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%Tapuscrit : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]Métropole -- 10 septembre 2019}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\bigskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\begin{enumerate}
\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [2~;~12]. \\
$P(X \leqslant 5)$ est égale à:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{2}$
\item $\dfrac{3}{10}$
\item $\dfrac{5}{12}$
\item $\dfrac{5}{7}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 20 et d'écart-type $\sigma$. \\
$P(X \leqslant 18)$ peut être égale à:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $0,4$
\item $1,8$
\item $0,6$
\item $0,82$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item La durée de vie, en années, d'un composant électronique est une variable aléatoire qui
suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La durée de vie moyenne de ce composant
électronique est de 5 ans.

Le paramètre $\lambda$ vaut:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $5$
\item $0,5$
\item $ 0,2$
\item $-0,2$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Un argument du nombre complexe
$z=\left (2-2\i\right )\times \e^{\i \frac{\pi}{2}}$ est:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\pi}{2}$
\item $\dfrac{\pi}{4}$
\item $ \dfrac{3\pi}{4}$
\item $4\sqrt{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points}

\bigskip

Pour permettre un apport de lumière naturelle dans une habitation et réaliser des économies d'électricité, une solution réside dans l'installation d'un conduit de lumière au niveau de la toiture. Il s'agit d'un tube cylindrique en aluminium recouvert d'un film multicouche à base de polymère.

Dans ce conduit, le flux lumineux, exprimé en lumens (lm), diminue de $0,5\,\%$ tous les décimètres.

On rappelle qu'un décimètre vaut dix centimètres.

\begin{center}
\scalebox{0.9}{
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.3cm,arrowsize=3pt 3,dash=3pt 3pt}
\def\xmin {-9}   \def\xmax {17}
\def\ymin {-7}   \def\ymax {20}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,13)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,13)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0pt](0,0)(4,13)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5,18)(4,17)
\psline[linestyle=dashed]{->}(4,17)(0,13)(4,9)(0,5)(4,1)(-1,-4)
\psline[linestyle=dashed]{->}(6,18)(5,17)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5,17)(0,12)(4,8)(0,4)(4,0)(0,-4)
\psline[linestyle=dashed]{->}(7,18)(6,17)
\psline[linestyle=dashed]{->}(6,17)(0,11)(4,7)(0,3)(7,-4)
\psline[linestyle=dashed]{->}(8,18)(7,17)
\psline[linestyle=dashed]{->}(7,17)(0,10)(4,6)(0,2)(6,-4)
\uput[r](4,6.5){conduit de lumière}
\uput[u](3,-6){flux lumineux à la sortie}
\uput[u](3,-7){du conduit de lumière}
\uput[u](4,18){flux lumineux à l'entrée du conduit de lumière}
\end{pspicture}
}
\end{center}


\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on suppose que le flux lumineux à l'entrée d'un tel conduit de lumière est de \np{4000} lumens.

On pose $u_0 = \np{4000}$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $(u_n)$ le flux lumineux, en lumens, à la sortie d'un conduit de longueur $n$ décimètres.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $u_1 = \np{3980}$.
\item Calculer le flux lumineux, en lumens, à la sortie d'un conduit d'une longueur de 20~cm.
\item Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
\item Un conduit de lumière de 2 mètres de long permettrait-il d'obtenir un flux lumineux d'au moins \np{3600} lumens en sortie?
\item On considère l'algorithme ci-dessous où $n$ désigne un entier naturel et $U$ un nombre
réel.

\begin{center}
\fbox{
$\begin{array}{l}
n \leftarrow 0\\
U \leftarrow \np{4000}\\
\text{Tant que } U>\np{3000}\\
\hspace*{1cm} n \leftarrow n+1\\
\hspace*{1cm} U \leftarrow U \times 0,995\\
\text{Fin Tant que}\\
\end{array}$
}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer le contenu de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme.
\item Interpréter la réponse obtenue à la question précédente dans le contexte du conduit de lumière.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans une pièce sombre, on souhaite remplacer un éclairage électrique par l'installation d'un conduit de lumière d'une longueur de 4 mètres pour obtenir en sortie un flux lumineux d'au moins \np{3100} lumens.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le flux lumineux nécessaire à l'entrée de ce conduit.
\item La courbe ci-dessous modélise le flux lumineux, en lumens, à l'entrée de ce conduit en fonction de l'heure pour une journée donnée.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0006cm,showpoints=false,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture*}(-2,-1000)(24.4,8400)
\multido{\i=1000+1000}{8}{\psline[linecolor=gray](0,\i)(25,\i)}
\multido{\i=500+1000}{8}{\psline[linecolor=lightgray](0,\i)(25,\i)}
\multido{\n=0.25+0.25}{100}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8400)}
\multido{\n=1+1}{24}{\psline[linecolor=gray](\n,0)(\n,8400)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1000](0,0)(0,0)(24.4,8400)
\psBezier2[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1pt](5.5,0)(10.1,7700)(13.25,7700)
\psBezier2[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1pt](13.25,7700)(16.4,7700)(22,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la plage horaire durant laquelle ce flux lumineux à l'entrée du conduit est suffisant.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip

L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.

Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 

La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:

\[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]

À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
\item Donner $f(0)$.
\item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
\item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
\item
\begin{enumerate}
\item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.

Interpréter le résultat dans le contexte.

\item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%\newpage

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\bigskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.

Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.

\bigskip

\hfill
\psset{unit=1cm,radius=2pt}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\Cnode*(2;68){A} \uput[u](A){A} 
\Cnode*(2.7,2.4){B} \uput[ur](B){B}  
\psline(0,0)(A)(B)
\end{pspicture}
\hfill
\psset{unit=1cm,radius=2pt}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\Cnode*(2;68){A} \uput[u](A){A} 
\Cnode*(1.9,0.2){B} \uput[ur](B){B}  
\psline(0,0)(A)(B)
\end{pspicture}
\hfill{}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Tracer sur la copie un repère orthonormé \Ouv.

Placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2\i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé
lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.

\item Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
\end{enumerate}

\item L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$
unités du point O?
\item Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vectt{AO}~,~\vectt{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.

\begin{multicols}{2}

\hfill
\psset{unit=1cm,radius=2pt}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\Cnode*(2.83;15){C}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](2.33,0)(3.13,0)(C)
\Cnode*(2.83;15){C}
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
\uput[dl](0,0){O}  \uput[ur](C){C} 
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\Cnode*(2;68){A} \uput[u](A){A} 
\Cnode*(2.5,1.2){B} \uput[ur](B){B}  
{\psset{radius=0pt}
%\psplot{0}{4}{-0.4 x mul 2.145 add}
\Cnode*(1.8;68){H} \Cnode*(0.87,1.6){L} \Cnode*(0.95,1.765){K} 
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](A)(H)(L)(K)
}
\psline(0,0)(A)(B)
\end{pspicture}
\hfill{}

\columnbreak

\begin{enumerate}
\item Déterminer la longueur OB.
\item Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{\i\frac{\pi}{12}}$.

Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.

\item Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.

Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}



\end{document}