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%Tapuscrit : Vincent Tolleron
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Antilles-Guyane 19 juin 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item 

L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\emph{Entrée} :		& Saisir la valeur de l'entier naturel $n$\\ 
\emph{Traitement} :	& Affecter 2 à la variable $u$\\
&\hspace{0.75cm} Pour $i$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{1.5cm} Affecter $1,5u$ à $u$\\
&\hspace{0.75cm} Fin de Pour\\
\emph{Sortie} :&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ? 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n,$

$u_{n+1} = 1,5 u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs des termes $S_{0}, S_{1}$ et $S_{2}$. 
		\item Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? 

Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie. 
		\item Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
 
Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de $50$~pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse en g 
&\np{1195} &\np{1196} &\np{1197} &\np{1198} &\np{1199} &\np{1200} &\np{1201}& \np{1202} &\np{1203} &\np{1204}\\ \hline 
Nombre de boules &1 &3 &4 &6 &8 &11 &6 &5 &3 &3\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Une boule est dite \og de bonne qualité \fg{} si sa masse en grammes $m$ vérifie : 

\[\np{1197} \leqslant m \leqslant \np{1203}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité. 
		\item Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
	\end{enumerate} 

Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p = 0,86$.
 
Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
\item L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise.
  
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un lot donné de $50$~boules, associe le nombre de boules de bonne qualité. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$. 
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $48$~boules de bonne qualité dans le lot.
	\end{enumerate} 
\item On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ par une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $m = 43$ et $\sigma \approx 2,45$. 
		\item Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins $48$~boules de bonne qualité dans le lot.
	\end{enumerate} 
\item Le client reçoit un lot de $50$~boules. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de $50$~pièces. 
		\item Dans son lot, le client a $42$~boules qui sont de bonne qualité.
		 
Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise.
 
Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95\,\% ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : 

\[(2 - \text{i})z = 2 - 6\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation (E). On notera $z_{1}$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$. 
		\item Soit $z_{2}$ le nombre complexe défini par : $z_{2} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} \times  z_{1}$. 

Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i},\: z_{\text{B}} = - 2 - 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{CA}} \cdot \vect{\text{CB}}$.
		\item Déterminer la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x.\] 
 
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et 
$\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement $f'$. Justifier. 
		\item Par lecture graphique, donner $F(1)$. 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.9,-4)(9,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.39}{6.5}{1 x div x ln sub}\uput[r](0.4,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.646}{8}{x 1 add x dup mul div neg}\uput[r](0.7,-3.9){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.04}{6.6}{x ln   1  x  sub mul x add}\uput[r](0.05,-2){$C$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
Interpréter graphiquement cette limite. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[H(x) = x - (x - 1) \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1. 
		\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}