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% Tapuscrit  : Arié Yallouz
%Relecture : Denis Vergès
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Antilles Guyane},
pdftitle = {18 juin 2019},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Antilles Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STI2D et STL/SPCL - Antilles Guyane ~\decofourright\\[5pt]18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.} 
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie. 
 
 \medskip
 
On rappelle que : 

\begin{itemize}
\item $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.
\item $\mathrm{i}$ désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $a$ strictement positif, $\dfrac{\ln(2a)+\ln(8a)}{2}$ est égal à :

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  $\ln(4a)$ & \item   $\ln(5a)$  & \item  $\ln(16a)$ & \item   $\ln\left(8a^2\right)$ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip 

\item  On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$. On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij.
  
On admet que $\displaystyle{\lim_{x \to 0}}f(x) = -\infty$ et que $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}}f(x) = +\infty$.
 
La courbe $\mathcal{C}$ admet : 

\begin{enumerate}
\item  deux asymptotes parallèles à l'axe des ordonnées 
 \item une  asymptote  parallèle  à  l'axe  des  ordonnées  et  une  asymptote  parallèle  à l'axe des abscisses  
  \item  une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées et aucune asymptote parallèle à l'axe des abscisses 
   \item deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses
\end{enumerate}

\medskip 

\item On considère le nombre complexe $z=-2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.

Soit $\overline{z}$ le nombre complexe conjugué de $z$. Une écriture exponentielle de $\overline{z}$ est : 

\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item   $2\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ & \item $2\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$  & \item  $2\e^{-\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$ & \item $2\e^{\mathrm{i}\frac{5\pi}{4}}$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip 

\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv. Les droites d'équation $y=x$ et $y=-x$ partagent le plan en quatre zones \textcircled{\sf{1}}, \textcircled{\sf{2}}, \textcircled{\sf{3}} et \textcircled{\sf{4}} comme indiqué ci-dessous :  
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{x}
\def\g{-x}
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](\n,-2.2)(\n,2.2)}
\multido{\n=-2+1}{5}{\psline[linewidth=.25pt,linecolor=darkgray](-2.2,\n)(2.2,\n)}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.25pt,linecolor=darkgray,ticks=none]{-}(0,0)(-2.2,-2.2)(2.2,2.2)
\psaxes[linewidth=1pt,ticks=none,linecolor=prune]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}
\uput[d](.5,0){\footnotesize{\prune{$\vec{u}$}}}\uput[l](0,.5){\footnotesize{\prune{$\vec{v}$}}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2.2}{2.2}{\f}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linecolor=bleu]{-2.2}{2.2}{\g}
\rput(1.5,0){\Large{\textcircled{\sf{1}}}}
\rput(0,1.5){\Large{\textcircled{\sf{2}}}}
\rput(-1.5,0){\Large{\textcircled{\sf{3}}}}
\rput(0,-1.5){\Large{\textcircled{\sf{4}}}}
\end{pspicture}
\end{center}

Soit $z$ un nombre complexe non nul. On sait que : 
\begin{itemize}
\item la partie réelle de $z$ est strictement inférieure à sa partie imaginaire ; 
\item un argument de $z$ est strictement compris entre $\dfrac{3\pi}{4}$ et $2\pi$. 
\end{itemize}
Le point image de $z$ se situe : 
\begin{enumerate}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\item  dans la zone \textcircled{\sf{1}} & \item dans la zone \textcircled{\sf{2}} & \item  dans la zone \textcircled{\sf{3}} & \item dans la zone \textcircled{\sf{4}} 
\end{tabularx}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  7 points}

\medskip

L'énergie houlomotrice est obtenue par exploitation de la force des vagues. Il existe différents dispositifs  pour  produire  de l'électricité  à  partir  de  cette  énergie.  Les  installations houlomotrices doivent être capables de résister à des conditions extrêmes, ce qui explique que le coût actuel de production d'électricité par énergie houlomotrice est élevé. 
 
On  estime  qu'en  2018  le  coût  de  production  d'un  kilowattheure  (kWh)  par  énergie houlomotrice  était  de  24  centimes  d'euros.  C'est  nettement  plus  que  le  coût  de  production d'un kilowattheure par énergie nucléaire, qui était de 6 centimes d'euros en 2018. 
 
