\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\textwidth}{13cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat STG mercatique}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small juin 2007}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique Métropole ~\decofourright\\juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.
%
%Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
%
%\emph{Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  Chaque mois le prix est multiplié par $,02$, donc en 12 mois par $1,02^{12} \approx \np{1,26824} \approx 1,268$.

Le taux d'évolution global sur l'année 2006 est : 26,8\,\%.
%Le prix d'un article a augmenté de 2\,\% par mois chaque mois de l'année 2006.
%Le taux d'évolution global sur l'année 2006 est :
Réponse c.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%a.   inférieur à 24\,\% &  égal à 24\,\% &  supérieur à 24\,\%.
%\end{tabularx}

\medskip

%Les questions suivantes se rapportent au tableau ci-dessous. C'est un extrait du tableau de l'indice de référence des loyers en France, base 100 au deuxième trimestre 2004, publié par l'INSEE. Les indices sont calculés à la fin de chaque trimestre.
%
%
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|c|}\hline
%Période&Indice de référence\\ \hline
%Premier trimestre 2003& 97,10\\ \hline
%Premier trimestre 2004&99,33\\ \hline
%Premier trimestre 2005&\\ \hline
%Premier trimestre 2006&104,61\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\begin{flushright}\emph{Source : INSEE} \end{flushright}
\item  %Sur une année, du premier trimestre 2004 au premier trimestre 2005, les loyers ont augmenté de 2,79\,\%.
Une augmentation de 2,79\,\% correspond \`a un produit par $1,0279$.

Donc $99,73 \times 1,0279 \approx 102,10$. Réponse c.
%Au premier trimestre 2005, l'indice de référence des loyers arrondi à $10^{-2}$ est égal à :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%a.  $102,12$ &  b. $101,77$ & c.  $102,10$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item  %Entre le premier trimestre 2003 (indice $97,10$) et le premier trimestre 2004 (indice $99,33$), le taux annuel d'évolution des loyers est :
Le coefficient multiplicateur de l'augmentation est $\dfrac{99,33}{97,10 \approx \np{1,0230}}$, soit une augmentation de 2,30\,\%. 
Réponse b.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%a.   2,23\,\% (arrondi à 0,01\,\%) &b. 2,30\,\% (arrondi à 0,01\,\%) &c.  supérieur à 2,40\,\%.
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\item  %Entre le premier trimestre 2004 (indice $99,33$) et le premier trimestre 2006 (indice 104,61) le taux moyen annuel d'évolution des loyers arrondi à 0,01\,\% est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
%a.  2,62\,\% & b.  2,31\,\% &c.  2,64\,\%.
%\end{tabularx}
Sur les deux ans l'augmentation donne un coefficient multiplicateur de $\dfrac{104,61}{99,33} \approx \np{1,05306}$.

Le taux moyen annuel d'évolution des loyers est le nombre $t$ tel que :

$(1 + t)^2 = \np{1,05306}$ soit $ + t = \np{1,05306}^{\frac{1}{2}}$ et donc $t = \np{1,05306}^{\frac{1}{2}} - 1 \approx  \np{0,026234}$ soit une moyenne de 2,62\,\% par an. Réponse a.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Le service comptable d'un magasin réalise une étude sur le fichier des clients qui ont fait des achats le premier samedi du mois de novembre 2006.
%
%Il constate que 15\,\% des clients ont effectué leurs achats avec une carte de fidélité. Parmi ceux-ci, 80\,\% ont réalisé des achats d'un montant total supérieur à 50~\euro.
%
%Parmi les clients qui n'ont pas effectué leurs achats avec une carte de fidélité, 60\,\% ont réalisés des achats d'un montant total supérieur à 50~\euro.
%
%On choisit au hasard une fiche de ce fichier. On admet que toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies.
%
%On considère les évènements suivants :
%F : \og La fiche choisie indique que le client a effectué ses achats avec une carte de fidélité \fg ; 
%S : \og La fiche choisie indique que le client a réalisé des achats d'un montant total supérieur à 50~\euro \fg.
%
%Pour répondre aux questions suivantes, on pourra construire un arbre.
%
%\medskip

On peut construire l'arbre suivant :

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{F}\taput{0,15}}
	{\TR{S}\taput{0,80}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{0,20}
	}
\pstree{\TR{$\overline{\text{F}}$}\tbput{0,85}}
	{\TR{S}\taput{0,60}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{0,40}
	}
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Donner la probabilité $P$(F) de l'évènement F.
$P(\text{F}) = 0,15$
		\item  %Donner $P_{\text{F}}$(S), la probabilité, sachant F, de l'évènement S.
$P_{\text{F}}(\text{S}) = 0,80$.
	\end{enumerate}
\item  %Décrire par une phrase l'évènement F $\cap$  S.
F $\cap$  S est l'évènement : \og le client a utilisé une carte de fidélité et a acheté plus de 50~\euro \fg.
%Calculer la probabilité $P(\text{F} \cap  \text{S})$.

