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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small juin 2007}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Centres étrangers~\decofourright\\ juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

En 2003, une étude est réalisée sur un échantillon représentatif de la population française composé de \np{1500} individus.

La première question posée est : \og Connaissez-vous le commerce équitable ? \fg.
 
Le tableau ci-dessous donne la répartition des réponses par âge.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
		&Moins de 25 ans&25-39 ans&40-59 ans&60 ans et plus&TOTAL\\ \hline
OUI		&156	&171	&150 &48	&525\\ \hline
NON		&258	&297 	&273 &147	&975\\ \hline
TOTAL	&414	&468 	&423 &195 	&\np{1500}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes connaissant le commerce équitable ?
		\item Parmi la population totale, quelle est la proportion de personnes âgées de moins de 25 ans connaissant le commerce équitable ?
		\item Parmi les plus de 60 ans, quel est le pourcentage arrondi à 0,1\,\%
 des personnes connaissant le commerce équitable ?
		\item Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, quel est le pourcentage arrondi à 0,1\,\%  des personnes âgées de moins de 40 ans?
 	\end{enumerate}
\item 	On pose aux \np{1500} personnes précédentes une seconde
question : \og Connaissez-vous le label AB pour agriculture biologique ? \fg.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, 504 d'entre-elles connaissent le label AB.
\item[$\bullet~$]	Parmi les personnes ne connaissant pas le commerce équitable, 546 d'entre-elles connaissent le label AB.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On interroge au hasard une des \np{1500} personnes et on considère les évènements A et C suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A : \og la personne interrogée connaît le label AB.\fg
\item[$\bullet~$] C : \og la personne interrogée connaît le commerce équitable. \fg
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $P_{\text{C}}(\text{A}) = 0,96$ et que $P_{\overline{\text{C}}}(\text{A}) = 0,56$.
\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :

\begin{center} 
\pstree[treemode=R,nodesep=10pt,levelsep=4cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{C}\taput{$0,35$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{A}\taput{$0,96$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
	\pstree{\TR{$\overline{\text{C}}$}\tbput{$\ldots$}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{A}\taput{$0,56$}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$\ldots$}
 		}
}
%
\end{center}

		\item 	Calculer les probabilités $P(\text{A}  \cap \text{C})$ et $P\left(\text{A} \cap \overline{\text{C}}\right)$.
		\item 	Un journaliste déclare : \og  70\,\% de la population française connaît le label AB. \fg.
 
L'affirmation est-elle vraie ? Justifiez votre réponse.
		\item 	Les évènements A et C sont-ils indépendants ? Justifiez votre réponse.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau suivant montre l'évolution du nombre d'écoles (maternelles et élémentaires) de 1980 à 2004 en France :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année					&1980 		&1990 		&1997 		&2001 		&2004\\ \hline
Rang $x_{i}$ de l'année	&0			&10 		&17 		& 21		&24 \\ \hline
Nombre d'écoles $y_{i}$	&\np{68839}	&\np{64223}	&\np{60196}	&\np{58367}	&\np{56628}\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\small(Données INSEE)}
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Dans l'exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale arrondis avec deux chiffres après la virgule.}

\medskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution global du nombre d'écoles en France entre les années 1980 et 2004.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée du réel $a$ tel que : $a^7 =  \dfrac{\np{56628}}{\np{60 196}}$.
		\item  En déduire le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'écoles en France entre les années 1997 et 2004.
	 \end{enumerate}
\item 	En admettant qu'à partir de l'année 2004 le taux d'évolution annuel est de $- 1$\,\%,  quelle estimation, à l'unité près, peut-on faire du nombre d'écoles en France en 2008 ?
\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Partie B :}

\medskip

On envisage un autre modèle pour prévoir l'évolution du nombre d'écoles en France. Pour cela, on a réalisé ci-dessous le nuage de points $M\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ de la série.
	