On admet qu'à partir de 2018 les progrès technologiques permettront une baisse de 5\,\% par an du coût de production d'un kilowattheure par énergie houlomotrice.
 
 
Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. 

\medskip

\textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Pour  tout  entier  naturel $n$, on  note $c_n$ le  coût  de  production,  en  centime  d'euro,  d'un kilowattheure d'électricité produite par énergie houlomotrice pour l'année $2018 + n$.
 
Ainsi, $c_0 =24$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Calculer $c_1$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer la nature de la suite $\left(c_n \right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $0,95^n < 0,25$.
\item Dans  cette  question,  on  admet  que  le  coût  de  production  d'un  kilowattheure  par énergie nucléaire reste constant et égal à 6 centimes d'euros.

Déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice  deviendra  inférieur  au  coût  d'un  kilowattheure  produit  par  énergie nucléaire.
\item Dans  cette  question,  on  estime  que  le  coût  de  production  d'un  kilowattheure  par énergie nucléaire va augmenter tous les ans d'un centime d'euro. On souhaite alors déterminer l'année à partir de laquelle le coût d'un kilowattheure produit par énergie houlomotrice  deviendra  inférieur  au  coût  d'un  kilowattheure  produit  par  énergie nucléaire.
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin que la valeur de la variable $N$ en sortie d'algorithme permette de répondre au problème.
\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{5cm}

$C \gets 24$

$D \gets 6$

$N \gets 2018$

Tant que \dotfill

\begin{itemize}
\item[] $C \gets  \ldots$
\item[] $D \gets  \ldots$
\item[] $N \gets  N+1$
\end{itemize}
Fin Tant que
\end{minipage}
}
\end{center}
\item Répondre au problème posé. Aucune justification n'est demandée.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

On admet que la durée de vie d'un composant électronique d'une installation houlomotrice, exprimée en année, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont le paramètre $\lambda = 0,04$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la durée de vie moyenne de ce composant électronique.
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$ par $f(x)=0,04\e^{-0,04x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$.
		\item On rappelle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty [$ :\[P\left( X\leqslant t \right)=\displaystyle\int_0^t f(x) \mathrm{d}\, x .\]
Démontrer que $P\left( X\leqslant t \right)=1-\e^{- 0,04t}$.
\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P\left(X > 15\right)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  6 points}

\medskip

En raison des frottements avec l'atmosphère résiduelle terrestre, les satellites en orbite basse perdent progressivement de l'altitude et finissent par se consumer dans les couches les plus denses de l'atmosphère. Cet évènement est appelé rentrée atmosphérique. 
 
Le  temps,  exprimé  en  jour,  avant  la  rentrée  atmosphérique  dépend  des  caractéristiques  du satellite et de l'altitude $h$, exprimée en kilomètre, de son orbite. 
 
Pour un satellite donné, ce temps est modélisé par une fonction $T$ de la variable $h$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty [$. 

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante}.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a} – Étude d'un premier satellite}}

\medskip

On admet que la fonction $T$,  associée  à ce premier  satellite,  est  une solution de l'équation différentielle $(E)$ suivante dans laquelle $y$ désigne une fonction  de  la  variable $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty [$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.\[(E)\;:\;40y'-y = 0.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle  $(E)$ sur $[0~;~+\infty [$.
\item Déterminer  la  fonction $T$ solution de  l'équation  différentielle $(E)$ qui  vérifie  la condition 

$T(800)=\np{2000}$.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b} – Étude d'un deuxième satellite}}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $T$, associée à ce deuxième satellite, est définie sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$ par : 

\[T(h) = K\times0,012\e^{0,025(h-150)}.\]

Le nombre réel $K$ est appelé coefficient balistique du satellite.  
 
La fonction $T$ associée à ce deuxième satellite est représentée ci-après.