$P(\text{F} \cap  \text{S}) = P(\text{F}) \times P_{\text{F}}(\text{S}) = 0,15 \times 0,80 = 0,12$.
\item  %Montrer que la probabilité de l'évènement S est égale à $0,63$.
On calcule de m\^eme :

$P\left(\overline{\text{F}} \cap  \text{S}\right) = P\left(\overline{\text{F}}\right) \times P_{\overline{\text{F}}}(\text{S}) = 0,85 \times 0,60 = 0,51$.

Donc $P(\text{S}) = P(\text{F} \cap  \text{S}) + P\left(\overline{\text{F}} \cap  \text{S}\right) = 0,12 + 0,51 = 0,63$.
\item  %Les évènements F et S sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
On a vu que $P(\text{F} \cap  \text{S}) = 0,12$ ; d'autre part :

$P(\text{F}) \times P(\text{S}) = 0,15 \times 0,63 = \np{0,0945}$.

Donc $P(\text{F} \cap  \text{S}) \neq P(\text{F}) \times P(\text{S})$ : les évènements F et S ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%Le tableau suivant donne le nombre de clients du téléphone mobile en France atteint à la fin de chaque année.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année&1998&1999&2000&2001&2002&2003&2004&2005\\ \hline
%Rang de l'année $x_{i}$&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline
%Nombre de clients en millions $y_{i}$&11,2&20,6&29,7&37,0&39,6&41,7&44,5&48,0\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{Source : ARCEP observatoire des mobiles}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Une représentation du nuage de points $\left(x_{i}~ ;~ y_{i}\right)$ est donnée dans l'annexe, à rendre avec la copie.
%
%Le point G est le point moyen du nuage.
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%On souhaite réaliser un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer une équation de la droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients au centième).
La calculatrice donne $y = \np{4,94881}x + \np{16,716667}$ soit en arrondissant les coefficients au centième : $y = 4,95x + 16,72$.

%À partir des calculs ci-dessus, on décide de réaliser un ajustement affine à l'aide de la droite D d'équation $y = 4,9x + 16,7$.
\item %Tracer la droite D sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
Voir l'annexe.
\item  %En supposant que ce modèle reste valable pour 2006 et 2007, prévoir le nombre de clients pour la fin de l'année 2007. Indiquer la méthode utilisée.
Par le calcul : 2007 correspond \`a $x = 9$ ; on en déduit que $y = 4,9 \times 9 + 16,7 = 60,8$~millions de clients.

Sur le graphique on a indiqué les tracés qui permettent d'arriver sensiblement au m\^eme résultat soit 61 millions de clients.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On admet qu'un autre ajustement du nuage de points est obtenu à l'aide d'une partie de la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 9] par  :
%
%\[f(x) = \dfrac{52}{1 + 3\text{e}^{-0,6x}}\]

\begin{enumerate}
\item  %Recopier et compléter le tableau suivant (arrondir au dixième).
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&1		&2		&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9\\ \hline
$f(x)$	&13	&19,6	&27,3	&34,8	&40,9	&45,2&48,1	&49,8	&51,4	&51,6	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie.
Voir l'annexe \`a la fin.

%Dans la suite, on suppose que ce modèle reste valable jusqu'à la fin de l'année 2008.
\item  %Donner, selon ce modèle, le nombre de clients pour la fin de l'année 2007.
2007 correspond \`a $x = 9$ : en utilisant l'équation et le tableau le nombre de clients sera en 2007 \`a peu près égal \`a 51,4 millions. 
\item %Indiquer si selon ce modèle on peut envisager de dépasser au cours de l'année 2008 le nombre de 52 millions de clients. Expliquer la démarche conduisant à cette réponse.
Il faut résoudre l'inéquation :

$\dfrac{52}{1 + 3\text{e}^{-0,6x}} > 52$ ou $\dfrac{1}{1 + 3\text{e}^{-0,6x}} > 1$ ou $1 > 1 + 3\text{e}^{-0,6x} $ et enfin $0 > 3\text{e}^{-0,6x}$ : cette équation n'a pas de solution car $3\text{e}^{-0,6x} > 0$ quel que soit $x$.

