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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{18 novembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3\quad \text{et}\quad u_{0} = - 1.\]
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$.

On obtient les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}m{0.8cm}|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X@{}|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline
1&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
2&Valeur de $u_{n}$&
\scriptsize$- 1$&\scriptsize2,6&\scriptsize 4,04& 4,616&4,8464&4,9386&4,9754&4,9902&4,9961&4,9984&4,9994 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entrée dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

\medskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \$\text{B}\$2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4~\hat{}~\text{C}1+3$
\end{tabularx}

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\emph}l X|}\hline 
\emph{Variables} :		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
\emph{Entrée} :		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
\emph{Initialisation} :& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
\emph{Traitement} :	& 	tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
&	\hspace{0,25cm}\begin{tabular}{|l}
$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
\end{tabular}\\
& fin tant que\\
\emph{Sortie} :& 	afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques. 
\item Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n :\: u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \ldots	+ v_{n}$. 
		\item En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \ldots	+ u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.\\ 
$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.\\ 
Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.} 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~}&Réponse a& Réponse b& Réponse c\\ \hline 
1&Soit $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :&$\sqrt{2}$&$- \sqrt{2}$&2\\ \hline  
2&Soit $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est : &$\dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{3\pi}{4}$\\ \hline
3&$f$ est définie par : \mbox{$f (t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$} 

$f$ est solution de :& $y' + 3y = 0$ &$y''+ 25y = 0$&
$y'' - 5y = 0$\\ \hline 
4&Les solutions de l'équation $y' - 2y = 0$ 

sont les fonctions du type :&$x \longmapsto k\text{e}^{2x}$ avec $k \in  \R$ & $x \longmapsto k\text{e}^{- 2x}$ avec $k \in \R$ & $x \longmapsto k\text{e}^{2x} + k$ avec $k \in  \R$\\ \hline 
5&La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :&$\left\{1 - \text{e}^3\right\}$&$\left\{1 + \text{e}^3\right\}$&$\left\{\text{e}^3 - 1\right\}$\\ \hline 
6&L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est : 
&$]- \infty~;~\ln 8]$&$]- \infty~;~3]$&$]- \ln 3~;~\ln 5]$\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

$f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(13.2,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](-2,-4)(14,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(13.2,6)
\psplot[plotpoints=5000]{-1.5}{2.5}{1 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{13.2}{x ln 2 mul 4 x div add 5 sub}
\uput[r](0.3,5){$\mathcal{C}$}\uput[l](2,-3){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
$\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

$\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1~;~-1)$. 

$\mathcal{T}$ passe par le point de coordonnées (0~;~1).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$. 
		\item Déterminer $f'(1)$. 
		\item Donner une équation de $\mathcal{T}$. 
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, vérifier que \[f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}.\] 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à [1~;~3]. 
		\item On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ par 
		
		\[F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x\]
		
est une primitive de $f$. 

Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires.
 
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
 
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à $0,9$.
 
Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins $8$ pièces soient conformes. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre.
 
On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance $80$ et d'écart type $0,6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(79 \leqslant M \leqslant 81)$. 
\item Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE C :}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles.
 
On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5\,\% des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de $300$~médailles. 
\item On prélève un échantillon de $300$~médailles. 

On constate que dans cet échantillon, $24$ médailles ont une épaisseur non conforme. 

Doit-on réviser le réglage de la machine ? 
\end{enumerate} 
\end{document}