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%tapuscrit Jean-Claude Souque
%dessin  Arié Yallouz
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI2D et STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL  Antilles-Guyane~\decofourright\\[5pt]19 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}  

\medskip

Le béton est un matériau de construction fabriqué à partir d'un mélange de ciment, de granulats et d'eau.

Selon l'usage prévu (dalle, poutre, fondation, \ldots), on utilise des bétons de compositions différentes.

Dans cet exercice, on s'intéresse au béton adapté à la construction d'une dalle et on étudie la résistance à la compression, exprimée en MPa (mégapascal), en fonction de la durée $t$ de séchage, exprimée en jour.

On admet que cette résistance peut être modélisée par une fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, qui est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle $(E)$ :

\[y' + 0,15y = 4,5.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ sur $[0~;~+\infty[$.
\item À l'instant $t = 0$, la résistance à la compression de ce béton est nulle.

Montrer alors que $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(t) = -30\text{e}^{- 0,15t} + 30.\]

\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item  Il est possible de marcher sur ce type de béton lorsque sa résistance à la compression est supérieure à $12$~MPa.

Après combien de jours complets de séchage est-il possible de marcher sur ce type de
béton ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}  

\medskip

%\begin{center}
%\includegraphics[width=10cm]{rampe_skate}
%\end{center}

%%% Dessin d'Arié Yallouz
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(7,5)
\newrgbcolor{C0}{0.38 0.25 .22}
\newrgbcolor{C1}{.72 0.45 .20}
\newrgbcolor{C2}{.52 .56 .62}
\newrgbcolor{C3}{.94 .92 .69}
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\newrgbcolor{C5}{.62 .66 .72}
\psset{Alpha=150,Beta=27}
\pstThreeDCoor[xMin=-5,xMax=5,yMin=-5,yMax=5,zMin=-5,zMax=5,drawing=false]
\pscustom[linecolor=C3, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\pstThreeDLine(0,0,2)(-1,0,2)(-1,3,2)(0,3,2)
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=40](0,2){ t  3 .5 t dup mul mul 2 t mul sub 2 add 2.71828  t neg exp mul}
\pstThreeDLine(2,3,0)(3,3,0)
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\pstThreeDLine(5,3,2)(5,0,2)
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\pstThreeDLine(3,0,0)(2,0,0)
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}
\psset{linecolor=C4, linewidth=1pt}
\pstThreeDLine(-1,1,2)(0,1,2)
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\pstThreeDLine(2,1,0)(3,1,0)
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\pstThreeDLine(-1,2,2)(0,2,2)
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\pstThreeDLine(2,2,0)(3,2,0)
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\pstThreeDLine(2,3,0)(3,3,0)
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\pstThreeDLine(5,0,2)(5,3,2)(6,3,2)(6,0,2)
}
\psset{linecolor=C4, linewidth=1pt}
\pstThreeDLine(0,0,2)(0,3,2)\pstThreeDLine(2,0,0)(2,3,0)\pstThreeDLine(3,0,0)(3,3,0)\pstThreeDLine(5,1,2)(6,1,2)\pstThreeDLine(5,2,2)(6,2,2)
\pscustom[linecolor=C0, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C1]{
\pstThreeDLine(-1,0,-.2)(-1,0,2)(0,0,2)
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\pstThreeDLine(2,0,0)(3,0,0)
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}
\psset{linecolor=C2, linewidth=3pt}
\pstThreeDLine(-1,0,0)(-1,0,3.5)(-1,3,3.5)(-1,3,2)(-1,0,2)
\pstThreeDLine(-1,0,2.75)(-1,3,2.75)\pstThreeDLine(-1,1,3.5)(-1,1,2)\pstThreeDLine(-1,2,3.5)(-1,2,2)
\pstThreeDLine(6,0,0)(6,0,3.5)(6,3,3.5)(6,3,2)(6,0,2)
\pstThreeDLine(6,0,2.75)(6,3,2.75)\pstThreeDLine(6,1,3.5)(6,1,2)\pstThreeDLine(6,2,3.5)(6,2,2)
\pscustom[linecolor=C2, linewidth=3pt,fillstyle=solid,fillcolor=C5]{
\pstThreeDLine(6,0,0)(6,0,2)(6,3,2)(6,3,0)
}
\pscustom[linecolor=C3, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C3]{
\pstThreeDLine(6,0,-.2)(6,0,0)(6,3,0)(6,3,-.2)(6,0,-.2)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

On a représenté ci-dessous une des faces latérales d'une rampe de skate-board que l'on souhaite peindre.

