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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Métropole 12 septembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\text{i}$ est:  
	\begin{enumerate}
		\item $z = 5\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $z = 5\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $z = 5\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$  
		\item $z = 5\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item Si $z_{1} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe : 
	\begin{enumerate}
		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$ 
		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
	\end{enumerate}		
\item Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item 1 
		\item i		 
		\item $-1$
		\item  $- \text{i}$
	\end{enumerate}		 
\item Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$  a pour forme algébrique :
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{3} - 3\text{i}$ 
		\item $3 - \text{i}\sqrt{3}$ 
		\item $- \sqrt{3} + 3\text{i}$ 
		\item $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip 

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de $125$~grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de $125$~grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de [124~;~127,5].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes. 
		\item Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme. 
		\item En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.
		
		\medskip
		 
\emph{On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.}


{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.5cm}|X|p{0.01mm}|p{0.5cm}|X|p{0.05cm}|p{0.5cm}|X|p{0.01mm}|p{0.5cm}|X|}\cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
$a$& \tiny $p(X \leqslant a)$&~&$a$&{\tiny $p(X\leqslant a)$}&~&$a$&\tiny $p(X \leqslant a)$&~&$a$&\tiny $p(X \leqslant a)$\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
122,00&\np{0,0000015}&&123,50 &\np{0,0038304}&&125,00& \np{0,2524925}&&126,50 &\np{0,9087888}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
122,25&\np{0,0000073}&&123,75 &\np{0,0098153}&&125,25 &\np{0,3694413}&&126,75 &\np{0,9522096}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
122,50&\np{0,0000317}&&124,00 &\np{0,0227501}&&125,50 &\np{0,5000000}&&127,00 &\np{0,9772499}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}     
122,75&\np{0,0001229}&&124,25 &\np{0,0477904}&&125,75 &\np{0,6305587}&&127,25 &\np{0,9901847}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
123,00&\np{0,0004291}&&124,50 &\np{0,0912112}&&126,00 &\np{0,7475075}&&127,50 &\np{0,9961696}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
123,25&\np{0,0013499}&& 124,75 &\np{0,1586553}&&126,25 &\np{0,8413447}&&127,75&\np{0,9986501}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}
\end{tabularx}}

	\end{enumerate} 
\item Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de $300$ barres de pâte d'amande dans la production et constate que $280$ barres de pâte d'amande sont conformes.
 
On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97\,\%.
 
On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près). 
		\item Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip
 
Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à $635$~milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à $100$~milligrammes par kilomètre.
 
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7\,\% par an.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001. 
		\item Un véhicule émettait $500$~milligrammes par kilomètre en 2002.
		 
Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
	\end{enumerate} 
\item Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 

Louise a amorcé l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}\\ 
\qquad $n$ : un nombre entier naturel \\
\qquad $p$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\ 
\qquad Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\qquad Affecter à $p$ la valeur $635$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\qquad Tant que \ldots\ldots\\ 
\qquad \qquad Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\qquad \qquad Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$\\
\qquad  Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\qquad Afficher \ldots\ldots\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ ». 
		\item Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes  l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. 

La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.1cm} 
\begin{pspicture}(-60,-4)(60,75)
\multido{\n=-50+10}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,75)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-55,\n)(55,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-60,-4)(60,75)
\uput[ur](0,60){S}\uput[dl](30,37.66){K}\uput[ur](30,0){H}\uput[d](-55,0){B}
\uput[d](55,0){A}\uput[d](65,0){$x$}\uput[r](0,75){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe(30,0)(27,3)\psframe(0,0)(-3,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{55.45}{80 2.71828 0.025 x mul exp 20 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-55.45}{0}{80 2.71828 0.025 x  mul neg exp 20 mul sub}
\psline(30,0)(30,37.66)
\end{pspicture}
\end{center}

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30~m. 
 
L'arc $\widearc{\text{SA}}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle [0~;~60], dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. 

Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] OS $= 60$ ; 
\item[$\bullet~~$] HK $ > 35$ ; 
\item[$\bullet~~$] la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~60] ; 
\item[$\bullet~~$] OA $ \leqslant  60$. 
\end{itemize}

\bigskip
 
\textbf{Partie A - Étude d'une fonction numérique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par 

\[f(x) = 80 - 20\text{e}^{0,025x}\]

 vérifie les trois premières conditions du cahier des charges. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. 

Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Calcul d'intégrale et application}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ est définie sur l'intervalle [0~;~60] par 
		
\[F(x) = 80x - 800\text{e}^{0,025x}.\]
 
Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~60]. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale 
 
\[J = \displaystyle\int_{0}^{55,5}	f(x)\:\text{d}x\]
 
		\item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
	\end{enumerate} 
\item On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en m$^2$. 
		\item La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de $68$ litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de $0,2$ mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}