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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire \\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{7 mars  2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 7 mars  2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: 

\[z_{1} = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$. 
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\item Démontrer que $z_{1} \times  z_{2} = 2z_{3}$. 
\item En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$. 
\item En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$   et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92\,\% des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. 
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un échantillon de $100$ sachets. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille $100$. 
		\item Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
	\end{enumerate} 
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à $0,01$ près). 
		\item La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $92$ et d'écart type $2,7$. 
		
En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre $89$ et $94$, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. II peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
 
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$~noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
 
Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131. 
\item On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|c|l X|}\hline 
1	&\textbf{Variables :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
2	&\textbf{Initialisation :}& 	Affecter la valeur $0$ à $n$\\ 
3	&					& Affecter la valeur $10^6$ à $u$\\
	&					&\\ 
4	&\textbf{Traitement :}& Tant que $u > \dfrac{10^6}{2}$ \\

5	&					&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\  
6	&					&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $u \times  0,917$\\ 
7	&					&Fin tant que\\ 
8	&\textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ? 
		\item Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ? 
		\item Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3\,\%.
		 
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$~noyaux?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\medskip
Dans tout l'exercice, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\medskip
 
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, dans un repère orthonormé du plan.
 
On note $f'$  la fonction dérivée de $f$.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A (0~;~5) et par le point B d' abscisse $2$. 

La tangente $\mathcal{T}_{\text{A}}$ à la courbe au point A passe par le point C(1~;~1) et la tangente $\mathcal{T}_{\text{B}}$ au point B est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(5.2,6.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.6)(5.2,6.8)
\psline(-1.5,2.188)(5.2,2.188)
\psplot{-1}{1.25}{5 4 x mul sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5.2}{2 2 x mul sub x dup mul sub 2.71828 x exp div 3 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,1)(2,2.188)(0,5)
\uput[ur](0,5){A} \uput[u](2,2.188){B} \uput[ur](1,1){C}
\uput[r](1.2,0.3){$\mathcal{T}_{\text{A}}$}
\uput[d](3,2.188){$\mathcal{T}_{\text{B}}$}
\uput[u](4,2.55){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture*}
\end{center} 


\medskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. \\Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. \\Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$- 4$ &\textbf{b.~~}4 &\textbf{c.~~}1,2 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $f'(0)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$- 4$ &\textbf{b.~~}4 &\textbf{c.~~}1,2 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $f'(2)$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}2,1 &\textbf{c.~~}3 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ par des entiers naturels est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
\textbf{a.~~}$3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 4$ &\textbf{b.~~}$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$ &\textbf{c.~~}$2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 5$ &\textbf{d.~~} $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 2$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $3$.
 Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\R$,\: $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{- x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x.\] 

Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}