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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%%%   Commandes perso FH
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% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entête
% 6 fixe la distance entre l'entête et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
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\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Antilles-Guyane 18 juin 2015\\}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
%\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
%Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
%n'enlèvent de point.\\
%Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et la seule réponse choisie.}
%
%\medskip
%
%Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$ (exprimé en min$^{-1}$).

En moyenne une personne attend à ce péage :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2 min&\textbf{b.~~} 5 min&\textbf{c.~~} 10 min&\textbf{d.~~} 20 min
\end{tabularx}

\medskip

Le temps d'attente moyen est l'espérance mathématique de la variable aléatoire, soit $\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,2} =5$.

\textbf{Réponse b.}

\medskip


\item  La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 3 + \text{i}3\sqrt{3}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3\e^{\i\frac{2\pi}{3}}$&\textbf{b.~~} $6\e^{\i\frac{2\pi}{3}}$
&\textbf{c.~~} $6\e^{-\i\frac{2\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $- 6\e^{-\i\frac{2\pi}{3}}$
\end{tabularx}
\medskip

$|z|=\ds\sqrt{(-3)^2+(3\ds\sqrt{3})^2} = \ds\sqrt{9+27}=\ds\sqrt{36}=6$

$\arg(z)=\theta$ tel que
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l !{=} l}
\cos \theta & \dfrac{-3}{6} & -\dfrac{1}{2}\\[8pt]
\sin \theta & \dfrac{3\ds\sqrt{3}}{6} & \dfrac{\ds\sqrt{3}}{2}
\end{array}
\right. $
Donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ à $2\pi$ près.

\textbf{Réponse b.}

\medskip

\item  On considère le complexe $z = \sqrt{2} - \i\sqrt{2}$.

Le nombre complexe $z^2$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $z^2 = 2$&\textbf{b.~~} $z^2 = 4$&\textbf{c.~~} $z^2 =- 4$&\textbf{d.~~} $z^2 = - 4\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip

$\left ( \sqrt{2} - \i\sqrt{2}\right )^2 = 
\left ( \sqrt{2}\right )^2 -2\times \sqrt{2} \times (\i\sqrt{2})
+ \left ( \i\sqrt{2}\right )^2
= 2 -4\i -2 = -4\i$

\textbf{Réponse d.}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
%\medskip

%\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\medskip
%
%Dans cet exercice, ln désigne la fonction logarithme népérien.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\cg{}0~;~+ \infty\cd{}$ par
$f(x) = ax + b\ln (x) + 1$
où $a$ et $b$ sont deux réels.

$C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Les points A et E sont deux points de la courbe $C_f$.

Le point A a pour coordonnées (1~;~2) et le point E a pour abscisse 4.

La tangente à $C_f$ au point E est horizontale.

\begin{figure}[!t]
\centering
\psset{unit=0.92cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-0.99)(12.5,10.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,-0.99)(12.5,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.8,-0.99)(12.5,10.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(12.5,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{12.5}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\uput[ur](1,2){A} \uput[ul](1,0){B} \uput[dl](2,0){C} 
\uput[ur](2,0.23){D} \uput[d](4,-1){E} \uput[d](11,2.4){$C_f$} 
\uput[d](12.3,0){$x$} \uput[l](0,10.3){$y$}\uput[dl](4,-0.545){E}
\pscustom[fillstyle=vlines]
{
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)
\closepath
}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(2.5,-0.545)(5.5,-0.545)
\end{pspicture*}
\end{figure}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
D'après le graphique, on voit que $f(1)=2$.

Comme la tangente à $\mathcal C_f$ au point E d'abscisse 4 est horizontale, on peut dire que $f'(4)=0$.

\item% Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cg{}0\,;\,+\infty\cd{}$ et $f'(x)=a+\dfrac{b}{x}$

\item% Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
$f(x)=ax+b\ln(x)+1$

$f(1)=2\iff a+ b\ln(1)+1=2 \iff a=1$

$f'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ et $a=1$ donc $f'(x)=1+\dfrac{b}{x}$;
$f'(4)=0 \iff 1+\dfrac{b}{4}=0 \iff b=-4$

On a $a=1$ et $b=-4$ donc $f(x)=x-4\ln(x)+1$.

