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%Tapuscrit : Denis Vergès
%
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Antilles-Guyane 18 juin 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.\\
Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et la seule réponse choisie.}

\medskip

Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2 \left(\text{exprimé en min}^{-1}\right)$.

En moyenne une personne attend à ce péage :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2 min&\textbf{b.~~} 5 min&\textbf{c.~~} 10 min&\textbf{d.~~} 20 min
\end{tabularx}
\medskip

\item  La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 3 + \text{i}3\sqrt{3}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$&\textbf{b.~~} $6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
&\textbf{c.~~} $6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $- 6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  On considère le complexe $z = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.

Le nombre complexe $z^2$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $z^2 = 2$&\textbf{b.~~} $z^2 = 4$&\textbf{c.~~} $z^2 =- 4$&\textbf{d.~~} $z^2 = - 4\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

Dans cet exercice, ln désigne la fonction logarithme népérien.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = ax + b\ln (x) + 1\]

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

$C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Les points A et E sont deux points de la courbe $C_f$.

Le point A a pour coordonnées (1~;~2) et le point E a pour abscisse 4.

La tangente à $C_f$ au point E est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=0.92cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-1)(12.5,10.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,-1)(12.5,10.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.9)(12.5,10.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(12.5,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{12.5}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\uput[ur](1,2){A} \uput[ul](1,0){B} \uput[dl](2,0){C} 
\uput[ur](2,0.23){D} \uput[d](4,-1){E} \uput[d](11,2.4){$C_f$} 
\uput[d](12.3,0){$x$} \uput[l](0,10.7){$y$}\uput[dl](4,-0.545){E}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(2.5,-0.545)(5.5,-0.545)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = x - 4\ln (x) + 1\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
\item  Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
\medskip

Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et
correspond à la zone hachurée sur le graphique de la page
précédente.

On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité
d'aire.

Le point D est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2.

Les points B et C ont pour coordonnées respectives (1~;~0) et (2~;~0).}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0.5,0)(3,2.5)
\uput[ur](1,2){A} \uput[ul](1,0){B} \uput[dl](2,0){C} 
\uput[ur](2,0.23){D} 
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\end{pspicture*}}


Soit la fonction $G$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[G(x) = x\ln (x) - x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner
une valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

Étude de la production de plats préparés sous vide.

\medskip

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière
indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath{}.

L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide.

L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant
divers outils mathématiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de 

$400$~grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est
supérieure à $394$~grammes.

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la
production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire
$M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse
comprise entre $394$ et $404$ grammes.
		\item  Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
 	\end{enumerate}
\item Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$.
	
On arrondit la probabilité de l'évènement \og un plat préparé prélevé au hasard
dans la production n'est pas conforme \fg{} à $0,12$.
	
On prélève au hasard $300$~plats dans la production. La production est assez
importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire
avec remise.
	
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$~plats, associe le nombre
de plats préparés non conformes qu'il contient.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera
les paramètres.
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
		\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$~plats prélevés au
hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
 	\end{enumerate}
\item Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de
produits non conformes de 12\,\%. On prélève au hasard dans la production un
échantillon de taille \np{1200} dans lequel $150$~plats se révèlent être non conformes.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95\,\%
de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille \np{1200}.
		
\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle
de fluctuation asymptotique à $95$\,\% d'une fréquence obtenue sur un
échantillon de taille $n$ est :}
	
\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
		\item  L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 -- Étude du déficit d'une multinationale} \hfill 4 points}
 
\medskip

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014.

Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures
afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$~millions d'euros.

Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit
baisse de 8,6\,\% tous les ans.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit \textbf{en million d'euros} de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$.

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
		\item Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la
multinationale en 2016 ?
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction
de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ :

\[0,914^n \leqslant  \dfrac{1}{3}\]
		
		\item  Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de
la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la
question précédente.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}	&\\
					&$N$ un entier naturel\\
					&$Q$ et $U$ deux nombres réels.\\
\textbf{Début}		&\\
					&$N$ prend la valeur 0\\
					&$Q$ prend la valeur 0,914\\
					&$U$ prend la valeur 15\\
					&\textbf{Tant que ... faire}\\
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
						$N$ prend la valeur \ldots\\
						$U$ prend la valeur \ldots
						\end{tabular}\\
					&\textbf{Fin Tant que}\\
					&Afficher \ldots\\
\textbf{Fin}		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
						
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie
l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené
en dessous de $5$~millions d'euros.
		\item On suppose l'algorithme complété.
		
Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le
montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que
celui-ci soit ramené au-dessous de $5$~millions d'euros.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014
comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$·
		\item Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}
 
\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On étudie la charge d'un condensateur et l'on
dispose pour cela du circuit électrique ci-contre
composé de :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]une source de tension continue $E$ de 10 V.
\item[$\bullet~~$]une résistance $R$ de $10^5$\: $\Omega$.
\item[$\bullet~~$]un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.75)(5,3.5)
\pnode(0.5,0.5){A}\pnode(4.5,0.5){B}
\pnode(0.5,2.5){C}\pnode(4,2.5){D}\pnode(2.25,0.5){E}
\resistor(A)(E){$R$}\capacitor(E)(B){$C$}\battery(C)(D){}
\psline{->}(0.5,2.5)(0.5,1.5)\psline{->}(2.5,3.1)(2,3.1)\uput[u](2.25,3){$E$}
\psline{->}(3.5,-0.25)(3,-0.25)\uput[d](3.25,-0.25){$u$}
\psline(0.5,2)(0.5,0.5)\psline(4.5,0.5)(4.5,2.5)(4,2.5)
\end{pspicture}}
 
On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$
est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde.
 
La fonction $u$ est définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ; elle vérifie l'équation différentielle
suivante :
 
\[RCu' + u = E\]
 
où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation différentielle est équivalente à :

\[u' + 10u = 100\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation
différentielle.
		\item  On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé. Parmi
les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.
		\item  Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$
ainsi obtenue. En donner une interprétation.
	\end{enumerate}
\item  ~
		
\parbox{0.48\linewidth}{On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées.

On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à $95$\,\% de $E$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
		\item Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
 	\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{xunit=3cm,yunit=0.3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(1.7,13)
\multido{\n=0.0+0.1}{18}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(1.7,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.2,-0.9)(1.7,12)
\uput[d](1.6,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,11.7){\scriptsize $y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.7}{1 2.71828 10 x mul neg exp sub 10 mul}
\rput(0.85,12.5){\scriptsize Charge du condensateur en}
\rput(0.85,11.5){\scriptsize fonction du temps}
\end{pspicture}
}		

\item  Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$
afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par $2$.
\end{enumerate}
\end{document}