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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique  Métropole~\decofourright\\20 juin 2013 }}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}
 
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

Toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

\vspace{0,25cm}
    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}   

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie .\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse correcte rapporte un point ; une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}

\item L'équation $\ln (3x) - 1 = 0$ admet pour solution dans l'intervalle $]0~;~\infty[$ : 	
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~ $\dfrac{1}{3}$  &\textbf{b.}~~$\dfrac{\e}{3}$ &\textbf{c.}~~$\dfrac{1}{3\e}$ &\textbf{d.}~~ $\e^{\scriptstyle{\frac{1}{3}}}$\\
\end{tabularx}
					
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 3e^{2x+1}$. 
				
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$. 		
		
Pour tout réel $x$, on a :
	
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$f'(x)=3\e^{2x+1}$ &\textbf{b.}~~$f'(x) = 2\e^{2x+1}$ &
\textbf{c.}~~$f'(x) = \e^{2x+1}$&\textbf{d.}~~ $f'(x) = 6\e^{2x+1}$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

Pour les questions suivantes, $g$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[- 5~;~6]$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous. 
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,2.5)
\psframe(10,2)
\psline(0,1.65)(10,1.65)\psline(2,0)(2,2)
\rput(1,1.80){$x$}\rput(2.2,1.8){$-5$}\rput(4.6,1.8){$-1$}\rput(7.2,1.8){$2$}\rput(9.6,1.8){$6$}
\rput(0.9,1){variations}\rput(0.7,0.4){de $g$}
\rput(2.2,1.5){3}\rput(7.2,1.5){1}
\rput(4.6,0.3){$0$}\rput(9.6,0.3){$-4$}
\psline{->}(2.4,1.48)(4.5,0.4)\psline{->}(4.7,0.4)(7.1,1.46)\psline{->}(7.4,1.48)(9.5,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]	
		
\item On peut affirmer que: 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~$g(-3)\leqslant g(-5)$   &\textbf{b.}~~$g(3)\geqslant g(-5)$  &\textbf{c.}~~$g(-3) < 0$ &\textbf{d.}~~$g(3)\leqslant g(5)$ \\
\end{tabularx}

\item On note $g'$ la fonction dérivée de g sur $[-5~;~6]$. 

L'inéquation $g'(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions l'intervalle: 
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.}~~ $[-5~;~2]$  	&\textbf{b.}~~$[-1~;~2]$ &
\textbf{c.}~~ $[-1~;~6]$	&\textbf{d.}~~$[2~;~6]$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} 
  
\medskip
  
Le tableau ci-dessous indique la production mondiale de voitures particulières de marque française entre 2004 et 2011. 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{4.1cm}|*{8}{c|}}\hline
Année 	&2004 &	2005 &	2006 &	2007 &	2008 &	2009 &	2010 &	2011 \\\hline
Nombre de voitures 								
particulières produites (en milliers) &\np{5168} &	\np{5178}&\np{5047} &\np{5301} &\np{4901} &\np{4807}&	\np{5610} &	\np{5605} \\\hline
\multicolumn{9}{r}{\emph{\small Source : comité des constructeurs français d'automobiles (CCFA)}}\\
\end{tabular}
\end{center}							

\begin{enumerate}
\item Entre 2003 et 2004, la production a augmenté de 2,46\,\%. Déterminer le nombre de voitures 
particulières produites en 2003, au millier près. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution global de la production entre 2004 et 2011. 
		
On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près. 
		\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen de la production entre 2004 et 2011. 
		
On donnera le résultat en pourcentage à 0,01 près. 
		\end{enumerate}
\item On choisit l'indice de référence 100 pour la production de l'année 2004.
	 
Calculer l'indice, arrondi à 0,01 près, de la production en 2009. 
\end{enumerate}

Dans une feuille de calcul d'un tableur, reproduite ci-dessous, on a recopié ces données afin de calculer les taux d'évolution annuels de la production. 

Les cellules de la plage C3:I3 sont au format pourcentage à deux décimales. 

\medskip

\begin{tabular}{|>{\columncolor[gray]{0.95}}c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}m{1.195cm}|}}\hline
\rowcolor[gray]{0.95}&A & B & C&  D  & E &	F &	G &	H &	I   \\
\hline		
1 &	Année &2004 &2005&2006& 2007 &	2008 &	2009& 2010 &2011\\
\hline 
 2 &Production (en milliers)&\np{5168} &	\np{5178} &	\np{5047} &	\np{5301} &	\np{4901} &\np{	4807} &	\np{5610} &	\np{5605} \\ \hline
 3 &Taux d'évolution annuel&\cellcolor[gray]{0.65}&0,19\,\% &	$-2,53\,\%$ &	$5,03\,\% $&	$-7,55\,\% $&	$-1,92\,\%$ &	$16,70\,\%$ 	&$-0,09\,\% $\\ \hline 	
\end{tabular}

\medskip
		
\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 pour obtenir, par recopie vers la droite, le 
contenu des cellules de la plage C3:I3 ? 
\item Au vu des résultats obtenus, peut-on considérer que le taux d'évolution annuel moyen calculé 
dans la question \textbf{2.b.} modélise de façon pertinente l'évolution de la production ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{5mm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} 

\medskip
 
Dans une parfumerie, on remet à chaque client un échantillon de parfum gratuit lors du passage en caisse. Parmi les échantillons disponibles : 
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 55\,\% sont des parfums pour femme, les autres sont pour homme ;
\item [$\bullet$] 48\,\% des parfums pour homme sont de la marque Alpha ; 
\item [$\bullet$] 12\,\% des parfums pour femme sont de la marque Alpha. 
\end{itemize}

L 'hôtesse de caisse choisit un échantillon de parfum au hasard. On admet que chaque échantillon a la même probabilité d'être choisi. 