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}
 
%\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $\cg{}0~;~+ \infty\cd{}$ par:
$f(x) = x - 4\ln (x) + 1$.
 
\begin{enumerate}

\item% Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
\ \\[-23pt]


$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\dc} l}
\ds\lim_{x \to 0} \ln(x)=-\infty & \ds\lim_{x \to 0} -4\ln(x)=+\infty\\
\ds\lim_{x \to 0} x=0 & \ds\lim_{x \to 0} x+1=1
\end{array}
\right\rbrace 
\dc
\ds\lim_{x \to 0} f(x)=+\infty$

On peut en déduire que la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à la courbe $C_f$.

\item%  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
Pour tout $x>0$: $f(x)=x\left ( 1-4\dfrac{\ln(x)}{x}\right )+1$.

On sait que
$\ds\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$ donc 
$\ds\lim_{x \to +\infty} \left ( 1-4\dfrac{\ln(x)}{x}\right )= 1$ et donc
$\ds\lim_{x \to +\infty} x\left ( 1-4\dfrac{\ln(x)}{x}\right )= +\infty$

On en déduit que $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)= +\infty$

\item%  Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\cg{}0\,;\, +\infty\cd{}$ et
$f'(x)=1-\dfrac{4}{x}$.

On résout dans l'intervalle $\cg{}0\,;\, +\infty\cd{}$ l'inéquation $f'(x)>0$.

$f'(x)>0 \iff 1-\dfrac{4}{x}>0 \iff \dfrac{x-4}{x}>0 \iff x>4$ puisque $x>0$.

On calcule la valeur du minimum: $f(4)=4-4\ln(4)+1 = 5-4\ln(4) \approx -0,55$.

D'où le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\cg{}0\,;\, +\infty\cd{}$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| l *4{c}|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & +\infty \\
 \hline
f'(x) & \vline\;\vline  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \vline\;\vline \Rnode{max1}{\ +\infty}  &  &  &  & \Rnode{max2}{+\infty}   \\
f(x) & \vline\;\vline &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 & \vline\;\vline  & &   \Rnode{min}{5-4\ln(4)} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie C}
 
\medskip

Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et
correspond à la zone hachurée sur le graphique précédent.

On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité d'aire.

Le point D est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2.

Les points B et C ont pour coordonnées respectives (1~;~0) et (2~;~0).}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0.5,0)(3,2.5)
\uput[ur](1,2){A} \uput[d](1,0){B} \uput[d](2,0){C} 
\uput[ur](2,0.23){D} 
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\end{pspicture*}}


Soit la fonction $G$ définie sur $\cg{}0~;~+ \infty\cd{}$ par
$G(x) = x\ln (x) - x$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
$G'(x)= 1\times \ln(x) + x\times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln(x)$

Donc la fonction $G$ est une primitive de la fonction $\ln$ sur $\cg{}0~;~+ \infty\cd{}$.

\item% En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $\cg{}0~;~+ \infty\cd{}$.
La fonction $x \longmapsto x+1$ a pour primitive $x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}+x$ donc la fonction $F$ définie sur $\cg{}0\,;\, +\infty\cd{}$ par 
$F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x -4G(x)$ est une primitive de la fonction $f$.

$F(x)= \dfrac{x^2}{2} + x -4(x\ln(x)-x) = \dfrac{x^2}{2}+x-4x\ln(x) +4x = \dfrac{x^2}{2} +5x - 4x\ln(x)$

\item% Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner une valeur arrondie à $10^{-2}$.
L'aire de la plaque est l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $C_f$ et les droites d'équations $x=1$ et $x=2$.

Comme la fonction $f$ est positive sur \cd{}1\,;\,2\cg{}, cette aire est égale à l'intégrale:
$I = \ds\int_{1}^2 f(t) \d t$

$I = \ds\int_{1}^2 f(t) \d t = F(2) - F(1) = 
\left ( \dfrac{4}{2} + 10 - 8\ln(2)\right ) - \left ( \dfrac{1}{2} + 5 - 4\ln(1)\right )
= 12 - 8 \ln(2) - \dfrac{11}{2} = \dfrac{13}{2} - 8\ln(2)\\[5pt]
\phantom{I} \approx 0,95$ unité d'aire.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
%\medskip

Étude de la production de plats préparés sous vide.

%\medskip

%\textbf{Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath

L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide.

%L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant divers outils mathématiques.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de  $400$~grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est
supérieure à $394$~grammes.

