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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{18 novembre 2013}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

%La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par 
%
%\[u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3\quad \text{et}\quad u_{0} = - 1.\]
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$.

%On obtient les résultats suivants :
 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}m{0.8cm}|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X@{}|}}\hline
%&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline
%1&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
%2&Valeur de $u_{n}$&
%\scriptsize$- 1$&\scriptsize2,6&\scriptsize 4,04& 4,616&4,8464&4,9386&4,9754&4,9902&4,9961&4,9984&4,9994 \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entrée dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}} 
%\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \$\text{B}\$2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4~\hat{}~\text{C}1+3$
%\end{tabularx}
Réponse c. : $\text{B}\$2*0,4+3$
\item %Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?
Il semble que la limite de la suite soit égale à $5$. 
\item %On considère l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\emph}l X|}\hline 
%\emph{Variables} :		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
%\emph{Entrée} :		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
%\emph{Initialisation} :& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
%\emph{Traitement} :	& 	tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
%&	\hspace{0,25cm}\begin{tabular}{|l}
%$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
%$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
%\end{tabular}\\
%& fin tant que\\
%\emph{Sortie} :& 	afficher la valeur de $n$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center} 
%À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
L'algorithme s'arrête pour $p = 7$ : avec $u_{7}= \np{4,9902}$, on a bien $\left|u_{7} - 5 \right| \leqslant 0,01$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
%On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

%$v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques.
D'après l'écriture du terme général, cette suite est géométrique de premier terme $6$ et de raison $0,4$. 
\item %Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
Comme $0 < 0,4 < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,4^n = 0$, donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 6 \times 0,4^n = 0$.

Conclusion : $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 0$.
\item %On admet que pour tout entier naturel $n :\: u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$.
Comme  $u_{n} = 5 - v_{n}$, on en déduit que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 5 - 0 = 5$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \ldots	+ v_{n}$.
		Cette somme est la somme des $n + 1)$ premiers termes d'une suite géométrique, on sait que cette somme est égale à :
		
		$v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n} = 6 \times \dfrac{1 - 0,4^{n+1}}{0 - 0,4}6 \times  \dfrac{1 - 0,4^{n+1}}{0,6} = 10 \left(1 - 0,4^{n+1} \right) =$
		
$ 10 -  4 \times 0,4^n$.
		\item %En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \ldots	+ u_{n}$.
		Comme pour tout entier $n, \: u_{n} = 5 - v_{n}$, on a :
		
$u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = 5 (n + 1) - \left(v_{0} + v_{1} + \cdots + v_{n}\right) = 5 (n + 1) - \left(10 -  4 \times 0,4^n \right) = 5n + 5 - 10 + 4\times 0,4^n = 5n - 5 + 4\times 0,4^n$ ou $5(n - 1) + 4\times 0,4^n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.\\ 
%$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.\\ 
%Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.} 
%
%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
%\multicolumn{2}{c|}{~}&Réponse a& Réponse b& Réponse c\\ \hline 
%1&Soit $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :&$\sqrt{2}$&$- \sqrt{2}$&2\\ \hline  
%2&Soit $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est : &$\dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{3\pi}{4}$\\ \hline
%3&$f$ est définie par : \mbox{$f(t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$} 
%
%$f$ est solution de :& $y' + 3y = 0$ &$y''+ 25y = 0$&
%$y'' - 5y = 0$\\ \hline 
%4&Les solutions de l'équation $y' - 2y = 0$ 
%
%sont les fonctions du type :&$x \longmapsto k\text{e}^{2x}$ avec $k \in  \R$ & $x \longmapsto k\text{e}^{- 2x}$ avec $k \in \R$ & $x \longmapsto k\text{e}^{2x} + k$ avec $k \in  \R$\\ \hline 
%5&La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :&$\left\{1 - \text{e}^3\right\}$&$\left\{1 + \text{e}^3\right\}$&$\left\{\text{e}^3 - 1\right\}$\\ \hline 
%6&L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est : 
%&$]- \infty~;~\ln 8]$&$]- \infty~;~3]$&$]- \ln 3~;~\ln 5]$\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item Réponse \textbf{a.}.
\item $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ : cette écriture n'est pas celle d'une forme exponentielle car $ \sqrt{2} < 0$.

