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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Frédéric Jaëck
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
Nouvelle-Calédonie 27 novembre 2018\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }

\smallskip

Les organismes vivants contiennent naturellement du carbone 14 (élément radioactif) provenant des rayons cosmiques, qui est constamment renouvelé et qui se maintient à la valeur de 15,3 unités. 

À leur mort, l'assimilation cesse et le carbone 14 présent se désintègre. 

\smallskip

On note $f(t)$ la concentration en carbone 14 présent dans un organisme à l'instant $t$ après sa mort (t exprimé en milliers d'années). 

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip 

On admet que $f$ est une solution sur $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle :

\[ y' = - 0,124y \qquad (E).\]

\smallskip 

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution $f$ de $(E)$ vérifiant la condition initiale $f(0) = 15,3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip 

On admet que la fonction $f$ est définie par $f(t) = 15,3\text{e}^{-0,124t}$  sur 
$[0~;~+\infty[$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. 
\item Déterminer la limite de $f$ au voisinage de l'infini. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip  

On rappelle que la fonction $f$ donnée dans la partie B donne la concentration en carbone 14 dans un organisme après sa mort en fonction de $t$ (en milliers d'années). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Des archéologues ont trouvé des fragments d'os présentant une concentration en carbone 14 égale à $7,27$~unités. 

Justifier que l'on peut estimer l'âge de ces fragments d'os à \np{6000}~ans. 
\item Lorsque la concentration en carbone 14 d'un organisme devient inférieure à $0,3$\,\% de sa valeur initiale on ne peut pas dater raisonnablement à l'aide du carbone 14. 

Déterminer l'âge à partir duquel un organisme ne peut plus être daté au carbone 14. 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. }

\medskip

La société Héliocel fabrique des cellules photovoltaïques destinées à être assemblées pour former des panneaux solaires qui seront ensuite installés sur le toit d'habitations pour produire de l'électricité. 

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip 

On estime que 5\,\% des cellules fabriquées par Héliocel présentent un défaut et sont donc inutilisables. 

\smallskip

On prélève au hasard un lot de $80$~cellules dans la production pour vérification. Le nombre de cellules produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de $80$~cellules. 

On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $80$~cellules, associe le nombre de cellules inutilisables. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres. 
\item Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune cellule inutilisable ? 
\item Un panneau solaire est constitué de $75$ cellules. 

Quelle est la probabilité d'avoir assez de cellules sans défaut dans un seul lot pour pouvoir fabriquer un panneau ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip 

Après amélioration sur sa chaîne de fabrication, la société annonce une proportion de 3\,\% de cellules inutilisables. 

Afin de vérifier cette annonce, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de $180$ cellules et observe que $9$ cellules sont inutilisables. 

Cette observation remet-elle en cause l'annonce de la société ? 

\bigskip

\textbf{Partie C :}

\medskip  

Une famille décide d'installer 15 de ces panneaux solaires sur le toit de sa maison pour produire de l'électricité. 

La production électrique dépend de l'ensoleillement. 

On appelle $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque journée, associe la production électrique (en kWh) fournie par ces 15 panneaux. 

On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 9$ et d'écart-type $\sigma = 3$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la production journalière de l'installation de cette famille soit comprise entre $6$~kWh et $12$~kWh ? 
\item Parmi les trois fonctions de densité de probabilité représentées ci-dessous, laquelle peut être celle de la loi de $Y$ ? Justifier. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=20cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-0.025)(22,0.35)
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,0.35)}
\multido{\n=0.00+0.05}{8}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.05]{->}(0,0)(0,0)(22,0.35)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.05](0,0)(0,0)(22,0.35)
\psGauss[sigma=1.5,mue=9,linecolor=green,linewidth=1.25pt]{0}{22}\uput[u](9,0.27){\green $\mathcal{C}_1$}
\psGauss[sigma=3,mue=9,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{22}\uput[u](9,0.135){\red $\mathcal{C}_2$}
\psGauss[sigma=3,mue=12,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{22}\uput[u](12,0.135){\blue $\mathcal{C}_3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item La consommation moyenne de cette famille est $13$ kWh/jour. 

Quelle est la probabilité que la production journalière de son installation soit supérieure à sa consommation moyenne quotidienne ?
\end{enumerate}
 
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 : VRAI--FAUX} \hfill 4 points}
 
\medskip

\textbf{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. \\
Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip 

\emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 3\ln x$. 

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est 3. 
\item On considère le nombre complexe $z = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} - \dfrac{5}{2}\text{i}$.

L'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est $\overline{z} = 5\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$. 
\item La valeur moyenne de la fonction $x \longmapsto  \sin \left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ est égale à $0$. 
\item La fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = 3 \cos 5x$ est solution de l'équation différentielle $y'' + 25y = 0$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip 

\begin{enumerate}
\item Une commune de \np{2000} habitants au 1\up{er} janvier 2018 voit sa population augmenter de 5\,\% tous les ans. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ le nombre d'habitants de l'année $2018 + n$ : on a donc $h_0 = \np{2000}$. 

\smallskip

La suite $\left(h_n\right)$ est une suite géométrique. Exprimer $h_n$ en fonction de $n$. 

\smallskip

La municipalité de cette commune a conclu un marché avec un fournisseur d'accès internet qui engage ce dernier à fournir un débit total de \np{16000}~Mbit/s au 1\up{er} janvier 2018 et à augmenter ce débit de 2,9\,\% par an. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $d_n$ le débit total dont la commune dispose l'année $2018 + n$. 

On modélise ainsi le débit par la suite $\left(d_n\right)$. On a alors $d_n = \np{16000} \times  1,029^n$. 
\item On s'intéresse maintenant au débit par habitant en supposant que celui-ci est réparti équitablement et que toute la population bénéficie d'une connexion internet individuelle. 

Pour tout entier naturel $n$ on note $u_n$ le débit par habitant pour l'année $2018 + n$  et on admet que $u_n = \dfrac{d_n}{h_n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_0$ et $u_1$. 
		\item Montrer pour tout entier naturel $n$ on a $u_n = 8 \times 0,98^n$. 
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et ses caractéristiques. 
		\item Déterminer la limite de la $\left(u_n\right)$. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
	\end{enumerate}
\item Le marché passé avec le fournisseur d'accès internet prévoit également que si le débit passe en dessous de 5 Mbit/s par habitant alors ce dernier doit changer la technologie utilisée pour la réalisation de son réseau. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. 

Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer dans combien d'années le débit sera considéré comme insuffisant. 

\[
\begin{array}{|l|}\hline
U\gets 8\\
N \gets 0\\
\text{Tant que }\:U \ldots\\ 
\hspace{0.8cm}U \gets \ldots\\ 
\hspace{0.8cm}N \gets N+1~~~~~ \\
\text{Fin Tant que}\\ \hline
\end{array} 
\]
		\item En quelle année le fournisseur d'accès sera-t-il dans l'obligation de changer sa technologie? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}