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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire \\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{7 mars  2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}%\textbf{Durée : 4 heures}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 7 mars  2014\hspace{1.5em}Correction}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: 

\[z_{1} = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminons l'écriture exponentielle de $z_{1}$. 

L'écriture exponentielle d'un nombre complexe est $\rho\e^{\i\theta}$ où $\rho$ est son module et $\theta$ son argument.

 $\rho =\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$ et $\theta$ est tel que $\cos \theta=\dfrac{1}{2}$ et $\sin \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ par conséquent $\theta=\dfrac{\pi}{3}$. $z_1=2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$.
\item Déterminons l'écriture algébrique de $z_{2}$.

 $z_2=\e^{-\i \frac{\pi}{4}}=\cos (-\frac{\pi}{4})+ \i\sin (-\frac{\pi}{4})$.

$z_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\i\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item Démontrons que $z_{1} \times  z_{2} = 2z_{3}$. 

$z_1 \times z_2=\rho_1\rho_2\e^{\i(\theta_1+\theta_2)}$. 

Par conséquent $z_1z_2=2\e^{\i\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)}=2\e^{\i\frac{\pi}{12}}=2z_3$.

\item \'Ecrivons l'écriture algébrique de $z_{3}$. $z_3=\cos (\frac{\pi}{12})+ \i \sin (\frac{\pi}{12})$.

\item  Calculons alors $\cos \left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$

$2z_3=(1+\i\sqrt{3})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\i\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\i\frac{\sqrt{2}}{2}+\i\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+\i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.

$z_3=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}+\i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) +\i \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}+\i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.

Nous en déduisons donc

$\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$     et            $ \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.


\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
 
Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92\,\% des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. 
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un échantillon de $100$ sachets. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille $100$. 
		
		Nous avons $n=100$ $p=\np{0.92}$. Par conséquent, $n>30$, $np>5$ et $np(n-p)>5$. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% est : 
		$\left[ p-\np{1.96}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~p+\np{1.96}\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right]$.
		
$\left[\np{0.92}-\np{1.96}\sqrt{\dfrac{\np{0.92}\times\np{0.08}}{100}}~;~\np{0,92}+\np{1.96}\sqrt{\dfrac{\np{0.92}\times\np{0.08}}{100}}\right]=\left[\np{0.87}~;~\np{0.97}\right]$.
		
		\item Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Nous pouvons accepter l'hypothèse du directeur car dans ce lot, la fréquence de plantes résistantes \np{0.88} appartient  à l'intervalle de fluctuation.
	\end{enumerate} 
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$. 
	\begin{enumerate}
		\item Puisque la variable suit une loi binomiale $\mathcal{B}(100,\np{0.92})$ l'espérance de $X$ vaut $np$  et l'écart type de $X$ vaut $\sqrt{np(1-p}$%(arrondi à $0,01$ près). 
		
		$E(X)=100\times \np{92}=92 \quad \sigma(X)=\sqrt{100\times \np{0.92}\times \np{0.08}}\approx \np{2.71}$.
		\item La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $92$ et d'écart type $2,7$. 
		
En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculons la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre $89$ et $94$, c'est-à-dire calculons $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.

À l'aide d'une calculatrice  $P(89\leqslant Y \leqslant 94)\approx \np{0.64}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. II peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
 
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$~noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculons $u_{1}$ puis $u_{2}$.

À un taux d'évolution de $-\np{8.3}\,\%$, correspond un coefficient multiplicateur de $1-\np{0.083}$ soit $\np{0.917}$.

$u_1=10^6\times \np{0.917}\quad u_2=\left(\np{0.917}\times 10^6\right) \times \np{0.917}\approx \np{0.841}\times 10^6$
\item $u_{n+1}=\np{0.917}u_{n}$.  Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre, la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de premier terme $10^6$ et de raison \np{0.917} . 
\item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. 

Par conséquent $u_n=10^6\times(\np{0.917})^n$.
 
\item Déterminons à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié. 

