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% Tapuscrit Denis Vergès
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\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 19 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STI2D et STL/SPCL - Polynésie 19 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{
Température extérieure T 

En plein hiver, en Europe, une maison est chauffée à 20 oC. 

La température extérieure est notée T . 

Dans tout l'exercice, on suppose que T < 20 . 

Température intérieure initiale 20 oC 

Lorsque le chauffage est coupé, la température intérieure diminue par perte de chaleur. }\hfill\parbox{0.57\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.3,0.8)(5.7,0.8)(5.7,3.1)(3.5,5.2)(1.3,3.1)
\pspolygon*(1.5,1)(5.5,1)(5.5,3)(3.5,5)(1.5,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.7,1.2)(5.3,1.2)(5.3,2.9)(3.5,4.7)(1.7,2.9)
\pscurve{->}(2.8,3.5)(1.8,3.7)(1.9,4)(1.7,4.5)
\pscurve{->}(3.7,3.5)(4,3.7)(3.9,4)(4.5,4.5)
\pscurve{->}(3.5,1.5)(4,1.3)(3.7,1)(3.5,0.5)
\rput(3.5,3.25){Température}\rput(3.5,2.75){intérieure}\rput(3.5,2.25){initiale 20~\degres C}
\rput(5.7,4.5){Température}\rput(6,4){extérieure $T$}
\end{pspicture}}

On modélise cette situation par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ désigne la température intérieure de la maison $n$ heures après la coupure du chauffage. 

Pour une maison en maçonnerie traditionnelle et une température extérieure $T$ constante, on admet que, pour tout entier naturel $n$ : 

\[u_{n+1} = 0,99 u_n + \dfrac{T}{100}\quad \text{et} \quad u_0 = 20.\] 

Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

On suppose que la température extérieure $T$ est égale à 0~\degres C. On a donc $T = 0$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$. 
\item  Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 
\item  Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Justifier. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n < 5$. 
		\item En déduire le nombre de jours à partir duquel la température intérieure est descendue en dessous de 5~\degres C. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

On suppose que la température extérieure $T$ est égale à $-15$~\degres C. On a donc $T = - 15$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par: 

\[u_{n+1} = 0,99 u_n - 0,15 \quad  \text{et }\: u_0 = 20.\] 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les termes $u_1$ et $u_2$. 
		\item Dans ce cas, la suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ? Justifier la réponse. 
	\end{enumerate}
\item ~

\parbox{0.73\linewidth}{On souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, le nombre d'heures à partir duquel la température intérieure devient strictement inférieure à $5$~\degres C. On utilise pour cela l'algorithme incomplet ci-contre dans lequel $U$ désigne un nombre réel et $N$ un nombre entier naturel. }\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$U \gets 20$\\
$N \gets 0$\\ 
Tant que \ldots\\
\hspace{0.4cm} $U \gets \ldots$\\
\hspace{0.4cm} $N \gets \ldots$\\
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabularx}}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme. 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre d'heures recherché. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. }

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~4[ par: 

\[f(x) = 10x + \ln( 4 - x) - \ln 4.\] 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f(0)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 4}f(x)$. 
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote dont on précisera une équation. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~4[. 

Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~4[, on a: $f'(x) = \dfrac{39 - 10x}{4 - x}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout x appartenant à l'intervalle [0~;~4[. 
		\item Justifier que la fonction $f$ atteint un maximum en 3,9. 

Donner une valeur approchée au dixième de ce maximum. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un constructeur de voitures électriques affirme que ses modèles peuvent atteindre la vitesse de $100$~km.h$^{-1}$ en moins de $3$ secondes. Pour vérifier cette affirmation, des journalistes ont testé une de ces voitures en réalisant l'essai suivant : 

\begin{itemize}
\item dans un premier temps, augmentation de la vitesse de 0 à $35,3$ m.s$^{-1}$ (soit environ $127$ km.h$^{-1}$) en $3,9$~s ; 
\item dans un deuxième temps, stabilisation de la vitesse à $35,3$~m.s$^{-1}$. 
\end{itemize}

L'évolution de la vitesse en fonction du temps est représentée par le graphique ci-dessous: 

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(4.5,36)
\multido{\n=0.0+0.1}{46}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,36)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,36)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10](0,0)(0,0)(3.5,36)
\psline[linewidth=1.25pt](3.5,0)(4.5,0)
\psline[linestyle=dashed](0,35.3)(4,35.3)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(3.9,35.3)(4.5,35.3)
\uput[d](4.1,-1.75){Temps $t$ (en s)}\uput[r](0,37){Vitesse $\left(\text{en m.s}^{-1}\right)$}
\uput[l](0,35.3){35,3}\uput[d](3.9,0){3,9}
\end{pspicture}
\end{center}

Durant la phase d'accélération, la vitesse de la voiture est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie A et définie par : 

\[f(t) = 10t + \ln(4 - t) - \ln 4 \quad \text{avec }\:t \in [0~;~3,9]\] 

où $t$ est exprimé en seconde et $f(t)$ est exprimée en m.s$^{-1}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(3)$. 
		\item L'affirmation du constructeur est-elle vérifiée ? 
	\end{enumerate}
\item La distance $D$, exprimée en mètre, parcourue durant la phase d'accélération est donnée par la formule : $D = \displaystyle\int_0^{3,9} f(t)\: \text{d}t$. 
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie sur [0~;~3,9] par: 

\[F(t) = 5 t^2 - t + (t - 4) [\ln ( 4 - t) - \ln 4].\] 

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de $f$. 
		\item Calculer la distance $D$ arrondie au dixième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Les résistances et les condensateurs sont des composants électroniques utilisés dans le domaine du son pour concevoir des filtres. 

