 1\up{er} janvier.

On pose $c_{0} = 100$.

Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 1.

On note $c_{n}$ le capital, exprimé en euros, se trouvant sur le livret le 1\up{er} janvier au terme d'un nombre $n$ d'années de placement. On définit ainsi une suite $c$ telle que $c_{0} = 100$ et $c_{1} = 203$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $c_{2} = 309,09$ et que $c_{3} \approx 418,36$.
\item La suite $c$ peut-elle être arithmétique ? Peut-elle être géométrique ? Justifier chaque réponse.
\item Le tableau ci-dessous est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.

Il donne notamment  les premiers termes de la suite $c$.
Le format d'affichage est un format numérique à deux décimales.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 &A&B&C&D\\ \hline
1	&Valeurs de $n$&Capital se trouvant sur le livret au terme de $n$ années de placement&Intérêts acquis au cours de l'année&Taux\\ \hline
2	&0&100,00	&3,00&0,03\\ \hline
3	&1&203,00	&6,09& \\ \hline
4	&2&309,09	&9,27& \\ \hline
5	&3&418,36	&12,55& \\ \hline
6	&4&			&& \\ \hline
7	&5&			&& \\ \hline
8	&6&			&& \\ \hline
9	&7&			&& \\ \hline
10	&8&			&& \\ \hline
11	&9&			&& \\ \hline
12	&10&		&& \\ \hline
13	&11&		&& \\ \hline
14	&12&		&& \\ \hline
15	&13&		&& \\ \hline
16	&14&		&& \\ \hline
17	&15&		&& \\ \hline
18	&16&		&& \\ \hline
19	&17&		&& \\ \hline
20	&18&		&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Donner des formules qui, entrées dans les cellule B3 et C3, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3 : C20.
\item On admet que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1, 

$c_{n} = 100\left(1 + 1,03 + 1,03^2 +\ldots + 1,03^n\right)$.

Montrer que le capital total se trouvant sur le livret de Katia le soir du 1\up{er} janvier suivant son seizième anniversaire sera égal à \np{2 176,16} euros.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

Clients du téléphone mobile :

\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(10,80)

\psdots[dotstyle=*](1,21)(2,30)(3,37)(4,40)(5,42)(6,44)(7,48)(3.5,34)
\uput[dr](3.5,34){G}
\multido{\n=0+0.2}{51}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+2}{41}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}\uput[d](5,-6){Rang de l'année}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(10,80)
\rput{90}(-0.75,40){Nombre de clients en millions}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}