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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007 (sujet de remplacement)}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\ juin 2007 (sujet de remplacement)}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

Pour combattre les risques d'épidémie dus à une maladie, un laboratoire a mis au point un vaccin. Il a testé ce vaccin et obtenu les données suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] La probabilité qu'un individu soit malade sachant qu'il a été vacciné est égale à $0,09$.
\item[ ] La probabilité qu'un individu soit malade sachant qu'il n'a pas été vacciné est égale à $0,5$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Un quart de la population a été vacciné contre la maladie. Une épidémie survient.

Pour une personne prise au hasard dans la population, on notera $M$ l'évènement \og être malade \fg, 
$\overline{M}$ l'évènement contraire, $V$ l'évènement \og être vacciné\fg, $\overline{V}$ l'évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$}\taput{\ldots}}
	{\TR{}\taput{\ldots}
	 \TR{}}\tbput{\ldots}
\pstree{\TR{\ldots}\tbput{\ldots}}
	{\TR{}\taput{\ldots}
	 \TR{}}\tbput{\ldots}	 
	 }
\end{center}
\medskip

\item  Calculer la probabilité des évènements $M \cap V$ et $M \cap \overline{V}$.
\item  Calculer la probabilité de l'évènement $M$ puis celle de l'évènement $\overline{M}$.
\item  Sachant qu'un individu pris au hasard dans la population n'est pas malade, quelle est la probabilité qu'il ait été vacciné ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. On vous demande de recopier
la réponse qui vous paraît exacte, aucune justification n'est demandée.

\medskip

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte enlève $0,5$ point, l'absence de réponse n'enlève ni n'ajoute de points. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera $0$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 500$ et de raison $1,03$.

La somme $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{44}$ est égale (arrondie à l'unité) à  :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\np{23520} &\np{44524} &\np{22660} &\np{46360}\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une année, le prix d'une matière première a augmenté de 25\,\% ; l'année suivante le prix de cette matière première a diminué de 22\,\%. Globalement, sur les deux années, le prix

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
a augmenté de 3\,\%&a augmenté de 5,5\,\%&a diminué de 2,5\,\%&n'a ni augmenté ni diminué\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Un capital est placé au taux annuel de 3\,\%, à intérêts composés. Pour que ce capital double, il faut attendre :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
au moins 6 ans&au moins 16 ans&au moins 24 ans&au moins 32 ans\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Un capital est placé au taux annuel de 3,2\,\%, à intérêts composés, pendant 7 ans. Le taux global
d'augmentation de ce capital pour les 7 années (arrondi au dixième) est 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
24,7\,\% & 22,4\,\% & 21,8\,\% & 34,5\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  Un taux annuel de placement de 9\,\%, à intérêts composés, correspond à taux mensuel équivalent (arrondi au centième) de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1,08\,\% & 0,72\,\%&0,75\,\% & 1,20\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item Le prix d'un article augmente de 47\,\%. Pour revenir au prix initial, il faudrait le diminuer d'environ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
32\,\%&47\,\%&53\,\% & 68\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Première partie: Utilisation d'un tableur et étude graphique}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{La fonction $f$ est définie sur $[0~;~16]$ par 

\[f(x) = 0,6x + 1 - 1,4\ln (x + 1)\]

\begin{enumerate}
\item Pour obtenir le tableau de valeurs ci-contre à l'aide d'un tableur, on a rempli les
cellules A2 à A 18 comme indiqué. Proposer une méthode qui permet de remplir la
plage A2:AI8 sans avoir à saisir, une à une, les 17 valeurs.
\item On veut obtenir, dans la colonne B, les images par $f$ des nombres figurant en
colonne A. Pour cela, on saisit en B2 une formule à recopier vers le bas. Parmi les
formules proposées, choisir celle qui convient (aucune justification n'est demandée).

