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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Marie Paterski
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{28 novembre 2017}}
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\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou
l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une primitive de $f$ définie pour $x > 0$ par $f(x) = 3x + \dfrac{2}{x}$ est la fonction $F$ telle que :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
\textbf{a.~~} $F(x) = 3x^2 + \ln \left(x^2\right)$&\textbf{b.~~} $F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 2\ln (x)$
&\textbf{c.~~} $F(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2}$&\textbf{d.~~} $F(x) = 6x - 2\ln (x)$
\end{tabularx}
\end{center}

\item $\ln (128)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln (2) + \ln (7)$ &\textbf{b.~~} $7 \ln (2)$ &\textbf{c.~~} $2 \ln (14)$ &\textbf{d.~~} $\ln (120) + \ln (8)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère le nombre complexe $z = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$  où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$. Le cube de $z$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 6i &\textbf{b.~~} $- 8$ &\textbf{c.~~} $8$ &\textbf{d.~~} $-8\text{i}$
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'équation $\text{e}^{2x} = 3$ admet comme solution dans $\R$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{2}\ln (3)$
&\textbf{c.~~} $\dfrac{3}{2}\text{e}$&\textbf{d.~~} $\ln (9)$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}
 
\medskip

Un kiosque numérique propose des magazines consultables sur tablette. Il avait \np{4000}
abonnés lors de son lancement.

Une étude commerciale montre que chaque année le taux de réabonnement est voisin de
70\,\% et que le nombre de nouveaux abonnés est d'environ \np{6000}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre d'abonnés une année après le lancement.
\item Déterminer de même le nombre d'abonnés deux années après le lancement.
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables :}		&$n$ est un entier naturel.\\
							&$u$ est un réel.\\
\textbf{Initialisation :}	&Affecter à $u$ la valeur \np{4000}\\
							&Affecter à $n$ la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que $n < 2$\\
							&$u$ prend la valeur $\dfrac{7}{10}u + \np{6000}$\\
							&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\textbf{Sortie :}& Afficher $u$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Quel est le résultat affiché par cet algorithme ?
\item Modifier l'algorithme pour afficher le nombre d'années à partir duquel il y aura plus de
\np{15000}~abonnés.
\item Soit la suite $\left(a_n\right)$ définie par : 

\[a_0 = 4 \text{  et pour tout }\:n > 0, \:\:  a_{n+1} = \dfrac{7}{10}a_n + 6.\]

Quel lien peut-on établir entre cette suite et le nombre d'abonnés au kiosque
numérique ?
\item Soit $\left(b_n\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $b_n = 20 - a_n$.

On admet que la suite $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{10}$.

Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
\item D'après ce modèle peut-on envisager de dépasser les \np{30000} abonnés?
Expliquer la démarche suivie.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.

Elle les sort de son congélateur à $-18$~\degres C et les place dans une pièce à $20$~\degres C. 

Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $1$~\degres C.

\bigskip

\textbf{Premier modèle}

\medskip

On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de
température des macarons est la même.

Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$~minutes, puis au bout de $45$~minutes.

Cette modélisation est-elle pertinente?

\bigskip

\textbf{Deuxième modèle}

\medskip

On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence
de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton). 

On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation. 

L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.

\smallskip

On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un
nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif :

\[\theta'(t) = a [\theta(t) -20]\quad (E)\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que l'équation $(E)$ s'écrit également : $\theta' - a \theta = - 20 a$. 

Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.
\end{enumerate}
On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $-18$~\degres C et que, au bout de $15$~min, elle est de $1$~\degres C.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Montrer que pour $t$ positif : $\theta(t) = 20 - 38 \text{e}^{- \frac{t \ln 2}{15}}$.
\item La température idéale de dégustation des macarons étant de $15$~\degres C, Marie estime que
celle-ci sera atteinte au bout de $30$~min. A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip

Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées après $90$~jours
d'élevage. 

Un poulet de $90$ jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre $2,8$~kg et
$3,2$~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'avicultrice a constaté que la masse $M$, exprimée en kg, de ses poulets de $90$ jours
suit une loi normale de moyenne $3$ et d'écart type $0,1$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer au centième près la probabilité qu'un poulet de $90$ jours prélevé au
hasard soit conforme.
		\item Déterminer au millième près la probabilité que la masse d'un poulet de $90$ jours
prélevé au hasard soit supérieure à $3,3$~kg.
	\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que $95$\,\% des poulets de $90$ jours sont conformes.
	
Un rôtisseur achète tous les samedis $100$ de ces poulets. On admet que le nombre de
poulets de l'élevage est suffisamment important pour que cet achat puisse être
assimilé à un prélèvement avec remise. 
	
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de poulets non conformes, c'est-à-dire dont la masse n'est pas dans l'intervalle $[2,8~;~3,2]$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$. Que représente ce nombre ?
	\end{enumerate}		
\item Lors de son dernier achat, le rôtisseur a compté $9$ poulets non conformes. Il se plaint
auprès de l'éleveur.
	
Avec un tableur, on a calculé les probabilités $P(X \leqslant a)$ pour $a$ allant de $0$ à $13$.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$					& 0			& 1 		&2 			&3 			&4 			&5 			&6\\ \hline
$P(X\leqslant a)$	&\np{0,0059}&\np{0,0371}&\np{0,1183}&\np{0,2578}&\np{0,4360}&\np{0,6160}&\np{0,7660}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$ 				&7 			&8 			&9 			&10 		&11 		&12 		&13\\ \hline
$P(X\leqslant a)$	&\np{0,8720}&\np{0,9369}&\np{0,9718}&\np{0,9885}&\np{0,9957}&\np{0,9985}&\np{0,9995}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation à 95\,\% de la fréquence de poulets non
conformes.
		\item Le rôtisseur a-t-il eu raison de se plaindre ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}