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%Tapuscrit : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 septembre 2020}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]Métropole -- La Réunion -- 8 septembre 2020}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

 Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
 
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

Le point A a pour affixe $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$  et le point B a pour affixe $z_{\text{B}} = 2\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Les points A et B sont confondus.
		\item Les points A et B sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
		\item Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses du repère. 
		\item Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
	\end{enumerate}
\item Une forme exponentielle de $2\e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times 2\text{i}$ est : 	\begin{enumerate}
		\item  $4\e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
		\item  $4\e^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$
		\item  $4\e^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$
		\item  $4\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
	\end{enumerate}
\item La valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_0^2 \left(\e^x + 1\right)\:\text{d}x$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $2$
		\item $\e^2 - 1$
		\item $\e^2 + 1$ 
		\item $\e^2 + 2$
	\end{enumerate}		
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \e^{-2x} + 10$.

Cette fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle:
	\begin{enumerate}
		\item $y' = y$
		\item $y' + 2y = 0$
		\item $y' - 2y = 10$ 
		\item $y' + 2y= 20$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points}

\bigskip

Léo envisage l'achat d'un téléphone portable dont la capacité de stockage est de $32$~gigaoctets (Go). Selon la notice, la configuration initiale du téléphone nécessite 20\,\% de cette capacité pour le système d'exploitation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation après la configuration initiale du téléphone.
\end{enumerate}

En raison des différentes mises à jour, Léo estime que le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation augmente de 0,5\,\% par mois.

\begin{enumerate}[resume]
\item On note $u_0$ le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation après la configuration initiale de son téléphone. Ainsi $u_0 = 6,4$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation, $n$ mois après la configuration initiale du téléphone.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_1 = 6,432$. Interpréter le résultat.
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
		\item Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation 2 ans après la configuration initiale du téléphone.
	\end{enumerate}	
	
Léo estime que pour utiliser son téléphone dans de bonnes conditions, celui-ci doit
disposer d'une capacité de stockage disponible d'au moins $4$~Go.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation 
		
		\[6,4 \times  1,005^n > 28.\]
		
Indiquer la démarche utilisée.
		\item Interpréter le résultat précédent.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
Léo estime que, chaque mois, les nouvelles photos et les nouveaux messages occuperont 450 mégaoctets (Mo) supplémentaires. Il décide de ne rien supprimer.

\begin{enumerate}[resume]
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation, les photos et les messages au bout de $n$ mois après la configuration initiale du téléphone.

Ainsi $v_0 = 6,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $v_n = 6,4 \times 1,005^n + 0,45n$.
		\item Calculer le nombre de gigaoctets utilisés $2$ ans après la configuration initiale du téléphone.
		\item Léo écrit l'algorithme suivant.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$n \gets 0$\\
$v \gets 6,4$\\
Tant que $v \leqslant 28$\\
\quad $n \gets n+1$\\
\quad $v \gets  6,4 \times 1,005^n+0,45n$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Que représente le contenu de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
		\item On rappelle que, pour être utilisé dans de bonnes conditions, le téléphone doit disposer d'une capacité de stockage disponible d'au moins $4$~Go.
		
Au bout de combien de mois le téléphone de Léo n'aura-t-il plus suffisamment
de capacité de stockage ?
	\end{enumerate}
\item Pour un téléphone d'une capacité de stockage de $64$~Go, on admet que la configuration initiale nécessite $10$~Go.

Avec une telle capacité de stockage, Léo pourra -t-il utiliser ce téléphone dans de bonnes conditions deux fois plus longtemps que le modèle de $32$~Go ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\smallskip

Une voie de chemin de fer relie deux gares A et B sur une distance de 360 kilomètres.

\smallskip

La gare A est située au kilomètre 0 et la gare B est située au kilomètre 360.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Sur cette voie de chemin de fer circule une locomotive destinée au transport de marchandises.

\smallskip

Cette locomotive peut tomber en panne entre les gares A et B.

\smallskip

Lorsque cela se produit, la distance, en kilomètre, entre la gare A et le lieu où la locomotive tombe en panne est une variable aléatoire notée $D$.

\smallskip

On admet que $D$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [0~;~360].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(D = 50)$.
\item Cette voie de chemin de fer passe dans un tunnel dont l'entrée est située à $10$~km de la gare A et la sortie à $15$km de la gare A.

