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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2016\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\emph{La politique communautaire de gestion des déchets et ses déclinaisons françaises sont
définies par de nombreuses directives, dont la portée varie. Certaines ont une portée
générale et d'autres concernent certaines catégories de déchets spécifiques.}\\
~\\
\emph{Le Projet de Plan national de prévention des déchets $2010-2020$ concerne les déchets
ménagers et assimilés (DMA). L'objectif proposé par ce projet est une réduction annuelle
de 7\,\% des DMA produits par habitant entre $2010$ et $2020$.}\\
~\\
\emph{Les DMA produits en France ont été de $590$ kg par habitant en $2011$ et de $570$ kg par
habitant en $2013$.}\\ 
\hfill Source ADEME\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

La réduction des DMA produits entre 2011 et 2013 atteint-elle l'objectif fixé par le
Projet de Plan national de prévention des déchets ?

\textbf{Partie B :}

\medskip

On considère que les objectifs du plan national de prévention des déchets sont
atteints à partir de 2013. On modélise par une suite $\left(u_n\right)$ la quantité de DMA produits
en kg par habitant, le terme $u_n$ correspondant à l'année $(2013 + n)$.

Ainsi $u_0 = 570$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Quelle est la quantité de DMA produits, arrondie au kg par habitant, en 2015 ?
\item Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C :}

\medskip


\parbox{0.4\linewidth}{On considère l'algorithme ci-contre :}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline
Variables		&\\
				&$n$ : un nombre entier naturel\\
				&$q$ : un nombre réel\\
				&$U$ : un nombre réel\\
Entrée			&\\
				&Saisir $n$\\
Initialisation	&\\
				&Affecter à $u$ la valeur 570\\
				&Affecter à $q$ la valeur 0,93\\
Traitement		&\\
				&Répéter $n$ fois\\
				&\hspace{0.5cm} Affecter à $u$ la valeur $u \times q$\\
Sortie			&\\
				&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 4$.

Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau
suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies au kg près par
habitant).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$n$ &$q$ &$u$\\ \hline
Entrées et initialisation& 4 &0,93 &570\\ \hline
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
4\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Interpréter la valeur de $u$ obtenue au quatrième passage dans la boucle de
l'algorithme.
\item Quel sera le pourcentage de réduction des DMA produits entre 2013 et 2017 si
l'objectif du Projet de Plan national de prévention des déchets est atteint chaque
année?
\item Quelle devrait être la quantité de DMA produits en 2020 pour atteindre l'objectif
fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en
justifiant la réponse.\\
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Considérons les deux nombres complexes $z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_2 = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\textbf{Affirmation 1 :} Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$.
\item \textbf{Affirmation 2 :} La solution $f$ de l'équation différentielle $y" + 4y = 0$ qui vérifie
$f(0) = - 1$ et $f'(0) = 2$ admet comme représentation graphique :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(-6,-3)(6,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{6}{x RadtoDeg 2 mul sin 2 mul x RadtoDeg 2 mul cos sub}
\end{pspicture}
\end{center}

\item \textbf{Affirmation 3 :} La solution de l'équation $\ln(x + 3) = 5$ est $\text{e}^5 - 3$.
\item La durée de vie en heures d'un certain type d'ampoules électriques est modélisée
par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,000125}\: \left(\text{exprimé en } \:h\right)$.

\textbf{Affirmation 4 :} En moyenne, la durée de vie d'une ampoule est \np{1250}~h.
\item  \textbf{Affirmation 5 :} la fonction $F(x) = x\ln x - x + 2$ est une primitive de la fonction $f(x) = \ln x$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

Le bassin d'une piscine municipale a une capacité de \np{600000} litres d'eau. Afin de
respecter les normes d'hygiène et de sécurité, \np{30000} litres d'eau de la piscine sont
renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de $0,25$~mg/L.

\smallskip

Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable,
$1$~kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à $20$~h.

\smallskip

Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la
piscine au public.

On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une
fonction $f$. Lorsque $t$ désigne le temps écoulé depuis l'accident, exprimé en heures,
$f(t)$ représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en
milligrammes par litre.

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle (E) :

\[y' + 0,05 y = 0\quad  \text{où }\: y \text{ désigne une fonction de la variable } t.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item Que vaut $f(0)$ ? En déduire une expression de $f(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = \dfrac{5}{3} \times  \text{e}^{- 0,05t}$.

À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}
 
\medskip

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier
des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large.

Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire
X qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,02$.
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres,
appartient à l'intervalle [14,95~;~15,05].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit
non conforme.

L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de \np{2000} aux fabricants de vélos
électriques. En moyenne, chaque lot de \np{2000} batteries en contient $24$ non
conformes.

On note $p$ la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard
\np{2000} batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on
puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de \np{2000} par une
variable aléatoire $Y$.
\item Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Préciser ses paramètres.
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins $30$ batteries non conformes dans un
lot de \np{2000}~batteries.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le cadre d'un fonctionnement correct des machines de la chaîne de production,
on admet que la proportion $p$ de batteries non conformes est 1,2\,\%.

Le responsable de l'usine affirme qu'il ne vend pas de lot de \np{2000}~batteries qui en
contienne plus de $40$ non conformes. Quelle est la fiabilité de cette affirmation ?

Justifier.
\end{document}