\medskip

\emph{Dans cette partie, on ne demande pas de justification. Les résultats  seront  donnés  avec la précision permise par le graphique.}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2.4mm} 
\begin{pspicture}(-4,-4)(55,25)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{prune}{.6 0 .48}
\newrgbcolor{grisb}{.89 .88 .96}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\h{.221*EXP(.025*(x-150))}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0,griddots=5](0,0)(55,25)
\psset{unit=1.2cm}
\psgrid[gridwidth=0.25pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(11,5) 
\psset{xunit=.24mm,yunit=.012mm} 
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticks=none,Dx=50,Dy=1000]{->}(0,0)(-.1,-.1)(550,5000)
\uput[dl](0,0){\footnotesize{0}}\uput[dl](550,0){\footnotesize{$h$}}\uput[dl](0,5000){\footnotesize{$T(h)$}}
\psplot[algebraic=true,plotpoints=2000,linecolor=green,linewidth=1.25pt]{0}{550}{\h}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À quelle altitude minimale faut-il mettre en orbite ce deuxième satellite pour que le temps restant avant sa rentrée atmosphérique soit au moins égal à \np{1000} jours ?
\item Déterminer une valeur approchée du coefficient balistique $K$ de ce deuxième satellite.
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c} – Étude d'un troisième satellite : Hubble}}

\medskip

Le satellite Hubble a un coefficient balistique $K$ égal à 11. 
 
La fonction $T$, associée à ce troisième satellite, est donc définie sur l'intervalle  
$[0~;~ +\infty [$ par :

\[T(h)=0,132\e^{0,025(h-150)}.\]

\begin{enumerate}
\item L'orbite du satellite Hubble est située à l'altitude $h$ de 575 km. Calculer le temps $T(h)$ restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble. Arrondir au jour près.
\item Déterminer la limite de $T$ en $+\infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $T'(h)$, où $T'$ désigne la fonction dérivée de $T$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $T$ sur  $[0~;~ +\infty [$.
	\end{enumerate}
\item On souhaite étudier l'effet d'une augmentation de 10 km de l'altitude $h$ sur le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $T(h + 10)= \e^{0,25}\times T(h)$.
		\item En déduire qu'augmenter l'altitude $h$ de 10 km revient à augmenter d'environ 28\,\% le temps restant avant la rentrée atmosphérique du satellite Hubble.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  3 points}

\medskip

Un  atelier de  mécanique  de  précision  est  équipé de machines  à  commande numérique permettant la production de pièces métalliques en aluminium. 

Un client  passe une  commande  de pièces dont la longueur souhaitée est de  75 millimètres (mm). 

\smallskip
 
\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
 
\emph{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-2}$.}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

Le  réglage  des  machines  permet  de  produire  des  pièces  dont  la  longueur,  exprimée  en millimètre,  est  modélisée  par  une  variable  aléatoire $X$ qui  suit  la  loi  normale  d'espérance $\mu =75$ et d'écart-type $\sigma=0,03$. 
 
Afin  de  garantir  au  client  une  précision  optimale,  seules  les  pièces  dont  la  longueur  est comprise entre 74,95~mm et 75,05~mm sont jugées commercialisables.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X > 74,97)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit commercialisable. 
\end{enumerate}

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip 

On souhaite améliorer la précision de la production. Pour cela, les machines sont réglées et reprogrammées. Après réglage, la longueur des pièces, en millimètre, est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant  une  loi  normale.  Son  espérance  est  inchangée  et  vaut $\mu=75$. La valeur de l'écart-type a été modifiée. On note $\sigma'$ la nouvelle valeur de l'écart-type. 

Ces nouveaux réglages permettent de limiter la proportion de pièces non commercialisables. On a $P\left(74,95 \leqslant Y \leqslant 75,05\right)\approx 0,95$

Déterminer $\sigma'$. Justifier.

\medskip

 \textsf{\textbf{\textsc{partie c}}}

\medskip 

On procède à de nouveaux réglages. 

Le responsable de l'atelier affirme alors être en mesure de commercialiser 97\,\% des pièces. 

On  procède  à  un  contrôle  de  qualité  en  prélevant  au  hasard  $300$  pièces  métalliques.  On constate que $14$ d'entre elles ne sont pas commercialisables. 
 
Au seuil de 95\,\%, faut-il mettre en doute l'affirmation du responsable de l'atelier ? Justifier la réponse.

\begin{center}
\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{On  rappelle  que  lorsque  la  proportion $p$ dans  la  population  est  connue,  l'intervalle  de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille  $n$ est donné par : \[\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}} ; p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right].\]}
\end{minipage}
}
\end{center}
\end{document}