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% Tapuscrit François Hache
%%%%   Commandes perso FH
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\newcommand{\cg}{\texttt{]}}%          crochet gauche
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\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
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%%%%
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%% redéfinitions à mettre après hypersetup
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\setlength\parindent{0mm}

\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D - STL/SPCL}
\lfoot{\small{Métropole La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{\large 4 heures}

\medskip

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
Métropole La Réunion 7 septembre 2017}}

\vspace{0,25cm}
 
%L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé.

\end{center}

%\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la courbe $\mathcal C$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty]$.

On pose $I = \displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \d x$. Un encadrement de $I$ est:

\smallskip

\parbox{0.37\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item $6< I< 8$
\item $1< I< 2$
\item $3< I< 4$
\item $13< I< 16$
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.53\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=1cm,comma}
\def\xmin {-0.7}   \def\xmax {6.1}
\def\ymin {-0.6}   \def\ymax {4.4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=gray] (0,0)(0,0)(7,5)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 0pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
%\uput[dl](0,0){$0$}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psset{linecolor=blue}
\def\f{2.7183 x neg 1 add  exp 4 x mul mul}%          définition de la fonction f
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{\f} \uput[ur](3.5,1.15){\blue $\mathcal C$}%  tracé de la courbe
\end{pspicture*}
\end{center}}

%\end{multicols}

\smallskip

\item La fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty]$ par $g(x) = (-2x + 1) \ln(x) + 5$.

La limite de cette fonction $g$ en $+\infty$ est égale à:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $+\infty$
\item $-\infty$
\item $0$
\item $5$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=4$ et de raison $q=0,5$.

La somme des 9 premiers termes de cette suite est égale à:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $4\times 0,5^8$ 
\item $\dfrac{1-0,5^9}{1-0,5}$

\columnbreak

\item $8\times (1-0,5^9)$ 
\item $6,9$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0=300$ et de raison $q = 1,05$. L'algorithme qui calcule et affiche tous les termes strictement inférieurs à 450 de cette suite est:

\begin{multicols}{2}

\textbf{a.~}
\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{tabular}[t]{| l  |}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace*{0.5cm} $n$: un nombre entier naturel\\
\hspace*{0.5cm} $u$: un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $n$ prend la valeur $0$\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $300$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace*{0.5cm} Tant que $n<450$\\
\hspace*{1cm} Afficher $u$\\
\hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
\hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $300\times 1,05^n$\\
\hspace*{0.5cm} Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}

\columnbreak

\textbf{b.~}
\begin{tabular}[t]{| l  |}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace*{0.5cm} $u$: un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $300$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace*{0.5cm} Tant que $u<450$\\
\hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $1,05\times u$\\
\hspace*{0.5cm} Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}

\end{multicols}

\begin{multicols}{2}

\textbf{c.~}
\renewcommand\arraystretch{1}

\begin{tabular}[t]{| l  |}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace*{0.5cm} $u$: un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $300$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace*{0.5cm} Tant que $u<450$\\
\hspace*{1cm} Afficher $u$\\
\hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $1,05\times u$\\
\hspace*{0.5cm} Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}

\columnbreak

\textbf{d.~}
\begin{tabular}[t]{| l  |}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace*{0.5cm} $n$: un nombre entier naturel\\
\hspace*{0.5cm} $u$: un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $n$ prend la valeur $0$\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $300$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace*{0.5cm} Tant que $u<450$\\
\hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
\hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $1,05\times u$\\
\hspace*{0.5cm} Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
Le stimulateur cardiaque est un appareil destiné à certaines personnes dont le rythme du c\oe ur est devenu trop lent. Implanté sous la peau, l'appareil envoie des impulsions électriques régulières au c\oe ur lorsque le rythme cardiaque est insuffisant.

\begin{list}{\textbullet}{Un stimulateur cardiaque est constitué de deux composants:}
\item un condensateur de capacité $C$ égale à $4\times 10^{-7}$ farad;
\item un conducteur ohmique de résistance $R$ égale à $2\times 10^{6}$ ohms.
\end{list}

Une fois le condensateur chargé, la tension à ses bornes est égale à 5,6 volts. Il se décharge ensuite dans le conducteur ohmique.