Calculer la probabilité que la locomotive tombe en panne dans ce tunnel.
\item La probabilité que la locomotive tombe en panne avant le kilomètre $200$ est-elle le double de la probabilité qu'elle tombe en panne avant le kilomètre $100$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur une période donnée de quatre semaines complètes, on s'intéresse aux trains de voyageurs sur la même voie partant de la gare A et arrivant avec un léger retard en gare B, c'est-à-dire avec un retard de moins de 10 minutes. On suppose que de tels légers retards sont tous indépendants les uns des autres.

\smallskip

La probabilité qu'un train arrive avec un léger retard est estimée à $0,02$.

\smallskip

De la gare A à la gare B, il y a 16 trajets par jour du lundi au vendredi, 12 trajets le samedi et 8 le dimanche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que sur cette période de quatre semaines complètes, 400 trains circulent sur cette voie de la gare A vers la gare B.

Sur cette voie, le nombre de trains en léger retard sur la période considérée est une variable aléatoire notée $X$.
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser ses paramètres.
		\item Déterminer la probabilité qu'exactement $5$ trains arrivent en léger retard sur cette période.
	\end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,8$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le choix des paramètres $\mu$ et $\sigma$.
		\item En utilisant l'approximation choisie, calculer la probabilité $P(4 \leqslant X \leqslant 12)$.
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait, sur ce trajet, au moins $4$ trains en léger retard sur la période considérée.
	\end{enumerate}
\item Durant ces quatre semaines complètes, $11$ trains ont été en léger retard sur ce trajet. 

Cette observation remet-elle en cause le pourcentage de trains ayant un léger retard estimé à 2\,\% ? On utilisera un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.
\smallskip

\emph{On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :}

\[\left[p -1,96\sqrt{\dfrac{p(1 -  p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 -  p)}{n}}\right]\]

\emph{lorsque la proportion $p$ dans la population est connue}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité}

\smallskip

Un signal Wi-Fi est émis avec une puissance de $20$ décibels-milliwatt (dBm).

\smallskip

L'atténuation de la puissance du signal dépend:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] de la fréquence $F$ du signal, exprimée en gigahertz (GHz), 
\item[$\bullet~~$] de la distance $D$, en mètre, parcourue par ce signal,
\item[$\bullet~~$] des matériaux traversés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

Pour une distance $D$ supérieure ou égale à $1$ mètre et en l'absence d'obstacle, cette atténuation, exprimée en dBm, est donnée par la formule

\[32,35 + 8,7\ln (F \times D)\] 

La fréquence $F$ du signal émis est égale à $2,4$ GHz.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une approximation de l'atténuation de la puissance du signal peut être donnée par $A = 40 + 8,7\ln{} (D)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $A$ pour une distance $D$ de $10$ mètres.
		\item Pour quelle distance $D$ la valeur $A$ est-elle de $80$ dBm?
	\end{enumerate}
\item Une valeur approchée $P$ de la puissance du signal, en décibel-milliwatt, à une distance $D$ de l'émetteur est donnée par $P = 20 - A$.

Justifier que $P =- 20 - 8,7\ln{} (D)$.
\end{enumerate}

Dans la suite de l'exercice, la puissance du signal, en dBm, est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~400] par

\[f(x) = -20 - 8,7\ln{} (x)\]

où $x$ est la distance, en mètre, parcourue par le signal.

Lorsque l'unité utilisée est le dBm, la puissance d'un signal est un nombre négatif.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$, sur l'intervalle [1~;~400].
		\item Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [1~;~400] et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~400], $f(2x) = f(x) - 8,7\ln{} (2)$.
		\item Lorsque la distance parcourue par le signal est doublée, de combien de décibels-milliwatt la puissance du signal diminue- t-elle ?
	\end{enumerate}
\item Le tableau suivant indique la qualité du signal en fonction de sa puissance.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
Puissance du signal 				&Qualité du signal\\ \hline
Supérieure à $- 50$ dBm				& Excellente\\ \hline
Comprise entre $- 60$ et $- 50$ dBm	&Bonne\\ \hline
Comprise entre $- 70$ et $- 60$ dBm	& Moyenne\\ \hline
 Inférieure à $-70$ dBm					&Faible\\ \hline
 \end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la qualité du signal lorsqu'il a parcouru 10 mètres? 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = - 60$.
		\item En déduire la distance maximale pour laquelle la qualité de signal est bonne.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}