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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 11 juin 2015~\decofourright\\STI2D--STL spécialité SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un Q. C. M.  Pour chacune des questions posées, une seule des
quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence
de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
Dans cet exercice, on note $\R$ l'ensemble des nombres réels.\\
Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et la seule
réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,~A,~B).

L'ensemble $E$ des images des nombres complexes $z$ vérifiant la relation $|z| = 1$ est
représenté en gras par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.} 						&\textbf{b.}\\
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt](1,-1.5)(1,3.5) \uput[r](1,1.5){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B}
\end{pspicture*}					&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(4.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-1.5,-1.5)(4.5,3.2)
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(4.5,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt](-1.5,1)(4.5,1)
 \uput[u](1.5,1){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B} 
\end{pspicture*}\\ \hline
\textbf{c.} &\textbf{d.}\\ \hline
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psaxes{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\pscircle[linewidth=1.5pt](0,0){1} \uput[ur](0.7,0.7){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B} 
\end{pspicture*}						&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psaxes{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\pscircle[linewidth=1.5pt](1,0){1} \uput[ur](1.7,0.7){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B} 
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Considérons les deux nombres complexes 

\[z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad  \text{et} \quad  z_2 = - \sqrt{3} + \text{i}\]

où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$&\textbf{b.~~}$\left(1 + \sqrt{3}\right)(- 1 + \text{i})$\\ \hline
\textbf{c.~~}$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$&\textbf{d.~~}$1 - \sqrt{3} + 2\text{i}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item~

 \parbox{0.45\linewidth}{Voici la représentation graphique d'une
fonction $f$.

Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :
\begin{itemize}
\item deux asymptotes horizontales d'équations respectives
$y = -1$ et $y = 0$ ;
\item deux asymptotes verticales d'équations respectives
$x = 0$ et $x = 2$.
\end{itemize}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture*}(-6,-6)(8,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-5.95)(8,7)
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{-0.1}{3 x 2 mul sub 2 x sub x mul div}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{0.9}{3 x 2 mul sub 2 x sub x mul div}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.1}{8}{3 x 2 mul sub 2 x sub x mul div}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{-0.1}{1 x  div }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.99}{1 2 x  sub  x mul div}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.1}{8}{1 2 x  sub  div 1 sub}
\psline[linestyle=dashed](2,-6)(2,7)
\psline[linestyle=dashed](-6,-1)(8,-1)
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[d](7.8,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,6.8){\scriptsize $y$}
\end{pspicture*}
}

\medskip

Choisissez la bonne égalité :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + 0^{-}} f(x) = - \infty$\\ \hline
\textbf{c.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + 2^{+}} f(x) = + \infty$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 5$, où $y$ désigne une fonction de la
variable réelle $x$ dérivable sur $\R$ et de dérivée notée $y'$. Une solution de cette
équation est :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}$&\textbf{b.~~}$x \longmapsto \text{e}^{- 2x} - 5$\\ \hline
\textbf{c.~~}$x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{2x} - 5}{2}$&\textbf{d.~~}$x \longmapsto \text{e}^{2x} + 2,5$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique
dans les habitations, \ldots) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers.

À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5\,\%
par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de
920 millions d'euros dans les services énergétiques.

\begin{center}\textbf{Les résultats seront arrondis au million d'euros près}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les
services énergétiques pour l'année 2015.

On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre.

Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur
ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.

\medskip

\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.

En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
\item Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
		\item Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ?
		