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la production, associe sa masse en gramme. 

On suppose que la variable aléatoire $M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre $394$ et $404$ grammes.
La probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse comprise entre $394$ et $404$ grammes est $P(394 \pp M \pp 404)$.
À la calculatrice, on trouve $P(394 \pp M \pp 404) \approx 0,673$.

		\item%  Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
La probabilité qu'un plat soit conforme est $P(M \pg 394) \approx 0,885$.

 	\end{enumerate}

\item Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$.
	
On arrondit la probabilité de l'évènement \og un plat préparé prélevé au hasard dans la production n'est pas conforme \fg{} à $0,12$.
	
On prélève au hasard $300$~plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
	
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$~plats, associe le nombre de plats préparés non conformes qu'il contient.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
La probabilité qu'un plat soit non conforme est 0,12.

On prélève au hasard $300$~plats dans la production. La production est assez importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de plats défectueux dans le lot de 300 suit la loi binomiale de paramètres $n=300$ et $p=0,12$.


		\item% Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
L'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui suit la loin binomiale $\mathcal B(n,\:p)$ est $E(X) = np$.
Donc l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $300\times 0,12 = 36$.


		\item% Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$~plats prélevés au hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
La probabilité que dans un échantillon de $300$~plats prélevés au hasard, au moins $280$ plats soient conformes, est la probabilité que dans cet échantillon il y ait au plus 20 plats non conformes, c'est-à-dire $P(X \pp 20)$.

À la calculatrice, on trouve: $P(X \pp 20) \approx 0,002$.


 	\end{enumerate}

\item Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de produits non conformes de 12\,\%. On prélève au hasard dans la production un échantillon de taille \np{1200} dans lequel $150$~plats se révèlent être non conformes.

	\begin{enumerate}

		\item% Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
La fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé est $f=\dfrac{150}{\np{1200}}=0,125$.

		\item% Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95\,\% de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille \np{1200}.
		
Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un
échantillon de taille $n$ est:
	
\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

Comme $n=\np{1200}$ et $p=0,12$, l'intervalle est:

\[I = \left[0,12 - 1,96\sqrt{\ds\dfrac{0,12(1 - 0,12)}{\np{1200}}} ~;~ 0,12 + 1,96\sqrt{\ds\dfrac{0,12(1 - 0,12)}{\np{1200}}} \right]
\approx \cd{}0,10\,;\,0,14\cg\]


		\item%  L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.
La fréquence observée dans l'échantillon est de 0,125; cette fréquence appartient à l'intervalle $\cd{}0,10\,;\,0,14\cg{}$ donc on peut considérer que l'échantillon est représentatif de la production du fabricant.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4 \hfill Étude du déficit d'une multinationale} \hfill 4 points}
 
%\medskip

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014.

Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$~millions d'euros.
Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit baisse de 8,6\,\% tous les ans.
On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit \textbf{en million d'euros} de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$.

%Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
Une baisse de 8,6\,\% revient à une multiplication par 
$1-\dfrac{8,6}{100}=0,914$.
Donc $u_1 = 0,914 u_0$.

		\item% Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la multinationale en 2016 ?
Le déficit de la multinationale en 2016 correspond à $u_2$.

Pour la même raison que dans la question précédente:

$u_2=0,914u_1 = 0,914\times 0,914u_0 = 0,914\times 0,914\times 15 \approx 12,531$ millions d'euros.

		\item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Une baisse de 8,6\,\% correspond à une multiplication par 0,914 donc, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,914u_n$.
On sait que $u_0=15$.

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=15$ et de raison $q=0,914$.

Donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 15 \times 0,914^n$.

	\end{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ :
%\[0,914^n \leqslant  \dfrac{1}{3}\]
$\begin{array}[t]{@{} l !{\iff} l  l}
0,914^n \pp \dfrac{1}{3} & \ln \left (0,914^n\right ) \pp  \ln \dfrac{1}{3} & \text{croissance de la fonction ln sur }\cg 0\,;\,+\infty\cd \\
 & n\times \ln(0,914) \pp \ln \dfrac{1}{3} & \text{propriété de la fonction ln} \\
 & n \pg \dfrac{\ln \frac{1}{3}}{\ln (0,914)} & \text{car } \ln (0,914) < 0 
\end{array}$

		\item%  Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
$\dfrac{\ln \frac{1}{3}}{\ln (0,914)} \approx 12,217$ donc l'engagement de ramener le déficit en dessous des 5 millions d'euros sera atteint au bout de 13 années, soit en $2014+13=2027$.