\vspace{1cm}
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.325cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(0,-15)(30,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=10](0,0)(30,80)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5,labels=none,ticksize=2pt,tickstyle=bottom](0,0)(30,80)
\psdots(0,68.839)(10,64.223)(17,60.196)(21,58.367)(24,56.628)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(30,\n)}
\rput(15,90){Nuage de points}
\rput(0,85){Nombre d'écoles}
\rput(30,-10){Rang $x_{i}$ de l'année}
\rput{90}(-3,65){Milliers}
\end{pspicture}	
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pourquoi un ajustement affine de ce nuage est-il envisageable ?
\item On choisit comme ajustement affine de ce nuage, la droite $\Delta$ d'équation 

\mbox{$y = - 510,6x + \np{69003}$} obtenue par la méthode des moindres carrés.

Par cet ajustement affine, calculer la nouvelle estimation, à l'unité près, du nombre d'écoles en France en 2008.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies et dérivables sur telles que
 
\[f(x) = \dfrac{8(x + 1)}{\text{e}^x}\quad  \text{et} \quad 
g(x) = 0,5(x + 1)\text{e}^x.\]

Dans le repère orthogonal ci-dessous, on a tracé les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ représentant les fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle $[-1~;~4]$.

On désigne par T et T$'$ les tangentes respectives à $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $0$.

\begin{center}
\psset{xunit=2.1cm,yunit=1.05cm}
\begin{pspicture}(-1.25,-1)(4.5,9)
\multido{\n=-1.25+0.25}{24}{\psline[linewidth=0,4pt,linecolor=orange](\n,-1)(\n,9)}
\multido{\n=-1+0.5}{21}{\psline[linewidth=0,4pt,linecolor=orange](-1.25,\n)(4.5,\n)}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-1}{4}{x 1 add 8 mul 2.71828 x exp div} 
\psplot[linecolor=red,plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-1}{1.8}{x 1 add 0.5 mul 2.71828 x exp mul}
\psline{<->}(-0.5,8)(0.5,8) \psline(-1,-0.5)(4,4.5)
\uput[d](4.5,0){$x$} \uput[l](0,8.5){$y$}
\uput[r](1.75,7.5){$\mathcal{C}_{g}$} \uput[r](4,0.75){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[u](0.25,8){T} \uput[u](4,4.5){T$'$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.25,-1)(4.5,9)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\textbf{Partie A : Q. C. M.}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule proposition est exacte. Indiquez laquelle sur votre copie. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point, une réponse inexacte enlève $0,25$ point L'absence de réponse n'enlève ni n'ajoute aucun point Si le total des points est négatif, la note attribuée à la partie A sera   égale à $0$:}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-1$&\textbf{b.~~} $0,5$&\textbf{c.~~} $0$	&\textbf{d.~~} $8$\\
\end{tabularx}

\medskip
\item $f'(0)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-1$&	\textbf{b.~~} $0$&	\textbf{c.~~} $1$	&	\textbf{d.~~} $8$\\
\end{tabularx}

\medskip	
\item Sur l'intervalle $[-1~;~4]$ l'équation $f(x) = g(x)$ a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} trois solutions	&\textbf{b.~~} deux solutions&\textbf{c.~~} une solution
&\textbf{d.~~} aucune solution\\
\end{tabularx}
\medskip
\item $g$ a pour dérivée :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(0,5x+1)\text{e}^x$&\textbf{b.~~} $0,5\text{e}^x$&	\textbf{c.~~} $0, 5x\text{e}^x$&
\textbf{d.~~} $0,5(x+1)\text{e}^x$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : application économique}

