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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Académie de Guyane
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL 16 juin 2016~\decofourright\\[4pt]
Antilles-Guyane \\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point. \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse}.}

\medskip

i \emph{désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument\: $\dfrac{\pi}{2}$}

ln \emph{désigne la fonction logarithme népérien.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{1 + 2\text{i}}{3 - \text{i}}$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}  $\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{10}\text{i}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{10}\text{i}$\\
\textbf{c.~~}  $\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}\text{i}$&\textbf{d.~~} \og Aucune des réponses a.-b.-c. \fg.
\end{tabularx}
\medskip

\item  La forme exponentielle du nombre complexe $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ est

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$4\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.~~}$- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
\textbf{c.~~}$4\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{a.~~}$16\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln a + \ln 2a$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln (3a)$				&\textbf{b.~~}$3\ln a$\\
\textbf{c.~~} $\ln \left(2a^2\right)$	&\textbf{d.~~}$2\ln \left( a^2\right)$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une solution $f$ de l'équation différentielle $3y'' + 12y = 0$ est la fonction définie pour
tout réel $t$ par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f(t) = \sin (4t)$&\textbf{b.~~}$f(t) = \sin (2t)$\\
\textbf{c.~~} $f(t) = 2\sin (3t)$&\textbf{d.~~}\og Aucune des réponses a.-b.-c. \fg.
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère
orthonormé \Oij, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-1)(8,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.99,-0.99)(7.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7.3,0){$x$}
\uput[r](0,3.1){$y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{2.75 0.5 x mul sub}
\uput[l](1.2,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](1,2.25){$T$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](2.5,1.5)\uput[ur](2.5,1.5){A}
\end{pspicture*}
\end{center}


\textbf{Partie A - Étude graphique}

\medskip

La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point A(2,5~;~1,5) et d'ordonnée à l'origine 2,75.

L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.

Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(1)$ ;
\item  $f'(2,5)$ ;
\item  Une équation de la tangente $T$ ;
\item  $\displaystyle\lim_{+ \infty} f(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Modélisation}

\medskip

On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

\[\text{pour tout réel }\:x,\: \:f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+2,5}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Exprimer en fonction des réels $a$ et $b$ les nombres suivants :

\[f(1) \quad ;\quad f'(2,5).\]

\item Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par $a$ et $b$.
\item Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude algébrique}

\medskip

On admet que pour tout réel $x,\: f(x) = (x - 1)\text{e}^{-x+2,5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $x$,

\[f(x) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right).\]

		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
		\item Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$ en
faisant figurer les limites trouvées précédemment.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D - Application}

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface
d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil
auditif schématisé ci-contre.

Une modélisation mathématique a permis de représenter
cette surface.}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(0.5,0)(3,1.8)
\def\bordure{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{2}{2.47}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub 0.1 add}
\rput(-0.3,0.1){\bordure}
\psline(0.7,0.14)(1,0)(2,0.1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{2.47}{2}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub 0.1 add}
\psline(2,0.1)(1,0)
}
\end{pspicture*}}

Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij, cette surface correspond à la
partie du plan limitée par :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'axe des abscisses;
\item[$\bullet~~$] les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2,5$ ;
\item[$\bullet~~$] la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
\item[$\bullet~~$] la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie par:
pour tout réel $x,$

$g(x) = -2x^2 + 12x - 16$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment.
\end{enumerate}

Pour déterminer l'aire $S$ de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.

\begin{enumerate}[resume]
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x$.
\item On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction définie par :
		
\[\text{pour tout réel }\:x,\: F(x) = - x \text{e}^{-x+2,5}.\]
		
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ en unité d'aire.
		\item En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $S$ en unité d'aire.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.}

\medskip

Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité.

Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum
garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes,
des vitesses pouvant aller jusqu'à $420$~km.h$^{-1}$ et des températures instables allant de
$- 40$\degres~C (en altitude) à $250$\degres~C (au moment du décollage).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la
production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire $M$
suit la loi normale de moyenne $\mu = 121,37$ et d'écart type $\sigma = 0,42$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg
comprise entre $120,95$ et $121,79$.
\item Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg
supérieure à $122,63$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène.

Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 
121,9~kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier.

Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de $36$ pneus
et on constate que $2$ d'entre eux ont une masse qui dépasse $121,9$~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse
dépasse $121,9$~kg ?
\item Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\,\% de la
proportion de pneus dont la masse dépasse $121,9$~kg dans la production.

\emph{On rappelle que lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$,
l'intervalle de confiance à $95$\,\% de la proportion dans la population est donné par :}

\[I = \left[f- 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right].\]

\item Donner une interprétation du résultat précédent.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à }\boldmath $10^{-2}$.\unboldmath

\medskip

Par souci de santé, d'environnement ou simplement pour le plaisir du goût,
l'alimentation biologique s'invite de plus en plus dans les assiettes des français.

Deux fermes auvergnates décident de se convertir dans la production biologique.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En 2015, la ferme \emph{Bernard} décide de cultiver 2 hectares selon le mode de production
biologique et d'augmenter cette surface de production de $20$\,\% par an les années,
suivantes.

On note $S_n$ la surface, en hectare, cultivée selon le mode de production biologique,
durant l'année \og 2015 + n \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle sera la surface cultivée en hectare selon le mode de production biologique
durant l'année 2016, puis durant l'année 2017 ?
\item Quelle est la nature de la suite $\left(S_n\right)$ ? Justifier.
\item Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
\item La ferme \emph{Bernard} dispose d'une surface de $10$~hectares. Durant quelle année la 
totalité de la ferme sera cultivée selon le mode de production biologique ? Justifier
par le calcul.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En 2015, la ferme \emph{Dupont} décide de cultiver 1 hectare, selon le mode de production
biologique et d'augmenter cette surface de $0,8$ hectare par an.

On note $u_n$ la surface cultivée selon le mode de production biologique, durant l'année
\og $2015 + n$ \fg, exprimée en hectare.

La production biologique impose aux sols un temps de repos pour se reconstituer. La
ferme \emph{Dupont} dispose d'une surface de $18$~hectares. Afin de garder un certain
bénéfice, la ferme Dupont limite sa production biologique à $70$\,\% de la surface totale
de la ferme chaque année.

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}&\\
&$K$ un entier naturel\\
&$U$ un nombre réel\\
\textbf{Début}&\\
&$U$ prend la valeur 1\\
&\hspace{0,6cm}\begin{tabular}{|l}
	Pour $K$ allant de 1 à 10\\
	$U$ prend la valeur $U + 0,8$\\
	FinPour
		\end{tabular}\\
&Afficher $U$\\
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Tester cet algorithme. Pour cela on recopiera et complétera le tableau suivant
donnant les valeurs de $K$ et $U$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l| *{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $K$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}	&1		&\ldots\\ \hline
Valeur de $U$	&1													&\ldots &\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelle est la valeur finale affichée par cet algorithme ? À quoi correspond-elle ?
\item La limite fixée par la production biologique est-elle atteinte pour cette année-là ?
\item Réécrire l'algorithme afin qu'il affiche l'année à partir de laquelle la limite imposée
par une production biologique sera atteinte.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-1)(8,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.99,-0.99)(7.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7.3,0){$x$}
\uput[r](0,3.1){$y$}
\psplot[plotpoints=36000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.75}{7}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub}
\uput[l](1.2,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](3.5,1.5){$\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}