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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Métropole--La Réunion 7 septembre 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne
réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse
à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Le nombre complexe conjugué de $z$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $\overline{z} = - 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{b.~~} $\overline{z} =3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{c.~~} $\overline{z} = - 3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $\overline{z} = 33\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
\end{tabularx}
\medskip
\item  La figure ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
En notant $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x$, on a alors, en unités d'aire :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.5)(6.5,4.3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-1.2,-1.5)(6.5,4.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.5)(6.5,4.3)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.2}{6.5}{20 x mul 33 div 3 add x dup mul 33 div sub x 3 exp 33 div sub}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.2,2.13)(-1,2.3)(0,3)(1,3.5)(2,3.77)(2.4,3.8)(3,3.7)(4,3)(5,1.6)(6,-1)(6.2,-1.53)
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} $1 <I < 3$&
\textbf{b.~~} $0 < I < 9$&
\textbf{c.~~} $9 < I < 12$&
\textbf{d.~~} $12 < I < 22$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[g(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 4\right).\]

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(10.1,5.1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-0.2,-0.2)(10.1,5.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10.1,5.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(10.1,5.1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{10}{x dup mul 2 x mul sub 4 add ln}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item  La courbe de la fonction dérivée de la fonction $g$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{a.~~ Courbe 1}&&\textbf{b.~~ Courbe 2}\\
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.9,-2.1)(6.4,1.5)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.8,-2.)(6.4,1.5)
\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.8,-1.95)(6.4,1.5)
\psline[linewidth=1pt](0,-1)(6,1)
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}&&\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-2.1)(6.4,1.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.8,-2.)(6.4,1)
\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.8,-1.95)(6.4,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{6}{2 x mul 2 sub x dup mul 4 add 2 x mul sub div}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\textbf{c.~~ Courbe 3}&&\textbf{d.~~ Courbe 4}\\
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.5)(3.1,5.2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.75,-0.5)(3.1,5.2)
\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.75,-0.5)(3.1,5.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{6}{x 1 sub 2 exp 3 add}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}&&\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-2.1)(6.4,4.1)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.75,-2.1)(6.4,4.1)
\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.8,-1.95)(6.4,4.1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{6}{4 2 x mul sub}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}
\end{center}
\item  La variable $X$ suit la loi normale d'espérance $3$ et d'écart type $6$.

La probabilité $P(X < 3)$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~} 3&\textbf{b.~~}0,5&
\textbf{c.~~} 0&\textbf{d.~~} 0,997
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité
moyenne $I$ de 0,03 ampère (A).

La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale
d'électricité qu'elle peut emmagasiner.

On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée,
éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité.

Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie
et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal.

On estime que $T = 0,7 \times \dfrac{C}{I}$.

Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des $300$ premiers
cycles de charge.
\item On considère qu'après $300$ cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1\,\%
à chaque nouveau cycle de charge.

Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de
\og $300 + n$ \fg{} cycles de charge.

On admet que $T_0 = 42$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
		\item Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
		\item Justifier que $T_n = 42 \times  0,99^n$.
	\end{enumerate}
\item Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie
de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
	\begin{enumerate}
		\item On propose l'algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge
correspondant.
		
		\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.4cm}$n$ : nombre entier naturel\\
\hspace{0.4cm}$T$ : nombre réel\\
\hspace{0.4cm}$q$ : nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur $0$\\
\hspace{0.4cm}$T$ prend la valeur $42$\\
\hspace{0.4cm}$q$ prend la valeur $0,99$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que \ldots \ldots\\
\hspace{0.7cm}$T$ prend la valeur \ldots \ldots\\
\hspace{0.7cm}$n$ prend la valeur \ldots \ldots\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $n + 300$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

Recopier et compléter la partie relative au traitement.
		\item Déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie
aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
	\end{enumerate}
\item Lorsque l'autonomie de la batterie devient inférieure à $5$~heures, on estime qu'elle ne
permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant
est alors appelé durée de vie de la batterie.
Déterminer la durée de vie de cette batterie.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

