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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{19 novembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

Jusqu'à présent Pierre n'a encore jamais réussi à économiser un seul euro. Pour le
responsabiliser dans la gestion de son argent de poche, ses parents décident de lui
verser 30 euros tous les premiers du mois.

Pierre décide que pour s'offrir le téléphone de ses rêves qui coûte 150 euros, il ne
dépensera chaque mois que 20\,\% de son capital accumulé.

Le premier versement lui a été fait au 1\ier janvier 2015.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  De quelle somme Pierre disposera-t-il encore au soir du 31 janvier 2015 ?
\item Soit $\left(u_n\right)$ le capital dont dispose Pierre juste après le $n$-ième versement. Ainsi $u_1$ vaut
30 et $u_5$ correspond au capital acquis par Pierre le 1\ier mai 2015.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u_2 = 54$.
 \item Justifier que $u_{n+1} = 0,8 u_n + 30$.
\item Recopier et compléter l'algorithme A suivant pour qu'il affiche le capital acquis
le 1\ier avril 2015.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
\phantom{initial}Affecter à i la valeur 1\\
\phantom{initial}Affecter à u la valeur 30\\
\textbf{Traitement}\\
\phantom{ini}Tant que \dots\dots\\
\phantom{initial}Affecter à u la valeur\dots\dots\\
\phantom{initial}Affecter à i la valeur i + 1\\
\phantom{ini}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\phantom{initial}Afficher u\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant des termes de la suite $\left(u_n\right)$ et
conjecturer la limite de cette suite.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{11}{c|}}\hline
$n$		&21 &22	&23 &24 &25	&26	&27 &28	& 29 	&30\\\hline
$u_n$	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Soit l'algorithme B suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
\phantom{initial} Affecter à i la valeur 1\\
\phantom{initial} Affecter à u la valeur 30\\
\phantom{initial} Saisir la valeur de p\\
\textbf{Traitement}\\
\phantom{ini} Tant que $\Big| \text{u} - 150 \Big| >${} p \\
\phantom{initial} Affecter à u la valeur 0,8 u + 30\\
\phantom{initial} Affecter à i la valeur i + 1\\
\phantom{ini} Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\phantom{initial} Afficher i\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
Comment utiliser cet algorithme B pour savoir à quel moment Pierre disposera d'au
moins $149,90$ euros?

\item Pierre se rend compte qu'avec cette gestion de son argent de poche il ne pourra
jamais s'offrir le téléphone de ses rêves. Exposez un plan de gestion de l'argent de
poche qui permette à Pierre d'effectuer son achat dans l'année sans demander plus
d'argent à ses parents.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est
exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses
ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\textbf{\large Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante
choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La négation de la phrase suivante \og toute solution de l'équation (E) est
strictement supérieure à 3 \fg{} :
\begin{enumerate}
\item toute solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\item aucune solution de (E) n'est strictement supérieure à 3
\item au moins une solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\item une seule solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\end{enumerate}
\item Soient $Z_1$ et $Z_2$ les nombres complexes définis par: $Z_1 = 2\e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $Z_2 = 3\e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} $.
Une forme exponentielle du quotient $\dfrac{Z_l}{Z_2}$ est :
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2}{3}\e^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
\item $-\e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $-\dfrac{2}{3}\e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $\dfrac{2}{3}\e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $y' + 5y = 3$, où $y$ désigne une fonction
dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation
telle que $f(0) = 0$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x) = + 0,6\e^{5x}  + 0,6$
\item $f(x) = - 0,6\e^{-5x} + 0,6$
\item $f(x) = 0$
\item $f(x) = - 3\e^{-5x} + 3$
\end{enumerate}
\item On considère la production d'une usine de composants électroniques.
On admet que la durée de fonctionnement sans panne (en années) de ces
composants peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0,1$.

La probabilité qu'un composant pris au hasard, soit tombé en panne au bout 6 ans
est, au centième près:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 1,6  & \textbf{b.~~}0,55 & \textbf{c.~~} 0,45&\textbf{d.~~}0,05
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

Les questions peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans une usine, une machine remplit automatiquement avec de l'huile de moteur
des bidons pouvant contenir au maximum 102 litres.
Pour pouvoir être commercialisé, un bidon doit contenir au moins 98 litres d'huile.

La quantité d'huile, exprimée en litres, fournie par la machine peut être modélisée
par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu=100$ et
d'écart-type $\sigma = 0,8$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité de l'évènement \og $X > 102$ \fg{} et interpréter ce résultat.
\item Déterminer le pourcentage de bidons qui ne pourront pas être commercialisés
en expliquant votre démarche.
\end{enumerate}

\item On estime que 99,4\,\% des bidons sont remplis correctement.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 30 bidons prélevés au hasard dans
la production de l'usine, associe le nombre de bidons non correctement remplis. Le
stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage
avec remise.

Après avoir précisé la loi suivie par $Y$, calculer la probabilité qu'il y ait au plus un
bidon non correctement rempli dans un lot de 30 bidons.
\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

Une entreprise fabriquant des planches de surf conçoit un nouveau modèle d'aileron.
Cet aileron est composé de deux parties :
\begin{itemize}
\item la partie supérieure ou \og boîtier \fg{} permettant de fixer l'aileron à la planche,
\item la partie inférieure destinée à être immergée dans l'eau.
\end{itemize}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelsep=0.15pt}
\begin{pspicture}(-1,0.7)(4.5,3.5)
%\psgrid
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{ x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\psline [linewidth=0.4pt](0.45,2.69486)(3,2.69486)}
\psline[linewidth=0.3pt](1.25,2.69486)(1.25,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.4,2.69486)(1.4,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.19486)(1.25,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.4,3.19486)(1.55,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.19486)(1.1,3.3)
\psline[linewidth=0.3pt](1.55,3.19486)(1.55,3.3)
\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.3)(1.55,3.3)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour estimer la quantité de matière nécessaire à la fabrication de la partie inférieure de l'aileron, l'entreprise souhaite connaître le mieux possible l'aire A du domaine hachuré.

Pour modéliser le profil latéral de la partie inférieure on se place dans un repère
orthonormé avec une échelle de 1 carreau pour \np[cm] {10} et on se propose d'utiliser, pour
des abscisses comprises entre 0,45 et 3, la courbe $C_f$ représentative de la
fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[ $ par : $f(x) = \dfrac{a}{x} + b + 4\ln(x)$ où $a$ et $b$ sont des 
constantes réelles qui restent à déterminer.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelsep=0.15pt}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(4.5,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize $#1$}
\def\psvlabel#1{\scriptsize $#1$}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4.4,3.5)
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](\n,0)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](0,\n)(4.1,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{ x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\psline [linewidth=0.4pt](0.45,2.69486)(3,2.69486)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.45,0)(0.45,2.69486)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3,0)(3,2.69486)
\uput[d](0.45,-0.1){0,45}
\uput[d](3,-0.1){3}
\uput[r](2.2,1.8){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Évaluer l'aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
\item Vérifier que le choix de $a = 4$ et $b = - 3$ répond au problème posé.
\item Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = (4x + 4) \ln(x) - 7x$.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
\item Déterminer au cm$^2$ près une valeur approchée de l'aire A.
\end{enumerate}
\end{document}