Or $z = \text{e}^{\text{i}\pi} \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$ Un argument de $z$ est donc $\frac{5\pi}{4}$ à $2\pi$ près soit encore $- \frac{3\pi}{4}$. Réponse \textbf{c.}
\item Si $f$ est définie par $f(t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$, alors $f'(t) = - 15 \sin \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$ et 

$f''(t) = - 75 \cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Donc $f''(t) + 25f(t) = 0$. Réponse \textbf{b.}
\item Les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions : $x \longmapsto C\text{e}^{2x}$ avec $C \in \R$. Réponse \textbf{a.}
\item $\ln (x + 1) = 3 \iff \text{e}^{\ln (x + 1)} = \text{e}^{3} \iff x + 1 = \text{e}^{3} \iff x = \text{e}^{3} - 1$. Réponse \textbf{c.}
\item $2^x - 3 \leqslant 5 \iff 2^x \leqslant 8  \iff x\ln 2 \leqslant \ln 8$ ou encore $x\ln 2 \leqslant \ln 2^3 \iff x \ln 2 \leqslant 3 \ln 2 \iff x \leqslant 3$. Réponse \textbf{b.} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
%$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
%
%$f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(13.2,6)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](-2,-4)(14,6)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(13.2,6)
%\psplot[plotpoints=5000]{-1.5}{2.5}{1 2 x mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{13.2}{x ln 2 mul 4 x div add 5 sub}
%\uput[r](0.3,5){$\mathcal{C}$}\uput[l](2,-3){$\mathcal{T}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
% 
%$\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.
%
%$\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1~;~-1)$. 
%
%$\mathcal{T}$ passe par le point de coordonnées (0~;~1).
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Par lecture graphique, déterminer $f(1)$.
On lit $f(1) \approx - 1$. 
		\item %Déterminer $f'(1)$.
On lit $f'(1) = \dfrac{-2}{1} = - 2$. 
		\item %Donner une équation de $\mathcal{T}$.
Son coefficient directeur est égal à $- 2$ et son ordonnée à l'origine 1 ; l'équation de $\mathcal{T}$ est donc $y = - 2x + 1$. 
	\end{enumerate}
\item %On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$.
$f'(x) = 2\times\dfrac{1}{x} - \dfrac{a}{x^2} = \dfrac{2x - a}{x^2}$. 
		\item %Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$.
On sait que $f'(1) = - 2$ soit  $\dfrac{2\times 1 - a}{1^2} = - 2 \iff 2 - a = - 2 \iff a = 4$.

Donc $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} + b$. mais on sait que $f(1) = - 1$, soit $2\ln 1 + \dfrac{4}{1} + b = - 1 \iff b = - 1 - 4 = - 5$.

Finalement  : $f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
%Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ par 
%
%\[f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$ et que  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{4}{x}$, d'o\`u par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ?
Ceci signifie que l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, vérifier que \[f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}.\]
On a $f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - \dfrac{4}{x^2} =  \dfrac{2x - 4}{x^2}$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~ +\infty[$.
		Comme $x^2 > 0$ si $x \in ]0~;~ +\infty[$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 4$ qui est positif si $x > 2$.
		
