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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Nouvelle-Calédonie 9 septembre 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill  2 points}

\medskip

\textbf{Montée en température du moteur}

\medskip

\emph{La température du moteur (exprimée en $\degres$C) est modélisée par une fonction $\theta$ dépendant du temps (exprimé en secondes) écoulé depuis le démarrage du moteur. \\
On admet que la fonction $\theta$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle suivante :}

\[y' = - \dfrac{1}{180}y + \dfrac49.\]
\begin{enumerate}[start=7]
\item Déterminer les solutions sur $[0~;~+\infty[$ de cette équation différentielle.

À $t = 0$, la température du moteur est de $20\degres$ C.
\item Montrer alors que la fonction $\theta$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par: 

\[\theta (t) = 80 - 60\e^{-\frac{1}{180}t}.\]

\item Résoudre sur $[0~;~+\infty[$ l'équation $\theta(t) = 79$.

\medskip

\emph{Le changement de carburant ne doit pas modifier la montée en température du moteur. La température optimale de fonctionnement du moteur est de $79\degres$ C.\\
Cette température doit être atteinte en moins de vingt minutes.}
\item Indiquer si cette condition est respectée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soient $z_1$ et $z_2$ les nombres complexes définis par :
\begin{center}$z_1 = \sqrt 2 + \text{i}\sqrt 2$ \quad et  \quad $z_2 = \e^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire $z_1$ sous forme exponentielle, en détaillant les calculs.
\item Montrer que $2z_2^3 = z_1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par 
\[f(x) = (10x - 4)\e^{-x}.\]

On nomme $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ donnée dans le repère ci- dessous.

La droite $T_1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1 et on admet que la dérivée de $f$ est définie pour tout réel $x$ par 
\[f'(x) = (-10x + 14)\e^{-x}.\]

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.95)(8,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,labelFontSize=\scripstyle]{-3}{8.5}{10 x mul 4 sub 2.71828 x  exp div}
\psplotTangent{1.}{4}{10 x mul 4 sub 2.71828 x  exp div}
\uput[ul](1,2.2){\small A}\uput[ul](1.6,3.2){\small $T_1$}
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[r](0,3.9){$y$}\uput[r](3,1.3){\red $\mathcal{C}_f$}
\psdots(1,2.2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A.
\item Calculer $f'(1)$.

Interpréter graphiquement cette valeur.
\item La courbe représentative de la fonction $f$ suggère l'existence d'un maximum
sur l'intervalle [1~;~2].

Quelle est la valeur exacte de ce maximum ?
\end{enumerate}
\end{document}