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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
[4pt] 17 novembre 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

Au 1\up{er} janvier 2014, un particulier installe 20 m$^2$ de panneaux photovoltaïques à son
domicile. Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation
suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
En France 1 m$^2$ de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ
95~kWh/an.\\
La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime
que la perte de rendement est de 3\,\% par an.\\
La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie
produite depuis le début de l'installation dépasse \np{20000} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année $2014 + n$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie
produite en 2015.
		\item Vérifier que $u_{n+1} = 0,97 \times  u_n$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité
d'énergie produite en 2044 ?
\item Que devient la quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand
nombre d'années ?
\item En quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X}
1&VARIABLES\\
2& $u$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
3& $S$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4& $n$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
5& DÉBUT ALGORITHME\\
6& $n$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\
7& $u$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
8& $S$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
9& TANT\_QUE ($S< \np{20000}$) FAIRE\\
10& DÉBUT\_TANT\_QUE\\
11& $n$ PREND LA VALEUR $n+1$\\
12& $u$ PREND\_LA\_VALEUR $u \times 0,97$\\
13& $S$ PREND\_LA\_VALEUR $S+u$\\
14& FIN\_TANT\_QUE\\
15& AFFICHER $n$\\
16& FIN\_ALGORITHME\\
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi sert la ligne 8 ?
		\item La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12.
Que signifie ce résultat ?
	\end{enumerate}
\item On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25~ans.
	
Calculer $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules
électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie
en km.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 104$ et d'écart type $\sigma = 6$.

On arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.

On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise
entre 92 et 116.

Déterminer la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de
conformité.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard
dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet
échantillon.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 
75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.

On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est $0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette
loi.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og dans l'échantillon prélevé au hasard,
tous les véhicules sont conformes \fg. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire
menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules.

Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de
\np{1000}~véhicules produits, on constate la vente de $148$~véhicules avant la campagne
publicitaire.

Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de
même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de
$177$~véhicules.

Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ?

Vous pourrez déterminer les intervalles de confiance avec un niveau de confiance
de 95\,\% correspondant à chacune de ces situations.

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est
attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs
réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.

Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction $f$ définie sur $]7~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}\]


\begin{enumerate}
\item Une primitive $F$ de $f$ est donnée par :
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}$
		\item $F(x) = x^3 +  \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}$
		\item $F(x) = 9x^3 +  2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}$
		\item $F(x) = x^3+  \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)$
	\end{enumerate}
\item Laquelle des limites suivantes est correcte ?
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154$
	\end{enumerate}
\item  Soit $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ alors l'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
		\item $\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
		\item $\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
		\item $\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}$
	\end{enumerate}
\item  Un argument de $z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{\pi}{14}$
		\item $\dfrac{13\pi}{14}$
		\item $- \dfrac{2\pi}{9}$
		\item $\sqrt{7}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip

Un réservoir contient \np{1000} litres d'eau potable.

À la suite d'un incident de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de
10 litres par minute.

On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes
par litre), qui doit rester inférieure à 3,9 g.L$^{-1}$.

On modélise la situation en notant $s$ la salinité exprimée en grammes par litre et $t$
le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident.

On suppose que l'évolution de $s$ est représentée par l'équation différentielle

\[(\text{E}) : \quad  y' + 0,01y = 0,39.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).

On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction $s$ est
définie par 

\[s(t) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01t}.\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à
$t = 0$ ?
		\item Justifier que la fonction $s$ est strictement croissante.
		\item Déterminer la salinité de l'eau du réservoir 60~minutes après le début de
l'incident. Arrondir à $10^{-2}$ près.
		\item Que devient la salinité de l'eau du réservoir si on n'intervient jamais ?
	\end{enumerate}
\item La salinité doit rester inférieure à 3,9 g.L$^{-1}$.
	
De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter
l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ?
	
Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\end{document}