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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Métropole (secours)}}
\rfoot{\small{9 septembre 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole Antilles--Guyane (secours) 9 septembre 2025}}

\vspace{0,25cm}

\end{center}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 \hspace{5em} physique-chimie et mathématiques \hfill 5 points}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Transferts thermiques dans une glacière}
\end{center}

On souhaite savoir combien de temps une boisson peut rester au frais dans une
glacière. On considère que la boisson reste fraîche tant que sa température est
inférieure à $17~\degres$C.

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère une glacière réfrigérante comprenant un dispositif de refroidissement de
ce qu’elle contient. La paroi de la glacière est composée de deux couches de
polypropylène (PP) d'épaisseur $e_{\text{PP}} =\qty{0,25}{\cm}$ et d’une couche de mousse de
polyuréthane (PU) d'épaisseur $e_{\text{PU}} =\qty{4,5}{\cm}$.
On donne les conductivités thermiques des matériaux :

\begin{itemize}
\item Polypropylène (PP) : $\lambda_{\text{PP}} = \qty{0,20}{ \W \cdot\K^{-1} \cdot \m^{-1}}$.

\item Mousse polyuréthane (PU) : $\lambda_{\text{PU}} = \qty{0,025}{ \W \cdot K^{-1} \cdot \m^{-1}}$.
\end{itemize}

On rappelle que la résistance thermique surfacique $r_{\text{th}}$ d’une paroi constituée d’un
matériau unique est donnée par la relation :
\[r_{\text{th}}= \dfrac{e}{\lambda}.\]
où $e$ est l’épaisseur du matériau (en $\unit{\m})$ et $\lambda$ sa conductivité thermique en $\left(\text{W} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{m}^{-1}\right)$.

La résistance thermique $R_{\text{th}}$ d’une paroi de surface $S$ est
 donnée par la relation :

\[R_{\text{th}}=\dfrac{r_{\text{th}}}{S}.\]

\begin{description}
\item[Q1.] Calculer la valeur de la résistance thermique surfacique de la couche de mousse
de polyuréthane $ r_{\text{PU}}$.
\item[Q2.] Montrer que la résistance thermique surfacique $r_{th}$ de la paroi de la glacière est
voisine de $1,83 \text{m}^2 \cdot \text{K} \cdot \text{W}^{-1}$.
\item[Q3.] La surface totale $S$ des parois de la glacière vaut $S =\qty{ 1,2}{\square\m}$. Calculer la résistance
thermique $R_{\text{th}}$ globale entre l’intérieur de la glacière et l’air extérieur.
\end{description}

Le dispositif de refroidissement fonctionne un moment puis est interrompu à un instant
pris comme origine des temps t = 0. La glacière demeure fermée pendant 1~h dans
une pièce dont la température ambiante est constante et vaut $\theta_{\text{ext}} = 24,2~\degres$C.

Le suivi temporel de la température à l’intérieur de la glacière a permis d’obtenir le
graphique de la figure 1 ci-après.

\begin{center}
\psset{xunit=0.003cm,yunit=0.3cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-2)(4000,27)
\multido{\n=0+500}{8}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-0.025)(\n,25)}
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(4000,\n)}
\multido{\n=0+100}{41}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.025)(\n,25)}
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(4000,\n)}
\psdots[dotstyle=B+,dotscale=1.5](0,13.4)(150,13.7)(300,14)(450,14.5)(600,14.7)(750,14.9)(900,15.4)(1050,15.8)(1200,16)(1350,16.1)(1500,16.5)(1650,16.8)(1800,17)(1950,17.05)(2100,17.15)(2250,17.2)(2400,17.7)(2550,18)(2700,18.1)(2850,18.3)(3000,18.2)(3150,18.5)(3300,18.9)(3450,19.1)(3550,19)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=500,Dy=5]{-}(0,0)(4000,25)
\uput[d](2000,-1.25){Temps(s)}\uput[u]{90}(-300,5){Température (\unit{\celsius})}
\uput[d](2000,-2.5){Figure 1 – Évolution de la température de la glacière au cours du temps}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Données :}
\begin{itemize}
\item capacité thermique de la glacière et de son contenu: $c_{\text{g}} = 3,6 $kJ $\cdot \degres$~C$^{-1}$;
\item on admet que la glacière et son contenu sont à la même température.
\end{itemize}

\textbf{Q4.} La température initiale de l’air contenu dans la glacière est $\theta_i = 13,4~\degres$C. En utilisant
la figure 1, indiquer la valeur $\theta_{\text{f}}$ de la température de l’air contenu dans la glacière après une heure.

\textbf{Q5.} Calculer la valeur de la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système formé par la
glacière et son contenu entre les instants $t = 0$ et $t = 1$~h.

\textbf{Q6.} Représenter une paroi latérale de la glacière et préciser le sens du transfert
thermique au travers de celle-ci.

Pendant les 500 premières secondes, la température passe de  $\theta_i = 13,4~\degres$C à
$\theta_{500} = 14,4~\degres$C.