Pour ce faire, résolvons $u_n \leqslant \dfrac{10^6}{2}$
\vspace{-0.5cm}
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
u_n & \leqslant \dfrac{10^6}{2}\\
\np{0.917}^n \times 10^6 & \leqslant \dfrac{10^6}{2}\\
%\end{align*}
%\begin{align*}
\np{0.917}^n     &\leqslant  \dfrac{1}{2} \\\end{align*}
\begin{align*}
\ln \np{0.917}^n &\leqslant \ln\dfrac{1}{2}\\%
 n \ln \np{0.917}&\leqslant -\ln 2 \qquad\text{car } \ln \dfrac{1}{b}=-\ln b \\
 n  & \geqslant \dfrac{-\ln 2}{\ln \np{0.917}} \qquad \text{car }\ln \np{0.917}<0\\
 \dfrac{-\ln 2}{\ln \np{0.917}}&\approx \np{7.99959}
 \end{align*}
 \end{multicols}
 Au bout de huit jours, la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
 
Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131. 
\item On considère l'algorithme suivant:
{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|c|l X|}\hline 
1	&\textbf{Variables :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
2	&\textbf{Initialisation :}& 	Affecter la valeur $0$ à $n$\\ 
3	&					& Affecter la valeur $10^6$ à $u$\\
	&					&\\ 
4	&\textbf{Traitement :}& Tant que $u > \dfrac{10^6}{2}$ \\

5	&					&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\  
6	&					&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $u \times  0,917$\\ 
7	&					&Fin tant que\\ 
8	&\textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 }
	\begin{enumerate}
		\item La valeur $n$ en sortie de cet algorithme correspond à la demi-vie. $u$ correspond au nombre de noyaux et $n$ au nombre de boucles qu'il faut effectuer pour avoir la moitié du nombre de noyaux. 
		\item Si on programme cet algorithme,  il affiche 8, la réponse trouvée à la question 4.
		\item Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3\,\%.
		 
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$~noyaux ?

Dans la ligne \og affecter à $u$ la valeur $10^6$\fg{} nous allons remplacer $10^6$ par $10^8$ et dans le traitement de $u$ nous allons remplacer \np{0.917} par \np{0.977}, coefficient multiplicateur associé à une  baisse de $\np{2.3}\,\%$.
	\end{enumerate} 
{\footnotesize \emph{Remarque} la demi-vie est indépendante du nombre de noyaux. Dans le calcul à la question 4, nous avons pu simplifier par $u_0$.	}
	\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

 {\footnotesize
\medskip
Dans tout l'exercice, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\medskip
 
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, dans un repère orthonormé du plan.
 
On note $f'$  la fonction dérivée de $f$.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A (0~;~5) et par le point B d'abscisse $2$. 

La tangente $\mathcal{T}_{\text{A}}$ à la courbe au point A passe par le point C(1~;~1) et la tangente $\mathcal{T}_{\text{B}}$ au point B est horizontale.
}

\begin{center}\scalebox{0.707}{
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(5.2,6.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.6)(5.2,6.8)
\psline(-1.5,2.188)(5.2,2.188)
\psplot{-1}{1.25}{5 4 x mul sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5.2}{2 2 x mul sub x dup mul sub 2.71828 x exp div 3 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,1)(2,2.188)(0,5)
\uput[ur](0,5){A} \uput[u](2,2.188){B} \uput[ur](1,1){C}
\uput[r](1.2,0.3){$\mathcal{T}_{\text{A}}$}
\uput[d](3,2.188){$\mathcal{T}_{\text{B}}$}
\uput[u](4,2.55){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O} \rput(1,1.9){\huge \textcolor{red}{$\mathcal{D}$}}
 \pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]{
\psline[linewidth=0.001pt](0,0)(0,5)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{0}{2}{2 2 x mul sub x dup mul sub 2.71828 x exp div 3 add}
\psline (2,2.1879883)(2,0)
}

\end{pspicture*}}
\end{center} 


\medskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 {\footnotesize 
\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. \\Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. \\Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 4$} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{4} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1,2} &\textbf{d.~~}\ovalbox{autre réponse} 
\end{tabularx}
{\footnotesize A(0~,~5)}
\medskip

\item La valeur de $f'(0)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}\ovalbox{$- 4$} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{4 }&\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{1,2} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{autre réponse}
\end{tabularx}
{\footnotesize $m=\frac{y_{\text{A}}-y_{\text{C}}}{x_{\text{A}}-x_{\text{C}}}=\frac{5-1}{0-1}$}
\medskip