		On donnera le résultat sous la forme $p\,\%$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item  On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur
ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'algorithme ci-dessous.
Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|rX|}\hline
1&\textbf{Variables}\\
2&\hspace{0.6cm} N: un nombre entier naturel\\
3&\hspace{0.6cm}  C : un nombre réel\\
4&\textbf{Initialisation}\\
5&\hspace{0.6cm}  Affecter à $N$ la valeur $0$\\
6&\hspace{0.6cm}  Affecter à $C$ la valeur $920$\\
7&\textbf{Traitement}\\
8&\hspace{0.6cm}  Tant que \ldots \\
9&\hspace{1cm}  Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
10&\hspace{1cm} Affecter à $C$ la valeur $C * 1,05$\\
11&\hspace{0.6cm} Fin Tant que\\
12&\textbf{Sortie}\\
13&\hspace{0.6cm} Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

		\item En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de
laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services
énergétiques dépassera les \np{1840}~millions d'euros.
		\item Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par
le calcul.
	\end{enumerate}
\item  Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle
de 10\,\% du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer
l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Un pont à une seule arche d'une longueur de 16~m enjambe une route à double
circulation.

La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité
représente 1 mètre).

La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5~m au-dessus de la route.

\textbf{La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée
sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes
et des véhicules motorisés.}

\begin{center}
\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-2)(8.5,5.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 x 0.2 neg mul exp add 0.5 mul sub}
\uput[u](1,0){A}\uput[r](0,1){B}
\psline{<->}(-8,-1.2)(-5.5,-1.2)\psline{<->}(-5.5,-1.2)(-3.8,-1.2)
\psline{<->}(-3.8,-1.2)(0,-1.2)
\psline{<->}(0,-1.2)(4,-1.2)
\psline{<->}(4,-1.2)(5.5,-1.2)
\psline{<->}(5.5,-1.2)(8,-1.2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(-8,5)(8,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{8}{-8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 x 0.2 neg mul exp add 0.5 mul sub}}
\uput[dl](5.5,3.3){$(\mathcal{C})$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](-6.75,-1.2){\scriptsize Zone piétons} \uput[d](-4.75,-1.2){\scriptsize Piste cyclable} \uput[d](-2,-1.2){\scriptsize Véhicules motorisés} 
\uput[d](2,-1.2){\scriptsize Véhicules motorisés} \uput[d](4.75,-1.2){\scriptsize Piste cyclable} \uput[d](6.75,-1.2){\scriptsize Zone piétons}
\uput[d](8.3,0){$x$} \uput[l](0,5.3){$y$}
\psline[linestyle=dashed](-8,0)(-8,2.5)
\psline[linestyle=dashed](-5.5,0)(-5.5,3.36)
\psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,3.36)
\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,2.5)
\psline(-8,2.5)(-8,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8.5,-1.5)(8.5,5.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
  

\textbf{A-- Étude de la fonction représentée par la courbe}\boldmath $(\mathcal{C})$\unboldmath

\medskip

Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par

\[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad  \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé
(O,~A,~B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$.
En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ :

\[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]

\item En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50~cm,
quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour
qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$.
\item Montrer que la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $x$ de
l'intervalle $[-8~;~8]$, par $f'(x) = 0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-8~;~8]$. En déduire le tableau de variation de $f$
sur $[-8~;~8]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B-- Calculs d'aires}

\medskip

La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x})\:\text{d}x$.
\item Vérifier que l'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$.
\item On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la
surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près.
\item La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5~litres.

Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre,
combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette
construction ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes
pour le marché de la grande distribution.

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1~kg.

La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi
normale de moyenne $m = \np{1000}$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant \np{1005})$.
		\item Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes.
		
Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit
refusé ?		
	\end{enumerate}

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet
conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$.
		
On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
		
\medskip
		
\item  On prélève au hasard 100~paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment
important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec
remise.
		
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet
échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.
		\item Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$~paquets soient
refusés ?
		\item Calculer la probabilité que, parmi ces $100$~paquets, 5 ou plus soient refusés.
	\end{enumerate}
\item  On contrôle la masse d'un échantillon de $100$~paquets de sucre dans le stock global
de l'entreprise. Après contrôle, $10$~paquets sont refusés.
		
\textbf{Rappel :} \emph{Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de
fluctuation asymptotique à $95\,\%$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de
taille $n$ est :}
		
\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
		
L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{document}