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% Tapuscrit Denis Vergès
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Antilles--Guyane},
pdftitle = {20 juin 2019},
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\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 10 septembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STI2D - Antilles--Guyane 10 septembre 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\smallskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère une fonction $f$ dont le tableau de variations et le tableau de signes sont donnés ci-dessous:

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,2.5)
\psframe(9,2.5)\psline(0,2)(9,2)\psline(1,0)(1,2.5)
\psline(2.95,0)(2.95,2)\psline(3.05,0)(3.05,2)
\psline(6.95,0)(6.95,2)\psline(7.05,0)(7.05,2)
\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,1.5) \psline{->}(3.5,1.5)(4.5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(6.5,1.5) \psline{->}(7.5,0.5)(8.5,1.5) 
\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.5,1.9){$- \infty$} \uput[u](3,1.9){$- 1 $} 
\uput[u](5,1.9){$0$} \uput[u](7,1.9){$1$} \uput[u](8.5,1.9){$+ \infty$} 
\rput(0.5,1){$f(x)$} 
\end{pspicture}
\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,1.5)
\psline(0,1)(10,1)
\psframe(10,1.5)\psline(2,0)(2,1.5)\psline(3.95,0)(3.95,1)\psline(4.05,0)(4.05,1)
\psline(5.95,0)(5.95,1)\psline(6.05,0)(6.05,1)
\rput(1,0.5){Signe de $f(x)$} \rput(3,0.5){$+$}\rput(5,0.5){$+$}\rput(7,0.5){$-$}
\rput(8,0.5){$0$} \rput(9,0.5){$+$}
\uput[u](1,0.9){$x$}\uput[u](2.5,0.9){$- \infty$} \uput[u](4,0.9){$- 1 $} 
\uput[u](6,0.9){$1$} \uput[u](8,0.9){$2$} \uput[u](9.5,0.9){$+ \infty$}
\end{pspicture} 
\end{center}

\smallskip

Une courbe susceptible de représenter la fonction $f$ est :
	\begin{enumerate}
		\item~
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4.5,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,3)}
\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\multido{\n=2+1}{2}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\def\f{x dup mul 1.5 x mul sub 1 sub x dup mul 1 sub div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{-1.01}{\f}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul  1 sub}%
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.01}{4}{\f }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1}
\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-1.5){$x = - 1$}
\rput{90}(1.2,2.5){$x = 1$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-2)(1,3)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-2)(-1,3)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,-1)(0.5,-1)
\end{pspicture*}
\end{center} 
		\item~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1)(4,4)
\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4.5,-1)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{-1.01}{2.65 x  add dup mul 4 mul 2 sub }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul  2 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.01}{4}{x 2  sub x 1 sub div  }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-1)(1,4)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-1)(-1,4)
\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-0.5){$x = - 1$}
\rput{90}(1.2,3.5){$x = 1$}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
\end{pspicture*}
\end{center} 

		\item~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-1)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4.5,-1)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{-1.01}{x 1 x  add div }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul  2 add}%
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1.01}{4}{ x 2  sub x 1 sub div  }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1  }
\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-0.5){$x = - 1$}
\rput{90}(1.2,3.5){$x =  1$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-2)(1,4)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-2)(-1,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
\end{pspicture*}
\end{center}

		\item~

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4.5,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(1,1)
\multido{\n=-4+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-2)(\n,4)}
\multido{\n=-2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\multido{\n=2+1}{3}{\psline[linewidth=0.3pt](-4.5,\n)(4,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-4.5}{-1.01}{1 1 x  add div neg 1 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.99}{0.99}{x dup mul 8 mul 2 add}%
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.6}{4}{ x 2  sub x  div  }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed]{-4.5}{4}{1  }
\uput[u](3.5,1){$y=1$}\rput{90}(-1.2,-1.5){$x = - 1$}
\rput{90}(1.2,3.5){$x = 1$}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](1,-2)(1,4)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](-1,-2)(-1,4)
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(-0.5,2)(0.5,2)
\end{pspicture*}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item On considère $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ par:

\[f(x) = 4x^3 \quad \text{et } \quad g(x) = x^2 + x + 2.\]

On note :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives respectives des fonctions $f$ et $g$.
\item[$\bullet~~$] $\mathcal{D}$ le domaine délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$, l'axe des ordonnées et la droite
d'équation $x = 1$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=1.25cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.5)(1.25,4.1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5](0,0)(-0.75,-0.5)(1.25,4.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{1.25}{x dup mul x add 2 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1.25}{-0.5}{x 3 exp 4 mul}
\pscustom[fillstyle=vlines,linecolor=orange,hatchcolor=orange]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{0}{1.25}{x dup mul x add 2 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{1.25}{0}{x 3 exp 4 mul}
}
\uput[u](0.4,2.6){$\mathcal{C}_g$}
\uput[dr](0.55,0.63){$\mathcal{C}_f$}
\rput(0.4,1.5){\boldmath $\mathcal{D}$\unboldmath}
\end{pspicture*}
\end{center}

