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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI2D et STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL  Antilles-Guyane~\decofourright\\[4pt]16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.}

\smallskip

\emph{Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et
indiquerez la seule réponse choisie.}

\smallskip

\emph{Dans cet exercice, {\rm i} désigne le nombre complexe de module $1$ et d’argument } $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$  est définie par $u_0 = - 3$ et pour tout entier naturel 
$n$,\: $u_{n+1}=\dfrac{7}{5}u_n$. 

La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} $-\infty$&\textbf{c.~~}$+\infty$& \textbf{d.~~} $-3$
\end{tabularx}

\smallskip


\item On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0 = \dfrac{1}{4}$
et sa raison $q = \dfrac{3}{2}$.


La valeur exacte du terme $v_{10}$ est égale à :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{14.4}$ &\textbf{b.~~} $\np{7.3}\times 10^{-4}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\np{59049}}{\np{4096}}$& \textbf{d.~~} $\dfrac{15}{4}$
\end{tabularx}

\smallskip

\item On considère le nombre complexe $z = \sqrt{3} - 5\mathrm{i}$.

Le nombre complexe $z \overline{z}$ est égal à :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3 - 25\mathrm{i}$ &\textbf{b.~~} $\left(-\sqrt{3} + 5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3} -5\mathrm{i}\right)$&\textbf{c.~~}$-28$& \textbf{d.~~} $28$
\end{tabularx}

\smallskip

\item Le nombre $a$ est un réel strictement positif.

Le nombre complexe $z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{\mathrm{i}\frac{a \pi}{3}}$ &\textbf{b.~~} $a\e^{\mathrm{i}\frac{2a \pi}{3}}$ &\textbf{c.~~}$2a\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ & \textbf{d.~~} $2a\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
\end{tabularx}

\smallskip
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la
hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre
en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme.

Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut
du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé
plus bas, à Clermont-Ferrand.

Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue
lorsque l’altitude augmente.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa)}.

\emph{On rappelle que la pression atmosphérique vaut $\np[hPa]{1013,25}$  au niveau de la mer.}

\medskip

\textbf{Partie A}: Une règle simplifiée

\medskip

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée
suivante : \og la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l’altitude
augmente de 1 mètre \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant en utilisant cette règle :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
altitude(en mètre)				&0				&800& \np{1500}	& \np{2000}\\\hline
pression atmosphérique (en hPa)	&\np{1013,25}	&	&			&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à
l’altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée.

Ainsi $u_0	=\np{1 013,25}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer  $u_1$ et $u_2$.
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
		\item On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n = u_0 - \np{0,11}n$.

En déduire l’altitude, exprimée en mètre, à partir de laquelle la pression
atmosphérique est inférieure à \np[hPa]{950}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}: La formule barométrique

\medskip

On considère l’équation différentielle (E) :

\[y' + 0,12 y = 0\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

Pour de faibles valeurs de l’altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$
qui, à l’altitude $x$  \textbf{en kilomètre}, associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie \mbox{$f(0) = 
\np{1013,25} $}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
		\item Démontrer que la solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la
condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x)=\np{1013.25} \e^{-0,12x}\]

	\end{enumerate}
\item En utilisant la fonction $f$ :
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer une valeur approchée à $0,01$ près de la pression atmosphérique à
150 mètres d’altitude.
		\item Calculer l’altitude, arrondie au mètre, correspondant à une pression
atmosphérique de \np[hPa]{900}.
	\end{enumerate}
\item On pose  $v_n = f(n)$, pour tout entier naturel $n$. Justifier qu’avec ce modèle, la
suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}: La formule du nivellement barométrique

\medskip

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne
peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes.

Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui à l’altitude $x$ \textbf{en kilomètre} associe la pression atmosphérique en hPa :

\[p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{\np{5.255}}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l’unité) au sommet de
l’Everest dont l’altitude est \np{8848} mètres.
\item Recopier et compléter l’algorithme suivant en utilisant la fonction $p$, de façon à ce
qu’il affiche en sortie l’altitude (estimée à $100$ mètres près) à partir de laquelle la
pression atmosphérique est inférieure à \np[hPa]{400}.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\begin{minipage}[]{5.5cm}
\textbf{Variables}

$A$ un nombre réel

$P$ un nombre réel

\textbf{Début}

$A$ prend la valeur 0

$P$ prend la valeur \np{1013.25}

\textbf{Tant que} \dots  \textbf{faire}

\hspace{4em} \begin{tabular}{|l}
$A$ prend la valeur $A + 0,1$\\
$P$ prend la valeur \dots
\end{tabular}

\textbf{Fin tant que}

Afficher \dots

\textbf{Fin}
\raisebox{-1ex}{}
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}

Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l’unité de longueur
est le mètre (m).

Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau.

La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité
représente un mètre.

\begin{minipage}{9cm}
$C_f$ est la représentation graphique de la fonction
$f$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par :

\[ f(x) = 12+ax^2+\ln(x).\]

où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la
partie A.

\begin{description}
\item S est le point de $C_f$ d’abscisse 1.

\item A est le point de $C_f$ d’abscisse 2.

\item B est le point de $C_f$ d’abscisse 5.

\item D est le point d’intersection de la droite d’équation
$x = 2$  et de la droite parallèle à l’axe des abscisses passant par B.
\end{description}

La voile est représentée par le domaine délimité par le
segment [AD], le segment [DB] et la courbe $C_f$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[]{5.5cm}
\psset{xunit=0.69cm,yunit=0.69cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(6.3,13.4)
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6.4,12.23)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](1,11.5){S}\uput[l](2,1.1094379){D}\uput[r](5,1.1094379){B}\uput[ur](2,10.693147){A}\uput[r](5.2,0.5){\blue $C_{f}$}
\psdots [dotstyle=Bullet,dotscale=1.2](1,11.5)(2,10.693)(2,1.109)(5,1.109)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.15pt](2,1.109)(2,10.693)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{2}{5}{x ln 12 add x 2 exp 0.5 neg mul add}
\psline[linewidth=0.15pt](5,1.109)(2,1.109)
}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.2,11.5)(1.8,11.5)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.1}{5.2}{x ln 12 add x 2 exp 0.5 neg mul add}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose que la tangente à la courbe $C_f$ au point S est horizontale.

Que vaut $f'(1)$ ?
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0,1~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer $f'(1)$ en fonction de $a$.
		\item Démontrer que $a=-0,5$ .
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la fonction $F$ définie sur $[0,1~;~+\infty[$ par
 
\[F(x)=11x-\frac{1}{6}x^3 + x\ln(x)\]

est une primitive de $f$ sur $[0,1~;~+\infty[$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte, exprimée en unité d’aire, de l’aire du domaine limité
par la courbe $C_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équation $x=2$  et $x=5$.
		\item Vérifier qu’une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième,
est $\np[m^2]{20,2}$.
	\end{enumerate}
\item Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est
fabriquée dans un tissu ayant une masse de $260$ grammes par mètre carré.

La voile pèsera-t-elle moins de $5$~kg ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication
contraire.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux
d’une hormone appelée TSH.

Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet
hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne \textmu = 2,2 et d’écart type $\sigma$ = 0,9.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $p(X < 3)$.
\item Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital
présente un taux de TSH compris entre $1,5$ et $3,5$.
\item Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à $4$, les médecins
prescrivent des examens complémentaires au patient.

Déterminer la probabilité qu’un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital
corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s’est inquiétée de
la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l’hypothyroïdie. Pour
obtenir un état des lieux de l’utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a
effectué un sondage sur \np{530877} personnes.

Dans cet échantillon, \np{21771} personnes ont déclaré qu’elles utilisaient ce
médicament.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence des utilisateurs du médicament dans l’échantillon
étudié ?
\item Déterminer un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\,\% de la
proportion d’utilisateurs de ce médicament dans la population française.
\end{enumerate}

Rappel : Lorsqu’une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$,
l’intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion dans la population est donné
par :

\[I = \Bigg[f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\Bigg]\]

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la
glande thyroïde.

La durée de vie exprimée en heure d’un atome d’iode radioactif est modélisée par
une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0036}$, exprimé en $h^{-1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la durée de vie moyenne en heure de l’atome d’iode radioactif.

\emph{On arrondira le résultat à l’unité.}

\item Déterminer $P(24 < D < 48)$. Interpréter le résultat.

\emph{Rappel : la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la
fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda\e^{-\lambda t}$.}
\item On appelle demi-vie d’un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure,
nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d’une substance se soit
désintégrée.

Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D < T) = \frac{1}{2}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
		\item En déduire la demi-vie de l’iode radioactif. Donner le résultat en jour.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}