On définit les évènements suivants : 
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] F : \og l'échantillon choisi est un parfum pour femme\fg{} ; 
\item [$\bullet$] H : \og l'échantillon choisi est un parfum pour homme\fg{} ; 
\item [$\bullet$] A : \og l'échantillon choisi est de la marque Alpha\fg. 
\end{itemize}

On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de A. 

\emph{Les probabilités demandées seront données sous forme décimale.} 
\begin{enumerate}
\item Donner, à partir des informations de l'énoncé: 
	\begin{enumerate}
		\item la probabilité $P(\text{F})$ de l'évènement F ; 
		\item la probabilité $P_{\text{F}}(\text{A})$ de l'évènement A sachant que l'évènement F est réalisé. 
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter sur la copie l'arbre de probabilités ci-dessous. 
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{F}\taput{\np{0.55}}}
	{\TR{A}\taput{$\cdots$}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$\cdots$}
	}
\pstree{\TR{H}\tbput{$\cdots$}}
	{\TR{A}\taput{$\cdots$}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$\cdots$}
	}
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Définir par une phrase l'évènement H $\cap$ A. 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement H $\cap$ A. 
	\end{enumerate}
\item Montrer que la probabilité de l'évènement A est égale à 0,282. 
\item Calculer la probabilité que l'échantillon soit un parfum pour homme sachant qu'il est de la marque Alpha. 

On arrondira le résultat au millième. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} 

 \medskip
 
{\textbf{ Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. }}

\medskip

On s'intéresse à l'évolution du nombre de licences sportives en France.

\medskip
 
\textbf{Partie A }

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le nombre de licences sportives, toutes pratiques confondues, entre 2004 et 2010.

\smallskip 
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.9cm}|*{7}{c|}}
\hline
Année &	2004 &	2005 &	2006&	2007& 	2008 &	2009& 	2010 \\\hline
Rang de l'année $x_i$& 	0 &	1 &	2 &	3 	&4 	&5& 	6 \\\hline
Nombre de licences sportives (en millions) $y_i$ 	&15,23 &	15,78& 	15,91 &	16,25 &	16,78& 	17,27 &	17,42\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\small\emph{Source: mission des études, de l'observation et des statistiques (Meos)}}
\end{tabular}\end{center}	
 
Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ pour $i$ variant de 0 à 6 est représenté en \textbf{annexe}. 

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue 
par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au millième). 
\item On décide d'ajuster le nuage avec la droite D d'équation $y = 0,37 x + 15,26$. 
	\begin{enumerate}
	\item  Tracer la droite D sur le graphique de l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}. 
	\item Calculer le nombre de licences sportives prévu par ce modèle d'ajustement en 2013. 
	\item Selon ce modèle, en quelle année le nombre de licences sportives sera-t-il pour la première fois supérieur à 20 millions ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }

\medskip

On étudie plus particulièrement le nombre de licences sportives délivrées par la Fédération Française de la Randonnée Pédestre. 

En 2004, on comptait \np{170000} randonneurs licenciés. Entre 2004 et 2010, ce nombre a augmenté en moyenne de 4\,\% par an, et on suppose que cette évolution va se poursuivre au moins jusqu'en 2020. 

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne une estimation du nombre de randonneurs licenciés, en milliers, pendant l'année (2004 + $n$). Ainsi, $u_0=170$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_n \right)$ ? Justifier et préciser sa raison. 
\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer, au millier près, le nombre de randonneurs licenciés prévu par ce modèle en 2013. 
\item Selon ce modèle, en quelle année le nombre de randonneurs licenciés sera-t-il pour la première fois supérieur à \np{300 000} ? 
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm, yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.75,-0.3)(11.4,4)
\multido{\n=0+0.5}{22}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-0.01)(\n,3.8)}
\multido{\n=0+0.1}{39}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(10.7,\n)}
\psaxes[Ox=0,Oy=15,Dx=1,Dy=0.2]{->}(10.5,3.8)
\psdots[dotstyle=Add,dotscale=2,dotangle=45](0,0.23)(1,0.78)(2,0.91)(3,1.25)(4,1.78)(5,2.27)(6,2.42)
% \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{0}{10.1}{403.0357 x mul 50.71 sub}
\rput(0.5,3.92){Nombre de licences}\rput(0.5,3.83){sportives en millions}
\rput(11.45,-0.07){Rang de l'année}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}    
    