Placé en sortie d'un microphone, un filtre atténue plus ou moins les sons selon leur fréquence $f$, exprimée en Hertz (Hz).}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(11,2)
%\psgrid
\psframe(2.2,1)
\psline{->}(2.2,0.5)(3,0.5)
\psframe(3,0)(5.2,1)
\psline{->}(5.2,0.5)(6,0.5)
\psframe(6,0)(8.2,1)
\psline{->}(8.2,0.5)(9,0.5)
\psframe(9,0)(11.3,1)
\rput(1.1,0.5){micro}\rput(4.1,0.5){filtre}
\rput(7.1,0.5){ampli}\rput(10.15,0.5){enceinte}
\end{pspicture}}

Pour un filtre donné, l'atténuation d'un son se calcule à l'aide de deux nombres complexes $z_R$. 

\smallskip

Dans tout l'exercice, on suppose que $z_R = 10$ et $z_C = - \dfrac{\np{1000}\sqrt{3}}{f}\text{i}$ , où i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.. 

\smallskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées de manière indépendante}.

\bigskip

 \textbf{Partie A : Effet du filtre sur un son grave}
 
 \medskip 

On choisit un son grave de fréquence $f = 100$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $z_C = - 10\sqrt{3} \text{i}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_C$. 
		\item On considère le nombre complexe $Z = z_R + z_C$. On a donc $Z = 10 - 10\sqrt{3} \text{i}$. 

Déterminer la forme exponentielle de $Z$. 
		\item On considère le nombre complexe $z_G$ défini par : $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$. 

Montrer que $z_G = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$. 
		\item Le module du nombre complexe $z_G$ est appelé gain du filtre. 

Donner la valeur exacte du gain du filtre puis une valeur approchée au centième.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

 \textbf{Partie B : Effet du filtre sur un son aigu }
 
 \medskip 

On choisit un son aigu de fréquence $f = \np{1000}\sqrt{3}$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le nombre complexe $z_G$ défini par $z_G = \dfrac{z_C}{z_R + z_C}$ est égal à  $\dfrac{- \text{i}}{10 - \text{i}}$.
\item Déterminer la forme algébrique de $z_G$ . 
\item Calculer la valeur exacte du gain du filtre $\left|z_G\right|$  et en donner une valeur approchée au centième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est composé de quatre affirmations indépendantes. Pour chacune d'entre elles, préciser si elle est juste ou fausse. Les réponses doivent être justifiées. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} 
\medskip

Une nouvelle gamme de téléphones portables est à l'étude.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement, exprimée en jour, du processeur de ce téléphone portable est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle dont l'espérance est égale à \np{10000}~jours. La durée de garantie légale du téléphone portable est de $2$ ans, soit $730$~jours. 

\smallskip

\textbf{AFFIRMATION 1} : La probabilité que le processeur s'arrête de fonctionner durant la période de garantie est égale à $\text{e}^{-0.073}$. 

\item  Pour anticiper la charge de travail du service après-vente, des tests ont été effectués en vue d'estimer le temps de réparation d'un téléphone sous garantie. Ce temps, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 7$. 

\smallskip

\textbf{AFFIRMATION 2} : La probabilité, arrondie au millième, que le temps de réparation T soit inférieur à 1 heure est $0,923$. 
\item  Une amélioration technique a été apportée. Désormais, la probabilité qu'un téléphone soit réparable en moins d'une heure est estimée à $p = 0,97$. Un atelier du service après-vente prévoit de réparer $200$ téléphones portables. On s'intéresse aux échantillons constitués, aléatoirement, de $200$ téléphones portables à réparer. 

\smallskip

\textbf{AFFIRMATION 3} : Pour de tels échantillons, en arrondissant les bornes au millième, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de téléphones réparables en moins d'une heure est [0,946~;~ 0,994]. 

\item Un fabricant de processeurs pour téléphone portable certifie que, dans son stock, la probabilité qu'un processeur neuf soit défectueux est $p = \np{0,0001}$. 

On désigne par $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de processeurs défectueux dans un lot de $200$ prélevés au hasard. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = \np{0,0001}$. 

\smallskip

\textbf{AFFIRMATION 4}: La probabilité, arrondie au millième, qu'il n'y ait aucun processeur défectueux dans un lot de $200$ processeurs est égale à $0,980$. 
\end{enumerate}
\end{document}