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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007 (sujet dévoilé)}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\ juin 2007 (sujet dévoilé)}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.\\
Le formulaire officiel est autorisé.

\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Sur un site Internet on peut consulter le tableau suivant.

\begin{center} 
\textbf{Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier}
\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&15 ans		&20 ans		&25 ans\\ \hline
Taux A	&3,65\:\%	&3,70\:\%	&3,85\:\%\\ \hline
Taux B	&3,85\:\%	&3,90\:\%	&4,05\:\%\\ \hline
Taux C	&4\:\%		&4,05\:\%	&4,20\:\%\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{On rappelle que le montant $a$, en euros, de chacune des $n$ annuités dans le cas d'un emprunt à annuités constantes de $E$ euros, avec un intérêt annuel de $i$ est :}

\[a = E \times \dfrac{i}{1 - (1 + i)^{-n}}\]

Monsieur Durand et Monsieur Feux souhaitent emprunter \np{150000} euros pour acheter un appartement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Monsieur Durand choisit le taux A sur 15 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
		\item  Monsieur Feux choisit le taux B sur 20 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
	\end{enumerate}
\item  Monsieur Durand gagne \np{3400} euros par mois et Monsieur Feux gagne \np{3100} euros par mois.
La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30\,\%
  du salaire mensuel.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé.
		\item Pour la ou les personnes refusée(s), proposer une solution qui soit acceptée par la banque.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d'individus.

Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser les réponses aux différentes questions.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
zone				&2001&	2002&	2003	&2004	&Taux moyen annuel&Estima\-tion 2005\\ \hline		
Amérique du Nord	&166,7	&182,6	&196	&243	&					&\\ \hline
Amérique latine		&24,8	&33,3	&40,6	&47,3	&24\,\%				&\\ \hline
Afrique/Moyen orient&8,4	&11,4	&21,3	&31,2	&					& \\ \hline
Asie du  Pacifique	&125,9	&187,2	&298	&		&44\,\%				&\\ \hline
Europe				&143,3	&		&221,1	&252,5&21\,\%				&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le taux d'évolution en Asie pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26\:\%. Calculer le nombre d'internautes en millions, à $10^{-1}$ près, en Asie pacifique en 2004.
\item   En prenant pour base 100, le nombre d'internautes en Europe en 2001, on obtient un indice $133,2$ pour l'année 2002. Calculer le nombre d'internautes, à $10^{-1}$ près, en Europe en 2002.
\item   Calculer les taux annuels moyens, à $10^{-2}$ près, entre 2001 et 2004 pour l'Amérique du Nord et l'Afrique/Moyen-Orient. Classer les cinq zones par ordre croissant  de taux moyens annuels d'évolution.
\item   Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d'internautes dans les cinq zones en 2005. Calculer ces cinq prévisions. Que pensez-vous de la méthode choisie ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique.

Les concepteurs l'ont testé pour \np{1000}~messages et voici leurs conclusions :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  70\,\% des messages entrants sont indésirables ;
\item  95\,\% des messages indésirables sont éliminés ;
\item  2\,\% des messages bienvenus sont éliminés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note B, l'évènement : \og le message est bienvenu \fg.

On note I, l'évènement : \og le message est indésirable \fg.

On note E, l'évènement : \og le message est éliminé \fg.

On note C, l'évènement : \og le message est conservé \fg.

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Nombre de messages indésirables&Nombre de messages	de bienvenue&Total\\ \hline
Nombre de messages éliminés	&	&	&\\ \hline
Nombre de messages conservés&	&	&\\ \hline
Total						&	&	&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Un message est envoyé ; utiliser le tableau précédent pour calculer les probabilités demandées ci-dessous.

Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P_{\text{C}}(\text{B})$ et $P_{\text{I}}(\text{E})$.
		\item  Calculer $P(\text{B} \cap  \text{E})$ et $P(\text{E} \cap \text{I})$.
		\item  Calculer la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé.
		\item  Calculer la probabilité pour que le message soit conservé et indésirable.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Monsieur Durand dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans. Il part à la retraite et confie l'entreprise à son fils Vincent.}

\emph{Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte rendu de l'activité journalière de l'usine ;  celui-ci lui remet le document $1$ ci-dessous.}

\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT 1}

\medskip

\begin{pspicture}(0,-2)(12,12)
\multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(12,12)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(10,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 0.01 mul x dup mul 0.135 mul sub 0.7 x mul add 4.5 add}
\rput{90}(-0.7,6){milliers d'euros}
\uput[d](10,-0.5){nombre de montres}
\psframe(2,-3)(10,-1)
\psline(2.5,-1.5)(4,-1.5) 
\psline[linestyle=dashed](2.5,-2.5)(4,-2.5)
\rput(7.1,-1.5){coût de productions (milliers d'euros)}
\rput(7.1,-2.5){recettes (milliers d'euros)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie  1 :} En lisant graphiquement les deux courbes du document \no 1, répondre aux questions suivantes
\begin{enumerate}
\item Quel est le nombre maximum de montres produites en une journée ?
\item Quel est le coût de production de $6$~montres ? de $8$~montres ?
\item Combien faut-il vendre de montres pour obtenir une recette de \np{6000}~euros ?
\item Combien de montres faut-il vendre par jour pour que l'usine fasse un bénéfice ? (ce bénéfice doit être strictement positif.)
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{La semaine suivante, Vincent se demande s'il peut produire plus de montres à condition que l'usine reste bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document ci-dessous, dressé à l'aide d'un tableur :}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&A&	B& C \\ \hline
1&Nombre de montres&	Coût de production (en milliers d'euros)&		Recette (en milliers d'euros)\\ \hline
2&	0&	4,5		&	0\\ \hline
3&	1&	5,075	&	1\\ \hline
4&	2&	5,44	&	2\\ \hline
5&	3&	5,655	&	3\\ \hline
6&	4&	5,78	&	4\\ \hline
7&	5&	5,875	&	5\\ \hline
8&	6&	6		&	6\\ \hline
9&	7&	6,215	&	7\\ \hline
10&	8&	6,58	&	8\\ \hline
11&	9&	7,155	&	9\\ \hline
12&	10&	8		&	10\\ \hline
13&	11&	9,175	&	11\\ \hline
14&	12&	10,74	&	12\\ \hline
15&	13&	12,755	&	13\\ \hline
16&	14&	15,28	&	14\\ \hline
17&	15&	18,375	&	15\\ \hline
18&	16&			&	16\\ \hline
19&	17&			&	17\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie  2 :} En utilisant le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le coût de production pour  $5$~montres ? pour $14$~montres ?
\item Quelle est la recette pour 12 montres ?
\item Combien fabrique-t-on de montres avec \np{6215}~euros ?
\item Combien peut-on fabriquer de montres en sachant que l'entreprise doit être bénéficiaire ? (donner la réponse sous forme d'un intervalle)
\item On a entré dans la cellule B2 la formule :

\begin{pspicture}(6,1)
\psframe(0,0.4)(6,0.9)
\end{pspicture}

\vspace{-1cm}= 0.01*A2\verb+^+3 - 0.135*A2\verb+^+2+0.7*A2 +4.5

que l'on a recopiée jusqu'à la cellule B19.

Quelle valeur sera dans la cellule B18 ?  À quoi correspond-t-elle ?

Quelle valeur sera dans la cellule B19 ? À quoi correspond-t-elle ?
\end{enumerate}
   
\bigskip
   
\emph{La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci, le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique.}

\emph{Il propose de désigner par $x$, le nombre de montres vendues dans la journée, par $C(x)$ le coût de production de $x$ montres et par $R(x)$ la recette pour $x$ montres vendues. De plus, on a :}

\[C(x) = 0,01x^3- 0,135x^2+ 0,7x + 4,5 \quad 	\text{et}\quad 	R(x) = x.\]
    
\textbf{Partie  3 :} Dans cette partie, il s'agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item On désigne par $B(x)$, le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.

Montrer que $B(x) = -0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5$.
\item 	Calculer $B'(x)$ et montrer que $B'(x) = -0,03(x - 10)(x + 1)$.
\item 	Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~17].
\item 	Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~17].
\item 	Déduire de ce qui précède, le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum.
\end{enumerate}
\end{document}