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%Tapuscrit : Denis Vergès
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%%% https://www.sujetdebac.fr/annales-pdf/2022/sti2d-spe-physique-chimie-mathematiques-2022-mayotte-liban-sujet-officiel.pdf

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 mars 2023}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Centres étrangers 13 mars 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 commun à tous les candidats (2 points)
}
\end{center}

La fonction $\theta$, représentée ci-dessous, modélise l'évolution de la température du four (exprimée en degré Celsius) en fonction du temps t (exprimé en minute) écoulé depuis la fin de la pyrolyse. L'instant initial $t = 0$ correspond au début de la phase de refroidissement.

\begin{center}
\psset{unit=0.015cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-80,-20)(660,600)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=60,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(660,600)
\multido{\n=0+12}{56}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,600)}
\multido{\n=0+20}{31}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(660,\n)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{660}{480 2.71828 x 95 div neg exp mul 20 add}
\uput[d](560,-30){Temps (en min)}
\rput{90}(-70,400){Température (en $\degres C$}
\end{pspicture}

\bigskip

\emph{Figure $1$ : évolution de la température en fonction du temps
lors de la phase de refroidissement}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t)$.
\item Interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

La fonction $\theta$ utilisée pour cette modélisation est définie sur $[~0~; +\infty[$ par: 
\[\theta(t) = 480\e^{-\frac{1}{95}t} + 20.\]

\item Calculer la valeur exacte de la solution de l'équation $\theta(t) = 280$.
Pour des raisons de sécurité, le fabricant impose que la porte du four reste verrouillée tant que la température du four est supérieure à $280\degres C$.
\item Au bout de combien de temps la porte se déverrouille-t-elle ?

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill4 points}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

 

Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ par 
\[f(x) = x\e^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$, \: $f'(x) = \e^{-x}(1 -
x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item En déduire le tableau complet des variations de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère les nombres complexes $z_1 = 6\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_2 = - \sqrt 3 + \text{i}$, où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $z_2$ sous forme exponentielle. 

Détailler les calculs.
\item En déduire une écriture du nombre complexe $Z = \dfrac{z_1}{z_2^3}$ sous forme
exponentielle.
\end{enumerate}
\end{document}