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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~STG Mercatique La Réunion juin 2007~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,4cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  3 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous résume partiellement les échanges extérieurs concernant le tourisme au cours des deux années 2004 et 2005. Il est constitué à partir de données publiées par la Banque de France.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{}												& 2004	&	2005\\ \hline
Dépenses, en milliards d'euros, des touristes étrangers en France	&		&33,9\\ \hline
Dépenses, en milliards d'euros, des touristes français à l'étranger	&23,0	&25,0\\ \hline
Solde, en milliards d'euros											&		&8,9\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pour chaque question, donner les calculs effectués.
\begin{enumerate}
\item  Calculer le taux d'évolution des dépenses des touristes français à l'étranger entre 2004 et 2005. (Arrondir le résultat à 0,1\:\%).
\item 	Sachant qu'entre 2004 et 2005 les dépenses des touristes étrangers en France ont augmenté de 3,5\:\%, déterminer le montant de ces dépenses en 2004. (Arrondir le résultat au dixième).
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le solde pour l'année 2004.
		\item  Calculer le taux d'évolution de ce solde entre 2004 et 2005. (Arrondir le résultat à 0,1\:\%).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

Le coût moyen journalier, en euros d'un équipement industriel, en fonction de la durée d'utilisation est modélisé par la fonction $C_{m}$ définie sur l'intervalle $[200~;~\np{4000}]$ par \[C_{m}(x) = \np{1500} + 2x + \dfrac{\np{2000000}}{x}\]
où $x$ est exprimé en jours.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Sur la calculatrice, faire apparaître la courbe représentant $C_{m}$ dans la fenêtre $200 \leqslant  x  \leqslant \np{4000}$ et $\np{5000} \leqslant y \leqslant \np{12000}$.

Reproduire,	sur la copie, l'allure de la courbe dans la fenêtre considérée.

\medskip

\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $C'_{m}$ la fonction dérivée de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[200~;~ \np{4000}]$.

Calculer $C'_{m}(x)$.
		\item 	Montrer que $C'_{m}(x) = 2\dfrac{(x - \np{1000})(x + \np{1000})}{x^2}$.
		
Déterminer le signe de la fonction $C'_{m}$ sur l'intervalle $[200~;~ \np{4000}]$.
		\item 	Donner le tableau des variations de la fonction $C_{m}$ sur l'intervalle $[200~;~\np{4000}]$.
		\item 	En déduire, en jours, la durée d'utilisation de l'équipement qui correspond à un coût moyen journalier minimum et donner, en euros, ce coût moyen journalier minimum.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Paul possède \np{1100}~\euro{} d'économies.

Il décide de placer cette somme dans une banque qui lui propose deux placements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Proposition 1 : placement de la totalité de la somme à intérêts composés sur un \og livret jeune \fg, au taux annuel de 4,5\:\%.
\item Proposition 2 : placement de $900$~euros à intérêts composés au taux de 5,4\:\%
 par an et versement des $200$~euros restants sur un compte non rémunéré.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $c(n)$ le capital qu'il aura acquis au bout de $n$ années s'il choisit la proposition 1 et $u(n)$ le capital qu'il aura acquis au bout de $n$ années s'il choisit la proposition 2.

On définit ainsi deux suites $c$ et $u$. 
 
Il réalise la feuille de calcul ci-dessous et choisit un format d'affichage numérique à deux décimales.
 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&	B&	C & D &E\\ \hline
1&		&	Proposition 1 &\multicolumn{3}{|c|}{	Proposition 2}\\ \hline
2&	\footnotesize Rang de l'année $n$& \footnotesize	Capital disponible $c(n)$& \footnotesize	Partie rémunérée& \footnotesize	Partie non rémunérée	& \footnotesize	Capital disponible $u(n)$\\ \hline
3&0	&\np{1100,00}&900,00		&200,00	&\np{1100,00}\\ \hline
4&1	&\np{1149,50}&948,60		&200,00	&\np{1148,60}\\ \hline
5&2	&\np{1201,23}&999,82		&200,00	&\np{1199,82}\\ \hline
6&3	&\np{1255,28}&\np{1053,81}	&200,00	&\np{1253,81}\\ \hline
7&4	&\np{1311,77}&\np{1310,72}	&200,00	&\np{1380,72}\\ \hline
8&5	&\np{1370,80}&\np{1170,70}	&200,00	&\np{1370,70}\\ \hline
9&6	&\np{1432,49}&\np{1233,92}	&200,00	&\np{1433,92}\\ \hline
10&7&\np{1496,95}&\np{1300,55}	&200,00	&\np{1500,55}\\ \hline
11&8&\np{1564,31}&\np{1370,78}	&200,00	& \np{1570,78}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $c$ est une suite géométrique de premier terme \np{1100} et de raison $1,045$.
		\item Donner une formule à entrer dans la cellule B4 permettant par recopie vers le bas d'obtenir la plage B5:B11.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une expression permettant de calculer le terme $u(1) = \np{1148,60}$.
		\item Donner des formules, à recopier vers le bas, à entrer dans les cellules C4, D4 et E4 pour obtenir la plage C5:E11.
	\end{enumerate}
\item Indiquer en fonction de la durée du placement la proposition la plus avantageuse. Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  5 points}