formule 1 : =0,6X+1-1,4ln(X+1)

formule 2 : 0,6*A2+1-1,4*LN(A2+1)

formule 3: =0,6*A2+1-1,4*LN(A2+1)

formule 4: =0,6A2+1-1,4LN(A2+1)
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.32\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 	&B			\\ \hline
1	&$x$&$f(x)$		\\ \hline
2	&0	&1			\\ \hline
3	&1	& \np{0,629594}\\ \hline
4	&2	&\np{0,661943}\\ \hline
5	&3	&\np{0,859188}\\ \hline
6	&4	&\np{1,146787}\\ \hline
7	&5	&\np{1,491537}\\ \hline
8	&6	&\np{1,875726}\\ \hline
9	&7	&\np{2,288782}\\ \hline
10	&8	&\np{2,723886}\\ \hline
11	&9	&\np{3,176381}\\ \hline
12	&10	&\np{3,642947}\\ \hline
13	&11	&\np{4,121131}\\ \hline
14	&12	&\np{4,609071}\\ \hline
15	&13	&\np{5,10532}\\ \hline
16	&14	&\np{5,60873}\\ \hline
17	&15	&\np{6,118376}\\ \hline
18	&16	&\np{6,633501}\\ \hline
\end{tabularx}
}
\begin{enumerate}
\item[\textbf{3.}] En vous appuyant sur les valeurs du tableau, éliminer parmi les trois graphiques proposés en annexe, ceux qui ne peuvent pas représenter la fonction ; vous justifierez vos décisions.
\item[\textbf{4.}] Une entreprise produit $x$ centaines d'objets et $f(x)$ exprime, en million d'euros, le coût de production en fonction de $x$, pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $16$.

Chaque objet fabriqué est vendu. Le montant $g(x)$ (en million d'euros) de la vente de $x$ centaines d'objets est donné par la formule $g(x) = 0,4x$, pour $x$ appartenant à [0~;~16].
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le prix de vente d'un objet, exprimé en euros.
		\item Sur le graphique représentant la fonction $f$ retenu en annexe, tracer la représentation graphique de $g$.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{5.}] Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item L'entreprise est-elle bénéficiaire si elle produit et vend $100$ objets ?
		\item L'entreprise est-elle bénéficiaire si elle produit et vend $900$ objets ?
		\item Dans quel intervalle doit se situer $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire ?
		\item Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice maximum est-il atteint ? (Vous expliquerez votre méthode).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : Étude mathématique du problème}

\medskip

On note $B(x)$ le bénéfice, en million d'euros, réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de $x$ centaines d'objets.

\medskip
\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $B(x) = - 0,2x - 1 + 1,4\ln (x + 1)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $B'(x)$.
		\item Résoudre l'inéquation $B'(x) \geqslant 0$ et en déduire le signe de
$B'$ sur [0~;16].
		\item Recopier et complétez le tableau de variations ci-contre.
	\end{enumerate}
\item  Utiliser le tableau pour déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item Le bénéfice maximum que l'entreprise peut espérer réaliser.
		\item Le nombre d'objets à produire pour réaliser ce bénéfice maximum.
	\end{enumerate}
\item  Ces résultats sont-ils en accord avec la réponse à la question 5. d. de la première partie ?
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\psframe(6.5,5)
\psline(0,3)(6.5,3)\psline(0,4)(6.5,4)
\psline(2,0)(2,5)
\rput(1,4.5){$x$}\rput(2.1,4.5){$0$} \rput(6.3,4.5){16}
\rput(1,3.5){\footnotesize signe de $B'(x)$}
\rput(1,2){\footnotesize variations}
\rput(1,1){\footnotesize de $B$}
\end{pspicture}}

\newpage
	
\begin{center}
	
\textbf{ANNEXE Cette feuille sera jointe à votre copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(16.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=violet](0,0)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(16.5,8)
\uput[l](0,3){Figure 1}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{16}{0.6 x mul 0.5 add x 1 add ln 1.4 mul  sub}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{pspicture}(-2,-1)(16.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=violet](0,0)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(16.5,8)
\uput[l](0,3){Figure 2}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{16}{0.6 x mul 1 add x 1 add ln 1.4 mul  sub}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{pspicture}(-2,-1)(16.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=violet](0,0)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(16.5,8)
\uput[l](0,3){Figure 3}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{16}{0.6 x mul 1 add x 1 add ln   sub}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}