\begin{center}
\small
\psset{unit=1.3cm,dash=2pt 2pt}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.4)(7.4,3)
\def\f{x dup mul 0.5 mul x 2 mul sub 2 add 2.71828 x exp div}
\def\g{0.5 x 3 sub dup mul mul 2.71828 x 3 sub 2 sub exp mul}
%\psgrid[gridcolor=gray]
\psset{linecolor=blue!20}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20](0,2)(-1,2)(-1,-0.2)(6,-0.2)(6,2)(5,2)(5,0)(0,0)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{\psplot{0}{2}{\f} \psplot{2}{0}{0} \closepath}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{\psplot{3}{5}{\g} \psplot{5}{3}{0} \closepath}
\psset{linecolor=black}
\psline(0,2)(-1,2)(-1,-0.2)(6,-0.2)(6,2)(5,2)
\psplot{0}{2}{\f}
\psline(2,0)(3,0)
\psplot{3}{5}{\g}
%%% balustrades
\psline[linewidth=1.5pt](-1,2)(-1,3)
\psline{->}(-1.6,2.6)(-1.2,2.4) \uput[u](-1.7,2.6){balustrade}
\psline[linewidth=1.5pt](6,2)(6,3)
\psline{->}(6.6,2.6)(6.2,2.4) \uput[u](6.7,2.6){balustrade}
%%%
\psline[linestyle=dashed](0,2)(0,2.2)
\psline{<->}(-1,2.2)(0,2.2) \uput{4pt}[u](-0.5,2.2){1 mètre}
% sol
\psline(-2,-0.2)(7,-0.2)
\psline{->}(6.8,-0.6)(6.5,-0.3) \uput{2pt}[d](6.8,-0.6){sol}
\psline[linestyle=dashed](-1.2,0)(6,0)% niveau 0,2
%%%
\psline{->}(-1.6,0.4)(-0.6,0.8) \uput{3pt}[d](-1.8,0.4){\shortstack{zone à\\peindre}}
%%%
\psdots(2,0)(3,0) \uput[u](2,0){A} \uput[u](3,0){B}
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,-0.4) \psline[linestyle=dashed](3,0)(3,-0.4)
\psline{<->}(2,-0.4)(3,-0.4) \uput{3pt}[d](2.5,-0.4){1 mètre}
%%%
\psline[linestyle=dashed](-1,-0.2)(-1,-0.8) \psline[linestyle=dashed](6,-0.2)(6,-0.8)
\psline{<->}(-1,-0.8)(6,-0.8) \uput[d](2.5,-0.8){7 mètres}
%%%
\psline[linestyle=dashed](-1.2,2)(-1,2) \psline[linestyle=dashed](-1,2,0)(-1,0)
\psline{<->}(-1.2,0)(-1.2,2)  \uput[l](-1.2,1){2 mètres}
%%%
\psline[linestyle=dashed](6,2)(6.2,2)
\psline{<->}(6.2,-0.2)(6.2,2)  \uput[r](6.2,0.9){$2,2$ mètres}
%%%
\psline{->}(2.5,0.5)(2.5,0.1) 
\uput[u](2.5,0.5){\shortstack{partie horizontale\\de la rampe}}
%%%
\uput[u](2.5,1.6){\shortstack{parties incurvées\\de la rampe}}
\psline{->}(1.6,1.8)(0.6,1) \psline{->}(3.4,1.8)(4.4,1)
\end{pspicture}
\end{center}


On sait de plus que la face latérale de cette rampe de skate-board admet comme axe de symétrie la médiatrice de [AB].

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise la partie incurvée de la rampe située à gauche de l'axe de symétrie à l'aide de la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~2] par : 

\[f(x) = \left(0,5x^2 + ax + b\right)\text{e}^{-x}\]

où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on souhaite déterminer.

On a tracé ci-après la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ dans un repère orthonormal d'unité 1 mètre.

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(2.5,2.25)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(2.5,2.25)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 0.5 mul x 2 mul sub 2 add 2.71828 x exp div}
\uput[ur](0.15,1.5){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[u](2,0){\blue A} \uput[r](0,2){\blue H}
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

On sait que la courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(2~;~0) et H(0~;~2).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$ et $f(2)$.
\item Déduire de la question précédente le système d'équations vérifié par les réels $a$ et $b$.
\item  Déterminer l'expression de $f(x)$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère maintenant que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~2] par :

\[f(x) = \left(0,5x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{-x}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item Montrer que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A est l'axe des abscisses.
\item Justifier que le signe de $f'(x)$ est donné par le signe du trinôme $-0,5 x^2 + 3x - 4$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$ puis le sens de variation de $f$ sur [0~;~2].
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0~;~2].
\item On admet que la fonction $F$ définie par $F(x) = \left(- \frac{1}{2}x^2 + x - 1\right)\text{e}^{-x}$ sur l'intervalle
[0~;~2] est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~2].

Montrer que l'aire en m$^2$ de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est égale à $1 - \dfrac{1}{\text{e}^2}$.
\item En déduire l'aire de la zone à peindre. On donnera une valeur approchée du résultat à
0,01~m$^2$ près.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}  

\medskip

Une éolienne est un générateur qui produit du courant électrique à partir de l'énergie cinétique du vent.