Conclusion : $f'(x) > 0$ sur $]2~;~+ \infty[$ ;

$f'(x) < 0 sur ]0~;~2[$ ;

$f'(2) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item %Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
Le résultat précédent  permet de construire le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.1,2.4){0} \uput[u](4,2.4){2} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\uput[u](2.5,2){$-$}\uput[u](4,2){0}\uput[u](5.5,2){$+$}
\rput(0.5,1){$f(x)$} \psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5) \psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$2\ln 2 - 3$}
\uput[d](6.5,2){$+ \infty$} 
\end{pspicture}
\end{center}
\item %En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$.
Comme  $2\ln 2 - 3 \approx - 1,62$ est inférieur à zéro, la fonction décroissant de plus l'infini à $2\ln 2 - 3$ s'annule une fois sur l'intervalle ]0~;~2[, puis croissant de $2\ln 2 - 3$ à plus l'infini s'annule une autre fois sur l'intervalle $]2~;~+ \infty[$.

L'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ a donc deux solutions $a$ et $b$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à [1~;~3].
		On a $f(1) = 2 \times 0 \dfrac{4}{1} - 5 = - 1$ et $f(3) = 2 \ln 3 + \dfrac{4}{3} - 5 = 2\ln 3 - \dfrac{11}{3} \approx - 1,47$.

Donc sur l'intervalle [1~;~3], $f$ ne prend que des valeurs négatives. 
		\item %On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ par 
		
%		\[F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x\]
		
%est une primitive de $f$. 

%Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires.
 
%On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
On a vu que sur l'intervalle [1~;~3], $f$ est négative, donc l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ est égale à 

$\mathcal{A} = - \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x = - \left[F(3) - F(1) \right] = F(1) - F(3) = (2\times 1 + 4) \ln 1 - 7\times 1 - \left[(2\times 3 + 4) \ln 3 - 7\times 3 \right] = - 7 - 10\ln 3 + 21 = 14 - 10\ln 3$~(unités d'aire).

Ob a $\mathcal{A} = 14 - 10\ln 3  \approx 3,01$~unités d'aire. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
%Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
% 
%Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.
%
%\bigskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
%On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à $0,9$.
% 
%Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Le nombre de pièces est assez important pour que l'on puisse assimiler le tirage de 10 pièces à un prélèvement avec remise de 10 pièces, la probabilité de prélevée étant à chaque fois la même : 0,9.

La variable aléatoire $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p = 0,9$. 
\item %Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$.
On a E$(X) = n \times p = 10 \times 0,9 = 9$.

$\sigma(X) = \sqrt{n \times p\times (1 - p)} = \sqrt{10 \times 0,9 \times 0,1} = \sqrt{0,9}$.  
\item %Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins $8$ pièces soient conformes.
La calculatrice donne $p(X \geqslant 8) \approx \np{0,9298}\approx 0,93$. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
%Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre.
% 
%On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance $80$ et d'écart type $0,6$.

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité $P(79 \leqslant M \leqslant 81)$.
La calculatrice livre : $\mu = 80$ et $\sigma = 0,6$, puis 

$p(79 \leqslant M \leqslant 81) \approx 0,904$. 
\item %Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ ?
Comme l'espérance est égale à 80, la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ est égale à $0,5$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE C :}

\medskip

%On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles.
% 
%On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5\,\% des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.
%
%\medskip
\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de $300$~médailles.
L'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de $300$~médailles est égale à :

$I = \left[0,05 - 1,96\times \sqrt{\dfrac{0,05 \times 0,95}{300}}~;~0,05 + 1,96 \times \sqrt{\dfrac{0,05 \times 0,95}{300}} \right]$ soit 

$I = [0,025~;~0,075]$.
\item %On prélève un échantillon de $300$~médailles. 

%On constate que dans cet échantillon, $24$ médailles ont une épaisseur non conforme. 

%Doit-on réviser le réglage de la machine ?
On a $n > 30, \: np = 300 \times 0,05 = 15 > 10$ et $n(1 - p) = 300 \times 0,95 = 285 > 10$ : les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. Donc la fréquence d'apparition des médailles non conformes est :

$f = \dfrac{24}{300} = \dfrac{8}{100} = 0,08$.

Or $0,8 \notin [0,025~;~0,075]$, donc au seuil de confiance de 95\,\% on décide de revoir le réglage de la machine.  
\end{enumerate} 
\end{document}