\subsubsection*{Partie A}

La tension $u$, en volts, aux bornes du condensateur est une fonction du temps $t$, en secondes. On admet que $u(0)=5,6$ et que cette fonction $u$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty]$, vérifie pour tout nombre $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty]$ la relation:

\[u'(t) + \dfrac{1}{RC} \times u(t)=0,\]

où $u'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $u$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $u$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty]$ de l'équation différentielle $y'+ 1,25y = 0$.
		\item Résoudre l'équation différentielle $y' + 1,25y = 0$.
		\item Montrer que pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty]$, on a: $u(t) = 5,6\e^{-1,25t}$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction $u$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty]$.
		\item Ce résultat était-il prévisible. Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

En réalité, lorsque la tension $u$ aux bornes du condensateur a perdu 63\,\% de sa valeur initiale $u(0)$, le stimulateur cardiaque envoie une impulsion électrique au c\oe ur, ce qui provoque un battement. On considère que le condensateur se recharge instantanément et que la tension mesurée à ses bornes est à nouveau égale à 5,6 volts.

\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=0.8cm}
\def\xmin {-0.3}   \def\xmax {2.7}
\def\ymin {-0.75}   \def\ymax {6.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\multido{\n=0+0.2}{14}
{\psline[linecolor=lightgray](\n,-0.5)(\n,6.2)
}
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] (0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 0pt,Dx=0.2,Dy=1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
%\uput[dl](0,0){$0$}
\psset{linecolor=blue}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.7954}{5.6 2.7183 1.25 neg x mul exp mul} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.7954}{1.5908}{5.6 2.7183 1.25 neg x 0.8 sub mul exp mul} 
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1.5908}{2.3862}{5.6 2.7183 1.25 neg x 1.6 sub mul exp mul} 
\psline[linewidth=1.25pt](0.7954,2.072)(0.7954,5.6)  \psline[linewidth=1.25pt](1.5908,2.072)(1.5908,5.6)
\uput[l](0,5.6){\blue \boldmath{$u$}}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la tension aux bornes du condensateur qui déclenche l'envoi d'une impulsion électrique au c\oe ur est de 2,072 volts.
		\item Résoudre dans l'intervalle $[~;~+\infty]$ l'équation:

\[5,6\e^{-1,25t} = 2,072.\]

		\item Interpréter le résultat trouvé.
	\end{enumerate}
\item Chez l'adulte en bonne santé, le pouls au repos se situe entre 50 et 80 pulsations par minute.

On admet que le stimulateur cardiaque d'un patient souffrant d'insuffisance envoie une impulsion électrique au c\oe ur toutes les 0,8 secondes.

Ce rythme correspond-il à celui d'un adulte au repos et en bonne santé? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Les partie A et B sont indépendantes.}

\subsubsection*{Partie A}

\begin{minipage}{0.46\linewidth}
Dans le plan complexe muni d'une repère orthonormé direct \Ouv{}, on représente les extrémités des pales d'une éolienne par le point A de coordonnées $(0~;~3)$ et par les points B et C d'affixes respectives :
 
$z_{\text B} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\i$ et 
$z_{\text C} = 3\e^{-\i\frac{5\pi}{6}}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Soit $z_{\text A}$ l'affixe du point A.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la forme algébrique de $z_{\text A}$.
		\item Donner la forme exponentielle de $z_{\text A}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text B}$.
\item On admet que lorsque l'hélice tourne d'un angle de $\dfrac{\pi}{2}$ radians dans le sens direct, les points A, B et C sont transformés respectivement en A$'$, B$'$ et C$'$ tels que:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item A$'$ a pour affixe $z_{\text{A}'} = z_{\text A}\times \e^{\i\frac{\pi}{2}}$
\item B$'$ a pour affixe $z_{\text{B}'} = z_{\text B}\times \e^{\i\frac{\pi}{2}}$
\item C$'$ a pour affixe $z_{\text{C}'} = z_{\text C}\times \e^{\i\frac{\pi}{2}}$
\end{list}

Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{C}'}$;