	\end{enumerate}

\item% On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la question précédente.
	
						
	\begin{enumerate}
		\item L'algorithme suivant renvoie l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené en dessous de $5$~millions d'euros:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}	&\\
					&$N$ un entier naturel\\
					&$Q$ et $U$ deux nombres réels.\\
\textbf{Début}		&\\
					&$N$ prend la valeur 0\\
					&$Q$ prend la valeur 0,914\\
					&$U$ prend la valeur 15\\
					&\textbf{Tant que {\red $U \pg 5$} faire}\\
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
						$N$ prend la valeur {\red $N+1$}\\
						$U$ prend la valeur {\red $Q\times U$}
						\end{tabular}\\
					&\textbf{Fin Tant que}\\
					&Afficher {\red $N$}\\
\textbf{Fin}		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


		\item% On suppose l'algorithme complété.
		
L'algorithme suivant affiche le montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que celui-ci soit ramené au-dessous de $5$~millions d'euros:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}	&\\
					&$N$ un entier naturel\\
					&$Q$ et $U$ deux nombres réels.\\
\textbf{Début}		&\\
					&$N$ prend la valeur 0\\
					&$Q$ prend la valeur 0,914\\
					&$U$ prend la valeur 15\\
					&\textbf{Tant que {$U \pg 5$} faire}\\
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
						$N$ prend la valeur {$N+1$}\\
						$U$ prend la valeur {$Q\times U$}\\
						{\red Afficher $U$}
						\end{tabular}\\
					&\textbf{Fin Tant que}\\
					&Afficher $N$\\
\textbf{Fin}		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014 comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$, correspond à la sommme des 11 premiers termes de la suite géométrique $(u_n)$:

$u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10} = u_0\times \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}
= 15\times \dfrac{1-0,914^{11}}{1-0,914} \approx 109,555$ millions d'euros.
		
		\item L'algorithme suivant donne cette somme en sortie:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}	&\\
					&$N$ un entier naturel\\
					&$Q$ et $U$ deux nombres réels\\
					& \textcolor{red}{$S$ un nombre réel} \\
\textbf{Début}		&\\
					&$Q$ prend la valeur 0,914\\
					&$U$ prend la valeur 15\\
					&\textcolor{red}{$S$ prend la valeur $U$}\\
					&\textbf{\red Pour $N$ variant de 1 à 10 faire}\\
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
						$U$ prend la valeur $Q\times U$\\
						\red $S$ prend la valeur $S+U$\\
						\end{tabular}\\
					&\textbf{\red Fin Pour}\\
					&\textcolor{red}{Afficher $S$}\\
\textbf{Fin}		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}
 
%\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On étudie la charge d'un condensateur et l'on
dispose pour cela du circuit électrique ci-contre
composé de :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]une source de tension continue $E$ de 10 V.
\item[$\bullet~~$]une résistance $R$ de $10^5$\: $\Omega$.
\item[$\bullet~~$]un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.75)(5,3.5)
\pnode(0.5,0.5){A}\pnode(4.5,0.5){B}
\pnode(0.5,2.5){C}\pnode(4,2.5){D}\pnode(2.25,0.5){E}
\resistor(A)(E){$R$}\capacitor(E)(B){$C$}\battery(C)(D){}
\psline{->}(0.5,2.5)(0.5,1.5)\psline{->}(2.5,3.1)(2,3.1)\uput[u](2.25,3){$E$}
\psline{->}(3.5,-0.25)(3,-0.25)\uput[d](3.25,-0.25){$u$}
\psline(0.5,2)(0.5,0.5)\psline(4.5,0.5)(4.5,2.5)(4,2.5)
\end{pspicture}}
 
On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$ est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde.
 
La fonction $u$ est définie et dérivable sur $\cd{}0~;~+\infty\cd{}$ ; elle vérifie l'équation différentielle
 $RCu' + u = E$
où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Justifier que l'équation différentielle est équivalente à : $u' + 10u = 100$

D'après le texte, $E=10$, $R=10^{5}$ et $C=10^{-6}$; donc:

$RCu' + u = E \iff 10^{5}\times 10^{-6} \times u' + u = 10
\iff 10^{-1}u'+u=10 \iff u'+10u=100$

\item  

	\begin{enumerate}

		\item% Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation différentielle.