\medskip

Une résidence de vacances propose deux types d'appartements (studio ou duplex) à louer à la semaine. Le locataire peut décider de nettoyer lui-même son appartement ou peut choisir de souscrire à l'une des deux formules d'entretien suivantes :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  la formule Mini (nettoyage de l'appartement en fin de semaine par le personnel d'entretien) ;
\item  la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de semaine par le personnel d'entretien).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
  
On suppose que chaque locataire ne reste qu'une semaine. Le gestionnaire de la résidence fait une étude sur le fichier de tous les locataires des semaines des mois de juillet et d'août 2006.
Il constate dans ce fichier que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$] 70\:\% des locataires ont loué un studio ; parmi ceux-ci, 20\:\% n'ont souscrit à aucune formule d'entretien, 45\:\% ont souscrit à la formule Mini et les autres ont souscrit à la formule Confort.
\item[$\blacktriangleright$]	55\:\% des locataires de duplex ont souscrit à la formule Mini.
\item[$\blacktriangleright$]	23\:\% des locataires n'ont souscrit à aucune formule d'entretien.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une fiche d'un locataire de ce fichier. On admet que toutes les fiches ont la même probabilité d'être choisies.

On note :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\blacktriangleright$]	$S$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire qui a loué un studio \fg{} et son événement contraire \og la fiche est celle d'un locataire qui a loué un duplex \fg{} ;
\item[$\blacktriangleright$]	$M$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire a souscrit à la formule Mini \fg{} ;
\item[$\blacktriangleright$]	$C$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire qui a souscrit à la formule Confort \fg{} ;
\item[$\blacktriangleright$]	$R$ l'évènement \og la fiche est celle d'un locataire qui n'a souscrit à aucune formule d'entretien \fg.\\
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Ainsi, $P(S)$ la probabilité de l'évènement $S$ est égale à $0,70$ et $P_{S}(R)$ la probabilité, sachant que la fiche est celle d'un locataire qui a loué un studio, qu'il n'ait souscrit à aucune formule d'entretien est égale à $0,20$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $P_{S}(M)$ la probabilité, sachant $S$, de l'évènement $M$.
		
On note $P_{\overline{S}}(M)$ la probabilité, sachant $\overline{S}$ de l'évènement $M$.

Donner grâce à l'énoncé $P_{S}(M)$  et $P_{\overline{S}}(M)$.
		\item Calculer la probabilité $P\left(\overline{S}\right)$.
	 \end{enumerate}
\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous avec les probabilités déjà connues.
 
\medskip

\begin{center}\psset{arrows=->,levelsep=4cm,nodesep=2.5pt}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$S$}\taput{0,70}}
	  { 
		  \TR{R}\taput{0,20}
		  \TR{M}\taput{\ldots}
		  \TR{C}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{S}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{R}\taput{\ldots}
		  \TR{M}\taput{\ldots}
		  \TR{C}\tbput{\ldots}	  
	  }	
}
\end{center} 
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner grâce à l'énoncé $P(R)$.
		\item Calculer $P(R \cap S)$.
		\item Montrer que $P\left(R \cap  \overline{S}\right) =  0,09$.
	\end{enumerate}
\item Calculer $P_{\overline{S}}(R)$ la probabilité, sachant que la fiche est celle d'un locataire qui a loué un duplex, qu'il n'ait souscrit à aucune formule d'entretien.
\end{enumerate}
\end{document}