Une entreprise européenne réalise la conception, la fabrication, la vente, l'installation ainsi que l'exploitation et la maintenance de ses éoliennes.

Son service de presse a publié un article en janvier 2017 dont voici un extrait:

\og Une de nos usines située en Espagne, en exploitation depuis 2001, a produit au total plus de \np{40000} pales d'éoliennes de 2001 à 2016, pales qui ont été exportées vers cinq continents. \fg

\medskip

On dispose également des données suivantes sur la production de l'usine espagnole considérée.

\begin{center}
\begin{tabular}{*2{|@{\quad}c@{\quad}}|}\hline
Année &Quantité de pales produites pendant l'année\\ \hline
2001 &800\\ \hline
2008 &\np{2002}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le but de cette partie est de trouver une suite modélisant au mieux la production des pales
d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001. On étudie deux modélisations.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on se propose de modéliser le nombre de pales produites par l'usine espagnole pendant l'année $2001 + n$, où $n$ est un entier naturel, par la valeur arrondie à l'entier le plus proche de $u_n$ où $u_n = 800 + 578\ln (n + 1)$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que cette suite satisfait aux données du tableau précédent.
		\item On considère l'algorithme suivant :
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline
$S \gets 0$\\
Pour $i$ allant de $0$ à $15$\\
\hspace{0.5cm}|$S \gets S +$ ARRONDI $(800 + 578\ln (i + 1))$\\
Fin Pour\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On précise que ARRONDI$(x)$ signifie: calculer la valeur arrondie de $x$ à
l'entier le plus proche.

Une fois l'algorithme exécuté, $S$ contient la valeur \np{30529}. Interpréter ce
résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item La suite $\left(u_n\right)$ peut-elle modéliser la production des pales d'éoliennes de l'usine espagnole depuis 2001 ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item On examine maintenant une modélisation de la production par la suite géométrique
$\left(v_n\right)$ de premier terme $v_0 = 800$ et de raison $q = 1,14$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer $v_7$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
		\item On rappelle que la somme des premiers termes consécutifs d'une suite
géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q \neq 1$ est donnée par :
		
\[v_0 + v_1 + \ldots + v_n = v_0 \times  \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]
		
Calculer $v_0 + v_1 + \ldots + v_{15}$. On donnera le résultat arrondi à l'unité.
		\item Peut-on modéliser par la suite $\left(v_n\right)$ la production, depuis 2001, de pales d'éoliennes de l'usine espagnole ? Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'entreprise gère aussi la réparation des pales sur leur lieu d'utilisation.

On estime que la durée de vie d'une pale, exprimée en années, avant la première réparation, est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,125$.

Pour chaque question, donner le résultat arrondi à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(0 \leqslant X \leqslant 5)$.
\item Calculer la probabilité qu'une pale n'ait pas eu de réparation au cours des dix premières années.
\item  Déterminer la durée de vie moyenne d'une pale avant la première réparation.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}  

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence
de réponse à une question ne rapportent ni n 'enlèvent aucun point.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le quotient $\dfrac{z_1}{\left(z_2\right)^2}$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 2$&\textbf{b.~~} $- \sqrt{3} + \text{i}$ &\textbf{c.~~} 2 &\textbf{d.~~} $- \sqrt{3} - \text{i}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Si $z_1 = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ alors le produit $\overline{z_1} \times  z_2$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$-2 $&\textbf{b.~~} $1 - \text{i}\sqrt{3}$&\textbf{c.~~} $\text{e}^{\text{i}\pi}$ &\textbf{d.~~} $- 1 - \text{i}\sqrt{3}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.

Sachant que $P(X \in [189~;~191]) \approx 0,95$,\: $\mu$ et $\sigma$ peuvent prendre les valeurs :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $\mu = 1$ et $\sigma = 190$&\textbf{b.~~} $\mu = 190$ et $\sigma = 1$\\
\textbf{c.~~} $\mu = 190$ et $\sigma = 0,5$&\textbf{d.~~}$\mu = 0,5$ et $\sigma = 190$\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Dans le cadre du fonctionnement correct d'une chaîne de production de pièces
détachées, la proportion de pièces détachées conformes doit être 96\,\%.

On contrôle la production de la chaîne en prélevant de manière aléatoire un échantillon
de $150$~pièces détachées.

On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence $p$ des
pièces détachées conformes sur un échantillon de taille $n$ est :

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

En utilisant un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\%, on prendra la décision
d'effectuer des réglages sur la chaîne de production si le nombre de pièces détachées
non conformes trouvées dans l'échantillon prélevé est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 8 &\textbf{b.~~} 9 &\textbf{c.~~} 10& \textbf{d.~~} 11\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
\end{document}