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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie }}
\rfoot{\small{ 20 novembre 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Nouvelle Calédonie 20 novembre 2025}}

\vspace{0,25cm}

%\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\textsc{Exercice }1\hspace{5em} physique-chimie et mathématiques\hfill (4 points)}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Condition d'utilisation d'un médicament}
\end{center}

\medskip

Le $^{177}$Lu-PSMA est un médicament radiopharmaceutique indiqué dans le traitement
de certaines tumeurs. Il est composé de lutécium 177 ($^{177}$Lu) qui est un isotope
radioactif du lutécium et qui se désintègre par émission $\otherbeta^-$ en hafnium 177 ($^{177}$Hf).

Lors de la mise en œuvre de certains traitements, ce médicament se fixe sur des
récepteurs présents à la surface de la tumeur et émet des rayonnements qui vont
détruire les cellules malignes.

\begin{enumerate}
\item  Nommer les différents types de rayonnement radioactif.
\item Préciser la nature de la particule produite lors de la désintégration du
lutécium 177 en hafnium 177.
\item Définir l'activité d'une source radioactive.
\end{enumerate}
Le document \no1 décrit l'évolution au cours du temps de l'activité du lutécium présent
dans le médicament injecté au patient.

\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.0012cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.75,-3)(100,8300)
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+2}{46}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+1000}{9}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=gray](0,\n)(90,\n)\uput[l](0,\n){\small \np{\n}}}
\multido{\n=0+200}{41}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=0.55pt,Dx=10,Dy=10000]{->}(0,0)(90,8250)
\uput[dl](90,-400){\footnotesize temps écoulé $t$ (en jour)} 
\uput[ul]{90}(-10,4000){Activité(en MBq)}
\uput[dl](0,0){O}
\def\Func{2.71828 x 0.1 mul neg exp 7400 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.95pt,linecolor=blue]{0}{90}{\Func}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\hspace{10em}\framebox{\textbf{\footnotesize Document \no 1: activité du lutécium 177 après injection du médicament}}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer l’activité initiale de l'échantillon injecté au patient.
\item Rappeler la définition de la demi-vie d'une espèce radioactive.

\item Déterminer graphiquement, sur le \textbf{DOCUMENT RÉPONSE à rendre avec la
copie}, la de\-mi-vie du lutécium 177 en faisant apparaître les traits de construction.
\end{enumerate}

On admet que la fonction $A$ qui modélise l'évolution de l'activité radioactive (en MBq)
du lutécium 177 contenu dans une dose de ce médicament, en fonction du temps $t$,
exprimé en jour écoulé depuis l'injection, vérifie l'équation différentielle :

\[y' = -0,1y\]

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0 ;$ +\infty$[ et $y'$ sa dérivée.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Démontrer, en admettant que $A(0) = \np{7400}$, que, pour tout réel $t$ positif ou nul,
on a:
\end{enumerate}

\[A(t)=\np{7400}\e^{-0,1t}\]

L'activité radioactive du lutécium 177 est considérée comme négligeable et sans
risque pour l'environnement lorsqu'elle a perdu plus de 99,9\,\% de sa valeur initiale.
\begin{enumerate}[resume]
\item Montrer que l’activité du lutécium 177 contenu dans cette dose de médicament a
diminué de plus de 99,9\,\% au bout de 70 jours.
\end{enumerate}
Le fabricant du médicament indique dans une notice : \og Stocker dans un sac en
plastique tous les objets non lavables contenant des traces d'urine et placer le sac
dans une poubelle à l'écart. Le jeter aux ordures ménagères au bout de 70 jours\fg.

\begin{enumerate}[resume]
 \item Commenter, en utilisant le résultat de la question précédente, la préconisation du
fabricant.
\end{enumerate}


\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3\hfill (4 points)}

\textbf{\large Partie I}

Dans un repère orthogonal d'origine O, on considère les points A(0 ; 12), B(1 ; 12) et
C(1 ; 0). Dans la figure ci-dessous, deux courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ délimitent un domaine grisé
$\mathcal{D}_1$, un domaine hachuré $\mathcal{D}_2$, et un domaine D$\mathcal{ }_3$ non coloré, à l'intérieur du rectangle
OABC.

\begin{center}

\psset{xunit=9.2cm,yunit=0.4583,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.3,14)
\psline[linewidth=0.55pt](0,12)(1,12)\psline[linewidth=0.55pt](1,0)(1,12)

 \psaxes[linewidth=0.55pt,Dx=0.25,Dy=3]{-}(1.1,12.2)

 \def\Func{x 2 exp x 1 add mul 6 mul}
   \psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.95pt,linecolor=blue]{0}{1}{\Func}
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot{0}{1}{x 2  exp x 1 add mul 6 mul}, \psline(1,12)(1,0)}

\pscurve[linewidth=0.45pt,linecolor=blue](0,3)(0.25,4.5)(0.5,7.5)(0.75,12)
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchwidth=0.15pt]{\pscurve(0,3)(0.25,4.5)(0.5,7.5)(0.75,12)\psline(1,12)(0,12)}
\uput[d](0.3,9){$\mathcal{D}_2$} \uput[d](0.55,5.5){$\mathcal{D}_3$} \uput[u](0.79,2.5){$\mathcal{D}_1$}
\uput[r](0.01,2.9){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](0.88,11){$\mathcal{C}_2$}
\uput[u](0,12){A}\uput[ur](1,12){B}\uput[ur](1,0){C}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}


La courbe $\mathcal{C}_2$ est la représentation graphique de la fonction $f $définie sur l'intervalle [0;1] par:

\[f(x) = 6x^3 + 6x^2\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer l'intégrale $\int_0^1f(x)\mathrm{d}x$
\end{enumerate}

On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0 ; 1]. 
\begin{enumerate}[resume]
\item Interpréter le résultat du calcul précédent dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

L'aire du domaine $\mathcal{D}_2$ hachuré a été calculée (en unité d’aire) à l'aide d'un logiciel et vaut $\dfrac{135}{32}$
\begin{enumerate}[resume]
\item  Estimer l'aire en unité d’aire du domaine $\mathcal{D}_3$.
\end{enumerate} 
\medskip

\textbf{\large Partie II}

\medskip

On considère les nombres complexes $z_1 = 1-\i\sqrt{3}$ et $z_2= 4\e^{\i\frac{\pi}{6}}$ où $\i$ désigne le nombre
complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Écrire le nombre $z_1$ sous forme exponentielle. Détailler les calculs.

\item Démontrer que le nombre $Z = z_1^2 \times  z_2$, est un nombre imaginaire pur en détaillant les calculs.
\end{enumerate}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE, à rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

Réponse à la question \textbf{6.} de l'exercice \no 1.


\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.0012cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-0.75,-3)(100,8300)
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+2}{46}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8000)}
\multido{\n=0+1000}{9}{\psline[linewidth=0.55pt,linecolor=gray](0,\n)(90,\n)\uput[l](0,\n){\small \np{\n}}}
\multido{\n=0+200}{41}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(90,\n)}
\psaxes[linewidth=0.55pt,Dx=10,Dy=10000]{->}(0,0)(90,8250)
\uput[dl](90,-400){\footnotesize temps écoulé $t$ (en jour)} 
\uput[ul]{90}(-10,4000){Activité(en MBq)}
\uput[dl](0,0){O}
\def\Func{2.71828 x 0.1 mul neg exp 7400 mul}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=0.95pt,linecolor=blue]{0}{90}{\Func}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}