\textbf{Q7.} Montrer que le flux thermique moyen reçu par la glacière durant les 500 premières
secondes est voisin de $\qty{7,2}{\W}$.

On rappelle la relation entre le flux thermique $\phi_{\text{th}}$, la résistance thermique globale $R_{\text{th}}$ et la différence de température entre l’extérieur et l’intérieur de la glacière 
$\theta_{\text{ext}} -\theta_{\text{int}}$ :

\[\phi_{\text{th}} =\dfrac{\theta_{\text{ext}} -\theta_{\text{int}}}{R_{\text{th}}}.\]

\textbf{Q8.} Montrer que la résistance thermique globale $R_{\text{th}}$ de la paroi de la glacière mesurée
par cette méthode est voisine de $\qty{1,4}{\K \cdot \per\W}$.

On admettra que pendant les $500$ premières secondes, la différence $\theta_{\text{ext}} -\theta_{\text{int}}$ vaut $10,3$.

\textbf{Q9.} Comparer le résultat de la question \textbf{Q8.} à celui de la question \textbf{Q3.} et commenter.
\bigskip


\textbf{Partie 2}

On détermine un modèle numérique à partir de l’expérience de la partie 1. 

On suppose
que la fonction $\theta$ modélisant la température de l’air contenu dans la glacière, en degré
Celsius, en fonction du temps $t$, en seconde, est définie sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[\theta(t) = - 10,8 \e^{\frac{-t}{5040}}+ 24,2.\]

\textbf{Q10.} Déterminer $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \theta(t)$ et analyser le résultat dans le contexte de l’exercice.

\textbf{Q11.} Résoudre l’inéquation $\theta(t) \geqslant 17$. Interpréter le résultat dans le contexte de
l’exercice.

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3 \hspace{5em} mathématiques \hfill 4 points}
\end{center}

\textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des
autres.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\smallskip

\emph{Pour cette question, indiquer, en justifiant, la lettre correspondant à la réponse
exacte.}

On considère la fonction$f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2 + 5x)\e^{3x}$.
On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée.
Pour tout $x$ appartenant à $\R$, on a :

\renewcommand\arraystretch{1.6}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A&B&C&D\\\hline
$f'(x) = 5\e^{3x}$&$f'(x) = 15\e^{3x}$&
$f'(x) = (11 + 15x)\e^{3x}$&$f'(x) = (7 + 5x)\e^{2x}$\\\hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}

\medskip

\textbf{Question 2}

\smallskip

On considère l’équation différentielle $(E)$ :

\[y' = - 3y + 5,\]

où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$.

Déterminer les fonctions définies sur $\R$, solutions de l’équation différentielle $(E)$.

\medskip

\textbf{Question 3}

\smallskip

Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe

\[Z= -6\sqrt{3} + 6\i.\]

\medskip

\textbf{Question 4}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ respectivement par 
\begin{center}$f(x) =\dfrac12 x^2 +1$ et $g(x) = x + 5$\end{center} 
sont
représentées sur le graphique ci-contre par la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$, courbe représentative de la fonction $g$.

Lire graphiquement les positions relatives des courbes représentatives $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et $\Delta$ de la fonction $g$ puis montrer que l’aire de la partie colorée comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ vaut 18 unités d’aire.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(5.5,10)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{x dup mul 0.5 mul 1 add}\psline(4,9)(-2,3)
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-1)(5.5,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{5.5}{x dup mul 0.5 mul 1 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{5.5}{x 5 add}
\uput[r](-4,9){\red $\mathcal{C}$}\uput[ul](2,7){\blue $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}

%\smallskip
%\begin{multicols}{2}
%Les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ respectivement par
%$f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+1$ et $g(x)=x+5$ 
%
%sont représentées sur le graphique ci-contre par la
%courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $f$ et
%la droite $\Delta$, courbe représentative de la fonction $g$.
%Lire graphiquement les positions relatives des
%courbes représentatives $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et $\Delta$ de
%la fonction $g$ puis montrer que l’aire de la partie
%colorée comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$
%vaut 18 unités d’aire.
%\hfill
%\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,labelFontSize=\scriptscriptstyle,comma=true}
%\begin{pspicture}(-6,-0.5)(5.5,10.25)
%\multido{\n=-5.4+0.2}{55}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.25)(\n,10.2)}
%\multido{\n=-0.2+0.2}{53}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-5.4,\n)(5.4,\n)}
%\multido{\n=-5+1}{10}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](\n,-0.25)(\n,10.2)}
%\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray](-5.4,\n)(5.4,\n)}
%\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-5.4,0)(5.4,10.5)
%\uput[ur](-3,6.5){$\mathcal{C}$ }%en heures}\uput[u]{90}(-25,0.55){concentration en acide L-ascorbique en mmol$\cdot$ L$^{-1}$}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4.3}{4.3}{ x 2 exp 0.5 mul 1 add}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{-5.2}{5.2}{ x  5 add}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot{-2}{4}{x 2 exp 0.5 mul 1 add}\psplot{-2}{4}{x 5 add}}
%\end{pspicture}
%\end{multicols}
\end{document}