La forme générale des solutions de l'équation différentielle $y'+ay=b$ est $y=k\e^{-at}+\dfrac{b}{a}$ où $k$ est un réel quelconque, donc la forme générale de l'équation différentielle $u'+10u = 100$ est $u(t)=k\e^{-10t} + 10$.

		\item  On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé.% Parmi les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l !{=} l}
u(t) & k\e^{-10t}+10\\
u(0) & 0
\end{array}
\right\rbrace 
\dc
k\e^0+10 = 0 \iff k=-10
$

L'unique fonction $u$ telle que $u(0)=0$ est définie par 
$u(t)=10 - 10\e^{-10t}$.

		\item%  Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$ ainsi obtenue. En donner une interprétation.
On sait, d'après le cours, que $\ds\lim_{x \to +\infty} \e^{-x} = 0$, donc $\ds\lim_{t \to +\infty} \e^{-10t} = 0$ ; on en déduit que $\ds\lim_{t \to +\infty} 10 - 10\e^{-10t} = 10$ et donc que $\ds\lim_{t \to +\infty} u(t) = 10$.

Cela signifie que la charge du condensateur tend vers 10 volts quand le temps $t$ augmente indéfiniment. 


	\end{enumerate}

\item 
On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées.

On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à $95$\,\% de $E$.

Or $E=10$ donc $95\,\%$ de $E$ est égal à 9,5.

\begin{center}
\psset{xunit=6cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(1.7,13)
\multido{\n=0.0+0.1}{18}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(1.7,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.2,-0.9)(1.7,12)
\uput[d](1.6,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,11.7){\scriptsize $y$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.7}{1 2.71828 10 x mul neg exp sub 10 mul}
\rput(0.85,12.5){\scriptsize Charge du condensateur en}
\rput(0.85,11.5){\scriptsize fonction du temps}
\psline[ArrowInsideNo=1,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3,linecolor=red,linestyle=dashed](0,9.5)(0.3,9.5)
\psline[ArrowInsideNo=3,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3,linecolor=red,linestyle=dashed](0.3,9.5)(0.3,0)
\uput[l](0,9.5){\red \small 9,5}
\uput[d](0.3,0){\red \small 0,3}
\end{pspicture}
\end{center}
		
	\begin{enumerate}
		\item% Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
On détermine graphiquement le temps de charge $T$ (voir graphique).

On trouve $T \approx 0,3$ seconde.

		\item% Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
On détermine le temps de charge par le calcul en résolvant l'équation
$u(t)=9,5$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} r !{=} l}
u(t)=9,5 & 10-10\e^{-10t} & 9,5\\
 & 0,5 & 10\e^{-10t}\\
 & 0,05 & \e^{-10t}\\
 & \ln(0,05) & -10t\\
 & -\dfrac{\ln(0,05)}{10} & t
\end{array}$

La valeur arrondie à $10^{-4}$ de $-\dfrac{\ln(0,05)}{10}$ est \np{0,2996}. 

 	\end{enumerate}		

\item%  Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$ afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par $2$.

En conservant les valeurs de $C$ et de $E$, on obtient l'équation différentielle
$R\times 10^{-6}u' +u = 10 \iff 
u' + \dfrac{10^{6}}{R}u = \dfrac{10^{6}}{R} \times 10$

La forme des solutions est $u(t)=k\e^{-\frac{10^{6}}{R}t}+10$; comme $u(0)=0$, on déduit que $k=-10$.

On résout l'équation $u(t)=9,5$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} r !{=} l}
u(t)=9,5 & 10-10\e^{-\frac{10^{6}}{R}t} & 9,5\\
 & 0,5 & 10\e^{-\frac{10^{6}}{R}t}\\
 & 0,05 & \e^{-\frac{10^{6}}{R}t}\\
 & \ln(0,05) & -\dfrac{10^{6}}{R}t\\
 & -\dfrac{R}{10^{6}}\ln(0,05) & t
\end{array}$

\medskip

Donc le temps de charge est proportionnel à la résistance; il suffit de doubler la valeur de la résistance pour que le temps de charge soit multiplié par deux.
\end{enumerate}
\end{document}