L'aire du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unité d'aire, est égale à:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{31}{24}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{31}{12}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{15}{8}$&
\textbf{d.~~}$\dfrac{11}{6}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la densité d'une variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$. L'aire du domaine grisé est environ égale à $0,68$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=40cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.1,-0.02)(10.2,0.23)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.025]{->}(0,0)(-0.9,0)(10.2,0.225)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.025](0,0)(0,0)(10.2,0.225)
\psGauss[linecolor=blue,mue=5,sigma=2]{-1}{10.2}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psGauss[linecolor=blue,mue=5,sigma=2]{3}{7}
\psline(7,0)(3,0)(3,0.12)
}
\rput(5,0.085){aire $\approx  0,68$}
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,0.225)}
\multido{\n=0.000+0.025}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(10.2,\n)}
\end{pspicture*}
\end{center}

À partir de ce graphique, on en déduit que:

	\begin{enumerate}
		\item  $\mu = 2$ et $\sigma = 5$
		\item  $\mu = 0,2$ et $\sigma = 5$
		\item  $\mu = 5$ et $\sigma = 1$
		\item  $\mu = 5$ et $\sigma = 2$
 \end{enumerate}
 
\item  Soit $a$ un nombre réel. La variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur $[3~; ~a$].
 
On sait que $p(X < 7) = 0,8$.
 
La valeur de $a$ est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}7,2 &\textbf{b.~~} 9 &\textbf{c.~~} 8& \textbf{a.~~} 8,2
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\medskip

Les abeilles assurent la reproduction de plus des trois-quarts des espèces végétales du globe terrestre grâce à la pollinisation. Depuis une dizaine d'années, on constate une diminution du nombre de colonies d'abeilles à cause de l'évolution du climat et de l'utilisation d'insecticides pour protéger certaines cultures.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On observe une colonie constituée de \np{40000}~abeilles. On estime que, dans cette colonie, \np{1000}~abeilles naissent chaque jour et $500$ décèdent chaque jour de manière naturelle.

Déterminer, en justifiant, le nombre de jours nécessaires pour que la population de cette colonie atteigne les \np{50000}~individus.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Après ce premier temps d'observation, un insecticide est régulièrement pulvérisé dans le champ près  duquel les abeilles butinent.

On estime alors à 20\;\% la proportion d'abeilles de la colonie qui décèdent chaque jour à cause de cet insecticide. On suppose que le nombre de naissances et de décès de manière naturelle reste identique (\np{1000} naissances et $500$ décès de manière naturelle).

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'individus de la colonie $n$ jours après le début des pulvérisations de l'insecticide. On a donc $u_0 = \np{50000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise cette situation par la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par:

\[u_{n+1} = 0,8u_n + 500.\]

Calculer le nombre d'abeilles dans la colonie un jour après le début des pulvérisations.
\item  On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n = u_n - \np{2500}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ : $v_{n+1} = 0,8v_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(v_n\right)$ et exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_n = \np{47500} \times 0,8^n + \np{2500}$.
 	\end{enumerate}
\item  Des études ont montré qu'une colonie d'abeilles n'est plus en mesure d'assurer sa survie si elle compte moins de \np{5000}~individus.
	
La colonie étudiée va-t-elle survivre ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
 
Le but de cette partie est de valider, ou non, la proportion $p = 0,2$ d'abeilles qui décèdent chaque jour à cause de l'insecticide.
 
L'insecticide utilisé ici provoque la désorientation des abeilles, ce qui perturbe leur retour à la colonie  et entraîne leur mort.
 
Un matin, on équipe $500$ abeilles de la colonie, de puces électroniques. On constate le lendemain que, dans cet échantillon de $500$ abeilles, $102$ sont décédées à cause de l'insecticide.
 
Cette observation est-elle compatible avec l'hypothèse $p = 0,2$ au seuil de $95$\;\% ?

 \psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{\linewidth} 
\emph{On rappelle que lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\;\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par }:\[\left[ p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right] .\]
\end{minipage}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure.

Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On dispose des renseignements suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{.5\linewidth}|X|>{\centering \arraybackslash}m{.4\linewidth}|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{Caractéristiques des bornes de recharge}&&\textbf{Exemples de capacités de batterie:}\\
{\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Type de borne de recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\ \hline
\multirow{2}{*}{Normal}&\multirow{2}{*}{230}&16\\ \cline{3-3}
 &&32\\ \hline
\multirow{2}{*}{Semi-rapide}&\multirow{2}{*}{400}&16\\ \cline{3-3}
&&32\\ \hline
Rapide& 400 &63\\ \hline
\end{tabularx}}& &{\begin{tabularx}{\linewidth}{X}
$\bullet~~$ Marque A : 22 kWh\\
\\
$\bullet~~$ Marque B : 24 kWh\\
\\
$\bullet~~$ Marque C : 33 kWh\\
\\
$\bullet~~$ Marque D : 60 kWh\\ 
\end{tabularx}}\\
&&\\[.1cm]\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{c}{\textbf{Document 1}}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{\textbf{Document 2}}\\
\end{tabularx}

\medskip

\psframebox[linecolor=black,linewidth=0.25pt,framesep=1em]{
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}
\textbf{Bon à savoir, pour une batterie vide}
\end{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X>{\centering \arraybackslash}m{1.5cm}}
Après 50 \;\% du temps de charge complète, la batterie est à environ à 80\,\% de sa capacité de charge.
&\psset{unit=.8cm}\begin{pspicture}(0,.8)(2,2.5)
\psframe[linewidth=2pt,framearc=.3,fillstyle=solid, fillcolor=white,linecolor=darkgray](.5,0)(1.5,2.5)
\psframe[linewidth=1pt,fillstyle=solid, fillcolor=darkgray,linecolor=darkgray](.8,2.5)(1.2,2.7)
\psframe[linewidth=1pt,fillstyle=solid, fillcolor=darkgray,linecolor=darkgray](.65,.15)(1.35,2)
\rput[l]{90}(1,.5){\white{\large {\sf{80 \%}}}}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
\end{minipage}
}

\textbf{Document 3}
\end{center}



\medskip

\begin{enumerate}
\item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A).

Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW).

On considère une batterie de la marque D.

Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de
recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes.

\item  Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, solution de l'équation différentielle :

\[y' + 0,55y = 12,1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre cette équation différentielle sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Justifier que $f(0)=0$.
		\item  Montrer que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par: $f(t) = -22\text{e}^{-0,55t} + 22$.
		\item  La durée de demi-charge est le temps nécessaire pour que la batterie soit chargée à 50\,\%. Résoudre sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ l'équation $f(t) = 11$ et en déduire la durée d'une demi-charge, exprimée en heure et minute.
		\item  Dans la pratique, on considère que le temps de charge complète de ce type de batterie est d'environ 6 heures.
		
Vérifier l'affirmation du document 3.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une thermistance est un composant électronique dont la résistance varie en fonction de la température et qui est utilisé, entre autres, comme capteur de température.

Afin d'alerter les utilisateurs de cas de surchauffe, on munit les batteries de thermistances.

Un constructeur de thermistances indique que la valeur $R$, exprimée en Ohm $(\Omega)$, de la résistance de celle-ci est donnée, pour des températures $\theta$, exprimées en degré Celsius ($\degres$C) et comprises entre $0~\degres$C
et $120~\degres$C, par  : 

\[R = - 0,04 \theta^3 + 7,2 \theta^2 - 240 \theta + \np{3000}.\]

On considère la fonction $g$ définie sur [0~;~120] par : 

\[g(x) = - 0,04x^3 + 7,2x^2 - 240x + \np{3000}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g'(x)$ où $g'$ est la dérivée de $g$.
		\item  Dresser, en justifiant, le tableau de variations de $g$ sur [0~;~120].
		\item  En déduire la résistance maximale et la température pour laquelle elle est atteinte.
 	\end{enumerate}
\item  Un message d'alerte apparaît sur l'ordinateur de bord du véhicule lorsque la résistance atteint \np{5000}~$\Omega$, ce qui signifie que la batterie est trop chaude.
	
On cherche la température correspondant à cette valeur.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement, à un degré près, de la température cherchée.
		\item  On considère l'algorithme suivant : 
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets  20$\\
$y  \gets 760$\\
Tant que $y < \ldots$\\
\hspace{0,8cm}$x \gets x + 1$\\
\hspace{0,8cm}$y \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $x$ contienne la température cherchée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  4 points}

\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_1$ sous forme algébrique.
		\item Vérifier que $z_1$ est solution de l'équation $(2 + \text{i})z = 1 + 3\text{i}$.
 	\end{enumerate}
\item Écrire le nombre complexe $z_2 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ sous forme exponentielle.
\item On considère $z_3$ le nombre complexe de module 4 et d'argument $\dfrac{7\pi}{6}$.

Vérifier  que $z_3 = z_1^2 \times z_2$.
\item  Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.
	
On considère les trois points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 1 + \text{i}$,\; $z_{\text{B}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et

$z_{\text{C}} = -2\sqrt{3} - 2\text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe représenté en annexe page \pageref{annexe} (à rendre avec la copie).
		\item Démontrer que le triangle OBC est rectangle en O.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Annexe de l'exercice 4}
\label{annexe}
\medskip

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-5.5)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5.5,-5.5)(5.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle[linewidth=1.2pt](0,0){1}
\pscircle(0,0){2}\pscircle(0,0){3}\pscircle(0,0){4}\pscircle(0,0){5}
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}