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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]La Réunion 28 mars 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 physique-chimie et mathématiques (4 points)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Critère \no 1 :} la variation de température d'une boisson doit être inférieure ou égale à $5$ \degres C avec une tolérance de $0,5$ \degres C au bout de 8 heures pour une température extérieure de $\theta_{\text{ext}} = 20,0$ \degres C.

On souhaite vérifier le critère \no 1 dans le cas d'une boisson chaude.

\medskip

L'évolution de la température (en \degres C ) de la boisson en fonction du temps (en heure) est
modélisée par la fonction $f$ solution de l'équation différentielle suivante :

\[(E) :\quad  y' = - 0,044y + 0,88\]

 où $y$ est une fonction définie sur $\R$ et $y'$ sa dérivée.

\begin{enumerate}[start=6]
\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Sachant que la température initiale de la boisson est de $60 \degres $C, montrer que $f$ est
définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 

\[f(t) = 40\text{e}^{-0,044t} + 20.\]

\item En déduire la température de la boisson au bout de $8$ heures. 

Indiquer si le critère \no 1 est vérifié.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3  (4 points)\\[10pt](mathématiques)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Simplifier l'écriture de l'expression suivante: 
\[A(x) = - \ln (9) + 2 \ln(3x).\]

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

\medskip

Le point M d'affixe $z_M$ vérifie les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 6 ;
\item[$\bullet~~$] la partie réelle de $z_M$ est négative;
\item[$\bullet~~$] la partie imaginaire de $z_M$ est égale à 3.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\theta$ la mesure dans $[0~;~ 2\pi[$ de l'argument du nombre complexe $z_M$.

Déterminer $\sin (\theta)$.
\item À l'aide du demi-cercle trigonométrique ci-dessous, donner la valeur exacte de $\theta$. Justifier.
\item En déduire l'écriture exponentielle de $z_M$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-1)(7.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-7,0)(7.5,7)
\psarc(0,0){7}{0}{180}
\uput[ur](7;30){$\frac{\pi}{6}$}\uput[ur](7;45){$\frac{\pi}{4}$}\uput[ur](7;60){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[u](7;90){$\frac{\pi}{2}$}\uput[ul](7;120){$\frac{2\pi}{3}$}\uput[ul](7;135){$\frac{3\pi}{4}$}
\uput[ul](7;150){$\frac{5\pi}{6}$}\uput[l](7;180){$\pi$}
\uput[d](6.062,0){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}\uput[d](4.95,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}\uput[d](3.5,0){$\frac12$}
\uput[d](-6.062,0){$\frac{-\sqrt{3}}{2}$}\uput[d](-4.95,0){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}\uput[d](-3.5,0){$-\frac12$}
\uput[l](0,6.062){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}\uput[l](0,4.95){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}\uput[l](0,3.5){$\frac12$}
\psline[linestyle=dashed](-6.062,0)(-6.062,3.5)(-0.5,3.5)
\psline[linestyle=dashed](6.062,0)(6.062,3.5)(0,3.5)
\psline[linestyle=dashed](-4.95,0)(-4.95,4.95)(-1,4.95)
\psline[linestyle=dashed](4.95,0)(4.95,4.95)(0,4.95)
\psline[linestyle=dashed](-3.5,0)(-3.5,6.062)(-1,6.062)
\psline[linestyle=dashed](3.5,0)(3.5,6.062)(0,6.062)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}