\end{enumerate}

\end{minipage}
\begin{minipage}{0.54\linewidth}
\begin{flushright}
\psset{unit=0.9cm,comma,PtNameMath=false}
\def\xmin {-4.2}   \def\xmax {4.2}
\def\ymin {-6.8}   \def\ymax {4.1}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray] (0,0)(-5,-7)(5,5)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 0pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
%\uput[dl](0,0){$0$}
\psset{linecolor=blue}
\pscircle(0,0){3} \pscircle(0,0){0.5} 
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-0.5,-6.5)(0.5,-5.7) \psline(-3.1,-6.5)(3.1,-6.5) 
\psline(0.5;-60)(0.25,-5.7) \psline(0.5;-120)(-0.25,-5.7)
\psarc[arrowscale=1.5]{->}(0,0){4}{30}{60} 
\psdots[dotscale=2.5,dotstyle=+](4.3;45) 
\psdots(0,3)(3;-30)(3;-150)(3;30)(3;45)(3;60)(3;120)(3;135)(3;150)(3;225)(3;240)(3;-60)(3;-45)(3;-30)
%\psline(0,0)(0,3) \psline(0,0)(3;-30) \psline(0,0)(3;-150)
\uput[ur](0,3){\blue A} \uput[-30](3;-30){\blue B} \uput[-150](3;-150){\blue C} 
%%% pale autour de A construite avec le package Euclide
\psset{PointSymbol=none,PointName=none,CodeFig=False}
\pstGeonode(0,0){O}% point O pour la rotation
\pstGeonode[CurveType=polygon](0.5;75){E}(3;88){F}(3;92){G}(1;103){H}(0.8;100){I}(0.5;105){J}(0.5;90){K}
%%% rotation de la pale de 120 degrés puis encore de 120 degrés 
\pstRotation[RotAngle=120]{O}{E,F,G,H,I,J,K} \pspolygon(E')(F')(G')(H')(I')(J')(K')
\pstRotation[RotAngle=120]{O}{E',F',G',H',I',J',K'} \pspolygon(E'')(F'')(G'')(H'')(I'')(J'')(K'')
\end{pspicture*}
\end{flushright}
\end{minipage}

\subsubsection*{Partie B}

La durée de vie, en jours, d'un des composants électroniques d'une éolienne est modélisée par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,002$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la durée de vie moyenne, en jours, d'un composant de ce type.

\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty]$ par $f(x)=0,002 \e^{-0,002x}$.

Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty]$ par $F(x) = -\e^{-0,002x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty]$.
		\item On rappelle que, pour tout nombre réel de $[0~;~+\infty]$, $P(T \leqslant t)=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x) \d x$.

On a donc $P(T \leqslant t) = 1 - \e^{-0,002 t}$.

Le fabricant affirme: \og la probabilité que la durée de vie du composant soit supérieure à 100 jours est d'au moins $0,8$.\fg

Que penser de cette affirmation? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\emph{Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\smallskip

L'entreprise COFRUIT  fabrique de la confiture de fruits, qu'elle conditionne en pots. Il est indiqué 680 grammes de confiture sur l'étiquette du pot.

En fin de chaîne de remplissage, les pots sont pesés et ceux dont la masse de confiture est strictement inférieure à 675 grammes ne sont pas commercialisés.

\subsubsection*{Partie A}

Après remplissage, la masse de confiture dans un pot est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=680$ et d'écart-type $\sigma=2,65$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la masse de confiture d'un pot, pris au hasard dans la production, soit comprise entre 677 grammes et 683 grammes.

\item Calculer la probabilité qu'un pot pris au hasard dans la production soit commercialisé.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

Dans cette partie, on considère qu'une machine de remplissage de pots est bien réglée lorsque la proportion théorique de pots non commercialisables est inférieure ou égale à 3\,\%.

On s'intéresse à la production journalière de pots remplis par cette machine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lors d'un contrôle de qualité, il est relevé que, sur un échantillon de 200 pots, 8 ne sont pas commercialisables.

À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\%, déterminer si la machine nécessite un réglage.

\item On rappelle dans cette question que $\mu=680$ et $\sigma = 2,65$.

On suppose que la machine est bien réglée. L'entreprise décide de vendre les pots de confiture par lots de 2. Les lots de moins de $\np{1350}$ grammes de confiture sont jugés non conformes.

On admet que la masse de confiture, en grammes, d'un lot de 2 pots est une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $2\mu$ et d'écart-type $\sqrt{2}\times \sigma$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(Y \leqslant \np{1350})$.
		\item Pourquoi est-il alors plus intéressant pour l'entreprise COFRUIT de vendre ses pots de confiture par lots de 2?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}