\og Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première
cause de mortalité accidentelle par intoxication en France. [\ldots] Pourtant certains symptômes
annonciateurs d'une intoxication au monoxyde de carbone existent. Maux de tête, nausées
et vomissements sont notamment les premiers signes qui doivent alerter. Bien identifiés, ils
permettent de réagir rapidement et d'éviter le pire. \fg

\begin{flushright}Source Ministère des Affaires Sociales et de la Santé. (octobre 2012)\end{flushright}

\newpage

\textbf{Document 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel
la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm).

Un tel détecteur produit un signal d'alarme respectant les modalités fixées par
la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.

Il déclenche un signal d'alarme :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;
\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins la minutes ;
\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Document 2}\\
\textbf{Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone}\\
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,12)
%\psgrid
\pspolygon(1.2,1)(2.4,1)(2.4,10)(2.7,10)(1.8,11.5)(0.9,10)(1.2,10)
\psline(2.4,1)(2.6,1.4)(2.6,9.8)(3,9.8)(2,11.4)(1.8,11.5)
\multido{\n=1.2+1.4}{7}{\psline(1.2,\n)(1.4,\n)}
\multido{\n=1.2+1.4}{7}{\psline(2.2,\n)(2.4,\n)}
\rput(1.8,1.2){10}\rput(1.8,2.6){20}
\rput(1.8,4){40}\rput(1.8,5.4){100}
\rput(1.8,6.8){200}\rput(1.8,8.2){400}
\rput(1.8,9.6){\np{1000}}\rput(1.8,11){\np{2000}}
\rput{90}(0.5,5){\textbf{Niveaux croissants de CO}}
\rput{90}(1,5){\textbf{dans l'air ambiant (en ppm)}}
\uput[r](3,11){Décès rapide}
\uput[r](3,9.6){Coma, convulsions}
\uput[r](3,8.2){Céphalées, confusion, évanouissements chez l'adulte}
\uput[r](3,6.8){Céphalées, vertiges, baisse de l'acuité visuelle,
irritabilité} 
\uput[r](3,6.4){chez l'adulte et syncope chez l'enfant}
\uput[r](3,5.4){Céphalées occasionnelles,
souffle court lors d'un exercice}
\uput[r](3,5){modéré}
\uput[r](3,4){Céphalées et nausées chez les enfants}
\uput[r](3,2.6){Troubles du rythme cardiaque ressentis
chez les personnes}
\uput[r](3,2.2){les plus sensibles, souffrant de coronaropathie}
\uput[r](3,1.2){Pas de symptôme}
Source : Commission européenne 2014.
\end{pspicture}
\end{center}
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Un laboratoire d'essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte
en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone
dans une pièce.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé
en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent
par la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.025cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-10,-9)(435,82)
\multido{\n=0+30}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(435,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=30,Dy=10](0,0)(435,82)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{435}{200 x mul 60 div 2.71828 x 60 div exp div 2.2 add}
\uput[d](390,-8){Temps en minutes}
\uput[r](0,84){Concentration de monoxyde de carbone en ppm}
\psline[linestyle=dotted](10,0)(10,30)\psline[linestyle=dotted](20,0)(20,50)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.
\item Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle
de présenter des symptômes? Si oui, lesquels?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

La concentration de monoxyde de carbone exprimée en ppm dans la pièce en fonction du
temps, exprimé en heures, est modélisée par la fonction $f$ définie sur [0~;~8] par

\[f(t) = 2,2 + 200t\text{e}^{-t}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce:
	\begin{enumerate}
		\item au moment de l'accident;
		\item 30 minutes après.
	\end{enumerate}
\item À l'aide du graphique de la partie A, conjecturer les variations de la concentration de
monoxyde de carbone dans la pièce en fonction du temps.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~8], $f'(t) = 200(1 - t)\text{e}^{-t}$.
		\item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~8].
		\item Valider ou invalider la conjecture émise à la question 2.
	\end{enumerate}
\item On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~8] par 
	
	\[F(t) = 2,2 t - 200(t + 1)\text{e}^{-t}.\] 
	
On admet que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle
$[a~;b]$ est le nombre réel défini par : $\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_a^b  f(t)\:\text{d}t$.
		