\item La valeur de $f'(2)$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}\ovalbox{0} &\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2,1} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{3} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{autre réponse}
\end{tabularx}
{\footnotesize la tangente $\mathcal{T}_{\text{B}}$ au point B est horizontale.}

\medskip

\item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ par des entiers naturels est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 4$ }&\textbf{b.~~}\ovalbox{$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$} &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 5$} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 2$}
\end{tabularx}
{\footnotesize le rectangle dont une diagonale est [O~;~B] a déjà une aire supérieure à 4}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\R$ par : 
$f(x) = \left(-x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3$.
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $3$.
 Déterminons la limite de $f$ en $- \infty$. 
 
 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\left( -x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3=\lim_{x\to -\infty}\left( -x^2 - 2x + 2\right)\times \lim_{x\to -\infty}\e^{-x}=-\infty\times +\infty =-\infty$.  
 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\R$,\: $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{- x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudions le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. Puisque pour tout $x$ appartenant à $\R$, $\e^{-x}$ est strictement positif, le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2-4$. $ x^2-4=(x-2)(x+2)$.
		
		$x+2>0$ si et seulement si $x>-2$, $x-2>0$ si et seulement si $x>2$.
		\renewcommand\arraystretch{1.1}
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|*{7}{c}|}\hline
		$x$&$-\infty$&&$-2$&&2&&$+\infty$\\ \hline
		$x+2$& &$-$&0&+&\vrule&+& \\ \hline
		$x-2$& &$-$& \vrule&$-$&0&+&\\ \hline
		$x^2-4$& &+&0&$-$&0&+&\\\hline
		\end{tabular}
		\end{center}
		
		Nous avons donc pour $x\in ]-\infty~;~-2[$ ou pour $x\in]2~;~+\infty[$, $f'(x)>0$ et pour $x\in]-2~;~2[$,$f'(x)<0$.
		
		\item \'Etudions le sens de variation de $f$.

Si pour tout $x\in I,\: f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Pour $x \in ]-2~;~2[, \ f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. 

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)>0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Pour tout $x\in ]-\infty~;~-2[$ ou pour tout $x\in]2~;~+\infty[$, $f'(x)>0$, par conséquent, $f$ est strictement croissante sur chacun de ces intervalles. 

Dressons le tableau de variation de la fonction $f$.

\begin{center}\scalebox{0.707}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](3.5,2.45){$-2$} \uput[u](5.5,2.45){$2$}\uput[u](7.7,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.6,2){$+$}  \uput[u](3.5,2){$0$}\uput[u](4.5,2){$-$}\uput[u](5.5,2){$0$} \uput[u](6.6,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[d](1.45,0.51){$-\infty$}\uput[u](3.5,1.5){$2\e^2+3$}\uput[d](5.5,0.53){$3-6\e^{-2}$}\uput[ur](7.2,1.5){$3 $}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.4,1.6) \psline{->}(5.5,0.5)(7.3,1.6)\psline{->}(3.64,1.56)(5.3,0.49)
\end{pspicture}}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x.\] 

 La fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$ lorsque $F'=f$. 
 
 \[F'(x)=(2x+4)\e^{-x}+(x^2+4x+2)\left(-\e^{-x}\right)=\left(2x+4-x^2-4x-2\right)\e^{-x}=(-x^2-2x+2)\e^{-x}=f(x)\]
 
 F est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. 
		 Pour tout x appartenant à[0~;~2], $f(x)$ est positive, par conséquent l'aire du domaine plan $\mathcal{D}$ en unités d'aire est $\displaystyle \int_0^2 f(x)\mathrm{d}x$.
		 \[\displaystyle\mathcal{A}= \int_0^2 f(x)\mathrm{d}x=\left[\left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x\right]_0^2=14\e^{-2}+6-\left(2\right)=14\e^{-2}+4.\] 
		 $\mathcal{A}$vaut $14\e^{-2}+4$  unités d'aire.
		\item  Une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième est alors \np{5.89} unités d'aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\end{document}