\medskip

La société DISTRI-PUB, spécialisée dans la vente d'objets publicitaires pour les entreprises, propose des porte-clés personnalisés.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $x$ est le prix unitaire en euro d'un porte-clés et $x \in [0,5~;~4]$.
\item[$\bullet~$] $f(x)$ est la quantité en milliers de porte-clés que les entreprises sont prêtes à acheter au prix $x$.
\item[$\bullet~$] $g(x)$ est la quantité en milliers de porte-clés que DISTRI-PUB propose au prix $x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$. (On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,001$ près)
		\item En déduire le nombre de porte-clés (à l'unité près) que les entreprises sont prêtes à acheter au prix unitaire de un euro.
		\item Au prix unitaire de $1$ euro, quel est le nombre de porte-clés (à l'unité près) que DISTRI-PUB propose ?
		\item Au prix unitaire de $1$ euro, la société DISTRI-PUB peut-elle satisfaire à la demande des entreprises ?
	\end{enumerate}
\item  On cherche la valeur de $x \in [0,5~;~4]$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. Cette valeur $x$ est appelée prix d'équilibre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{A- En utilisant un tableur}

On donne les deux feuilles de calcul suivantes :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline
\multicolumn{2}{|r|}{A2}&&\multicolumn{4}{l|}{=E2}\\ \hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&$x$	&$f(x)$	&$g(x)$&$f(x) - g(x)$&$x_{\text{min}}$&Pas\\  \hline
2&1		&5,886	&2,718	&3,168&1&0,1\\ \hline
3&1,1	&5,592	&3,154	&2,438		&	& \\ \hline
4&1,2	&5,301	&3,652	&1,649		&	& \\ \hline
5&1,3	&5,015	&4,220	&0,795		&	&  \\ \hline
6&1,4	&4,735	&4,866	& $-0,132$	&	& \\ \hline
7&1,5	&4,463	&5,602 	&$-1,140$	&	& \\ \hline 
8&1,6	&4,199	&6,439	& $-2,239$	&	& \\ \hline
9&1,7	&3,946	&7,390	&$-3,444$	&	& \\ \hline
10&1,8	&3,703	&8,470	&$-4,767$	&	& \\ \hline
11&1,9	&3,470	&9,695	&$-6,225$	&	& \\ \hline
12&2	&3,248	&11,084	&$-7,836$	&	& \\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|}\hline
\multicolumn{2}{|r|}{A2}&&\multicolumn{4}{l|}{=E2}\\ \hline
&A&B&C&D&E&F\\ \hline
1&$x$	&$f(x)$	&$g(x)$	&$f(x) - g(x)$	&$x_{\text{min}}$&Pas\\  \hline
2&1,3	&5,015	&4,220	&0,795			&1,3	&0,01\\ \hline
3&1,31	&4,986	&4,281	&0,706			&		& \\ \hline
4&1,32	&4,958	&4,342	&0,616			&		&\\ \hline 
5&1,33	&4,930	&4,405	&0,525			&		&\\ \hline
6&1,34	&4,902	&4,468	&0,433			&		&\\ \hline
7&1,35	&4,874	&4,532	&0,341			&		&\\ \hline
8&1,36	&4,874	&4,532	&0,341			&		&\\ \hline	
9&1,37	&4,818	&4,663	&0,154			&		&\\ \hline
10&1,38	& 4,790	&4,730	&0,060			&		&\\ \hline
11&1,39	&4,762	&4,795	&$-0,035$		&		&\\ \hline
12&1,4	&4,735	&4,868	&$-0,132$		&		&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On rappelle que dans un tableur $\text{e}^x$ se note EXP$(x)$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelles formules a-t-on saisies dans les cellules C2 et D2 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les résultats des colonnes C et D ?
\item Dans la cellule A3 on a saisi la formule \og = A2+\$F\$2 \fg{} puis on l'a recopiée vers le bas.

Quelle formule est affichée dans la cellule A8 ?
\item À partir de ces deux feuilles de calcul, donner une valeur approchée à $0,01$ près du prix d'équilibre.
\end{enumerate}

\medskip	
	
\textbf{B - Par calcul algébrique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que l'équation $f(x)=g(x)$ peut s'écrire $(x+1)\left(8 - 0,5\text{e}^{2x}\right)= 0$.
\item Résoudre sur [0,5~;~4] l'équation $f(x) = g(x)$ et en déduire la valeur exacte du prix d'équilibre.
\end{enumerate}
\end{document}