Calculer la valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors
des 8 heures qui ont suivi l'accident.
		\item Pour des raisons de sécurité, le ministère du travail fixe un seuil pour la concentration moyenne de monoxyde de carbone. Ce seuil est de $50$~ppm pour une période
de 8 heures.
		
La sécurité des personnes présentes dans la pièce aurait-elle été remise en cause
lors de l'accident simulé ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\medskip

Un sismologue déclare en janvier 2014 : \og Le risque d'un séisme majeur le long de la faille de
San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70\,\% \fg.

\medskip

On s'intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de
cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi
exponentielle de paramètre $\lambda$.

\bigskip

\textbf{Document 1}

La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure
ou égale à 5.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Ville}	& \textbf{Année} &\textbf{Magnitude}\\ \hline\hline
Comté d'Orange	& 1769	& 6\\ \hline
San Diego 		&1800	& 6,5\\ \hline
San Francisco 	&1808 	&6\\ \hline
Fort Tejon 		&1857 	&8,3\\ \hline
Monts Santa Cruz&1865 	&6,5\\ \hline
Hayward 		&1868 	&6,9\\ \hline
San Francisco 	&1906 	&8,2\\ \hline
Santa Barbara 	&1925 	&6,3\\ \hline
Santa Barbara 	&1927 	&7,3\\ \hline
Long Beach 		&1933 	&6,3\\ \hline
Comté de Kern 	&1952 	&7,7\\ \hline
San Francisco 	&1957 	&5,3\\ \hline
San Fernando 	&1971 	&6,6\\ \hline
LomaPrieta 		&1989 	&7,1\\ \hline
Parkfield 		&2004 	&6,0\\ \hline
Los Angeles 	&2008 	&5,5\\ \hline
Mexicali 		&2010 	&7,2\\ \hline
Napa 			&2014 	&6,0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Document 2}
\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Rappels sur la loi exponentielle}\\
 \\
$\bullet~~$ $\lambda$ est un nombre réel strictement positif.\\
 Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si sa densité
de probabilité est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$.\\
$\bullet~~$ L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre
$\lambda$ est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash \tiny}c|>{\centering \arraybackslash \tiny}c|*{18}{>{\centering \arraybackslash \tiny}X|}>{\centering \arraybackslash \tiny}c|}\hline
	&A 		&B 		&C 		&D 		&E 		&F 		&G 		&H 		&I 		&J 		&K 		&L 		&M 		&N 		&O 		&P 		&Q 		&R 		&S 		&T\\ \hline
1	&Année	&1769	&1800 	&1808 	&1857 	&1865 	&1868 	&1906 	&1925 	&1927 	&1933 	&1952 	&1957 	&1971 	&1989 	&2004 	&2008 	&2010 	&2014	& Total\\ \hline
2	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}		& 		&31 	&8 		&49 	&8 	&3 	&38 	&19 	&2 		&6 		&19 	&5 		&14 	&18 	&15 	&4 		&2 		&4 		&245\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}  
	\begin{enumerate}
		\item Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
		\item Quelle formule a saisi l'élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu'à la colonne S par \og recopie automatique vers la droite \fg{} ?
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer en années la moyenne $m$, arrondie à $10^{-2}$ près, du temps écoulé entre
deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
		\item Justifier qu'une approximation du paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire $X$ est \np{0,0694}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X \leqslant 20)$ à $10^{-2}$ près.
		\item L'affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par
une loi exponentielle?
	\end{enumerate}
\item  Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.
Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas d'autres séismes majeurs le long de la faille de
San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à $10^{-2}$ près.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $1 - \text{e}^{\np{-0,0694}t} = 0,95$.
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}