On ne peut donc, selon ce modèle, espérer dépasser les 52 millions de clients (saturation du marché). 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|p{3cm}|X|}\hline
%\multicolumn{3}{|c|}{Formulaire}\\ \hline
%Suite arithmétique $\left(u_{n}\right)$ de raison $r$&Premier terme $u_{0},~u_{n+1} = u_{n} + r$&$u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} = (n + 1)u_{0}+ \dfrac{n(n+1)}{2}r$\\ \hline
%Suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $q$&Premier terme $u_{0},~u_{n+1} = qu_{n}$&$u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n} =u_{0}\dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1} $\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Le 1\up{er} janvier suivant la date de sa naissance, les grands parents de Katia lui ouvrent un livret d'épargne et déposent un capital de 100 euros. Ils déposent ensuite 100~\euro{} sur ce livret tous les 1\up{er} janvier suivants.
%
%Ce placement est à intérêts composés au taux annuel de 3\,\%
% fixe pour toute la durée du livret d'épargne.
% 
%Les intérêts sont versés tous les 1\up{er} janvier.
%
%On pose $c_{0} = 100$.
%
%Soit $n$ un nombre entier supérieur ou égal à 1.
%
%On note $c_{n}$ le capital, exprimé en euros, se trouvant sur le livret le 1\up{er} janvier au terme d'un nombre $n$ d'années de placement. On définit ainsi une suite $c$ telle que $c_{0} = 100$ et $c_{1} = 203$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Justifier que $c_{2} = 309,09$ et que $c_{3} \approx 418,36$.
$c_{2} = 100 + 203 + 203 \times 0,03 = 3,9,09$.

$c_{3} = 100 + 309,09 + 309,09 \times 0,03 = \np{418,3627} \approx 418,36$.
\item  %La suite $c$ peut-elle être arithmétique ? Peut-elle être géométrique ? Justifier chaque réponse.
On a $c_{1} - c_{0} = 103$ et $c_{2} - c_{1} = 106,09$ : la différence de deux termes consécutifs n'est pas constante : la suite $c$ n'est pas arithmétique.

On a $\dfrac{c_{1}}{c_{0}} = 2,03$ et $\dfrac{c_{2}}{c_{1}} \approx 1,52$ : le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant : la suite $c$ n'est pas géométrique.
\item %Le tableau ci-dessous est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.

%Il donne notamment  les premiers termes de la suite $c$.
%Le format d'affichage est un format numérique à deux décimales.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A&B&C&D\\ \hline
%1	&Valeurs de $n$&Capital se trouvant sur le livret au terme de $n$ années de placement&Intérêts acquis au cours de l'année&Taux\\ \hline
%2	&0&100,00&3,00&0,03\\ \hline
%3	&1&203,00&6,09& \\ \hline
%4	&2&309,09&9,27& \\ \hline
%5	&3&418,36&12,55& \\ \hline
%6	&4&&& \\ \hline
%7	&5&&& \\ \hline
%8	&6&&& \\ \hline
%9	&7&&& \\ \hline
%10	&8&&& \\ \hline
%11	&9&&& \\ \hline
%12	&10&&& \\ \hline
%13	&11&&& \\ \hline
%14	&12&&& \\ \hline
%15	&13&&& \\ \hline
%16	&14&&& \\ \hline
%17	&15&&& \\ \hline
%18	&16&&& \\ \hline
%19	&17&&& \\ \hline
%20	&18&&& \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

%Donner des formules qui, entrées dans les cellule B3 et C3, permettent par recopie vers le bas d'obtenir la plage de cellules B3 : C20.
On peut écrire en B3 : -B2 + 100

On peut écrire en C3 : B3 * 0,03
\item %On admet que, pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1, 

%$c_{n} = 100\left(1 + 1,03 + 1,03^2 +\ldots + 1,03^n\right)$.

%Montrer que le capital total se trouvant sur le livret de Katia le soir du 1\up{er} janvier suivant son seizième anniversaire sera égal à \np{2176,16} euros.
Il faut calculer :

$c_{16} = 100 \left(1 + 1,03 + 1,03^2 + 1,02^3 + \cdots + 1,03^{16} \right)$ : c'est la somme des 17 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 1,03, soit :

$1 + 1,03 + 1,03^2 + 1,02^3 + \cdots + 1,03^{16} = \dfrac{1,03^{17} - 1}{1,03 - 1} \approx \np{21,7616}$.

Conclusion : le jour de son seizième anniversaire Katia aura \np{2176,16}~\euro.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe}

\vspace{1cm}

\textbf{à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

Clients du téléphone mobile :

\psset{xunit=1.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(10,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10](0,0)(10,80)
\psdots[dotstyle=*](1,21)(2,30)(3,37)(4,40)(5,42)(6,44)(7,48)(3.5,34)
\uput[dr](3.5,34){G}
\multido{\n=0+0.2}{51}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+2}{41}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=orange](0,\n)(10,\n)}\uput[d](5,-6){Rang de l'année}
\rput{90}(-0.75,40){Nombre de clients en millions}
\psline(0,16.7)(10,65.7)\uput[ul](9.5,63.25){D}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=cyan,arrowsize=2pt 3]{->}(9,0)(9,60.8)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=cyan,arrowsize=2pt 3]{->}(9,60.8)(0,60.8)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{52 1 3 2.71828 0.6 x mul exp div add div}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}