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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL--SPCL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{20 juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{Baccalauréat STI 2D/STL--SPCL\\
Métropole 20 juin 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\medskip

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
 
La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
 
Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8} 
$a$& $p(X \leqslant  a)$&~~&$a$& $p(X \leqslant  a)$&~~&$a$& 
$p(X \leqslant  a)$\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}
98 &\np{0,00000165}&~~&99,5 &\np{0,12245722}&~~&101 &\np{0,98997955}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
98,5 &\np{0,00024299}&~~&100 &\np{0,50000000}&~~&101,5 &\np{0,99975701}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
99 &\np{0,01002045}&~~&100,5 &\np{0,87754278}&~~&102 &\np{0,99999835}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.\\ 
Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $\og X > 99 \fg$. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $\og 99 \leqslant X \leqslant 101 \fg$. 
		\item Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre $99$ grammes et $101$ grammes. 
Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
	\end{enumerate} 
Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $120$. 
		\item On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $120$~pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte $113$~pots conformes.
		 
En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22~h. La température y est alors de 20~\degres C. 

\emph{Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22~h à 7~h le lendemain matin.}
 
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11~\degres C.
 
On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22~h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en \degres C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9]

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~9]. 
On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~9] par 

\[f(t) = 9 \text{e}^{-0,12t} + 11.\]
 
\item Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente. 
\item Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15~\degres C. 
\item Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~9], 

\[g(t) = 0,7\text{e}^{-0,12t}.\] 
 
L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22~h et 7~h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale 

\[\mathcal{E}  = \int_{0}^9 g(t)\:\text{d}t.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée. 
\item En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$~kWh près. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 
&\textbf{b.~~} $z = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{c.~~} $z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $z = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Si $z_{1} = 3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $3\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{7\pi}{12}}$&\textbf{b.~~} $3 \text{e}^{- 2\text{i}\pi}$&\textbf{c.~~} $3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$&\textbf{d.~~} $ 
3\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 4 \text{e}^{9x}$ 
		\item $f(x) = - 0,2 \text{e}^{- 9x}$ 
		\item $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$ 
		\item $f(x) = 0,7\sin (3x)$
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 9\text{e}^{7x}$&\textbf{b.~~} $f(x) = 9\text{e}^{- 7x}$&\textbf{c.~~} $f(x)= - 9\text{e}^{7x}$&\textbf{d.~~} \small $f(x) = - 9\text{e}^{- 7x}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

Document 1

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
\emph{La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.}\\ 
\emph{En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $\np{1900}$~km ; sa puissance électrique initiale est de $\np{6400}$~MW ; le courant est transporté sous une tension de $800$~kV.}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3\,\% pour une distance de $100$~kilomètres.

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
On note $p_{0} = \np{6400}$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de $100$~km.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$. 
\item Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$~km ? 
\item Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{1.5cm}$n$ : un nombre entier naturel \\
\hspace{1.5cm}$q$ : un nombre réel \\ 
\hspace{1.5cm}$p$ : un nombre réel \\ 
\textbf{Entrée} \\ 
\hspace{1.5cm}Saisir $n$ \\ 
\textbf{Initialisation} \\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $p$ la valeur \np{6400} \\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $q$ la valeur $0,997$ \\ 
\textbf{Traitement} \\ 
\hspace{1.5cm}Répéter $n$ fois \\ 
\hspace{2.5cm}Affecter à $p$ la valeur $p \times q$ \\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\hspace{1.5cm}Afficher $p$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$.
 
Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$n$ &$q$ &$p$\\ \hline 
Entrées et initialisation&3 &0,997 &\np{6400}\\ \hline 
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline  
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline 
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme. 
\item Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$~km ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ? 
\item D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude.
 
On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7\,\% sur ces lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ? 
		\item Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 \,\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}