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% Tapuscrit : Denis Vergès
%relu par Arié Yallouz  
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynésie 9 juin 2016 STI2D--STL spécialité SPCL~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  3 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. Une bonne réponse rapporte $1$ point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la
question et la seule réponse choisie.}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, \rm{i}} \emph{désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$}.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item L'écriture exponentielle du nombre complexe $z = \dfrac{-3\text{i}}{1 + \text{i}}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $z =  \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{4}}$&\textbf{b.~~} $z = - \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$&\textbf{c.~~} $z =\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$
&\textbf{d.~~} $z =  \frac{3\sqrt{2}}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $t$ positif par : $f(t) = 8\text{e}^{-0,12t}  + 11$.

La valeur moyenne de $f$ arrondie à $10^{-1}$ sur l'intervalle [0~;~24] est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}15,2 &\textbf{b.~~}13,6 &\textbf{c.~~}16,7 &\textbf{d.~~} 11,2
\end{tabularx}
\medskip

\item On donne dans un repère orthonormé les points : A(0~;~2) ; B(1~;~3) ; C$(-2~;~1)$
et D$(-1~;~0)$. Le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot  \vect{\text{CD}}$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\vect{\text{AB}} \cdot  \vect{\text{CD}} = 0$& \textbf{b.~~} 
$\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{CD}} = \vect{0}$&\textbf{c.~~} 
$\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{CD}}  = - 2$ &\textbf{d.~~} \small $\vect{\text{AB}}~\cdot~\vect{\text{CD}} = \vect{\text{AD}}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip

L'énergie photovoltaïque voit son coût baisser de façon importante depuis plusieurs
années, ce qui engendre une croissance forte de ce secteur. L'évolution de la
puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde entre fin 2004 et fin
2015 est résumée dans le graphique ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.045cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(14,260)
\psaxes[linewidth=1pt,Ox=2003,Dy=20](0,0)(0,0)(12,240)
\uput[d](13.2,-2){années}\uput[r](-1.5,245){Gigawatts (GW)}
\rput(6.5,255){Puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde}
\psline[linewidth=2.5pt](1,0)(1,3.7)\uput[u](1,3.7){3,7}
\psline[linewidth=2.5pt](2,0)(2,5.1)\uput[u](2,5.1){5,1}
\psline[linewidth=2.5pt](3,0)(3,7)\uput[u](3,7){7}
\psline[linewidth=2.5pt](4,0)(4,9)\uput[u](4,9){9}
\psline[linewidth=2.5pt](5,0)(5,16)\uput[u](5,16){16}
\psline[linewidth=2.5pt](6,0)(6,23)\uput[u](6,23){23}
\psline[linewidth=2.5pt](7,0)(7,40)\uput[u](7,40){40}
\psline[linewidth=2.5pt](8,0)(8,70)\uput[u](8,70){70}
\psline[linewidth=2.5pt](9,0)(9,100)\uput[u](9,100){100}
\psline[linewidth=2.5pt](10,0)(10,139)\uput[u](10,139){139}
\psline[linewidth=2.5pt](11,0)(11,180)\uput[u](11,180){180}
\psline[linewidth=2.5pt](12,0)(12,233)\uput[u](12,233){233}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les pourcentages d'augmentation annuels entre 2013 et 2014 ainsi qu'entre 2014 et 2015 $\left(\text{arrondir à } 10^{-1}\right)$.
\item On se propose d'estimer la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dans les 15 ans à venir, si le taux de croissance annuel reste constant et
égal à 30\,\%.

On note $P_n$ la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde, en GW,
à la fin de l'année $2015 + n$. On a ainsi $P_0 = 233$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_1$ puis $P_2$ $\left(\text{arrondir à } 10^{-1}\right)$.
		\item Exprimer $P_{n+1}$ en fonction de $P_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(P_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
		\item Exprimer $P_n$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la puissance solaire photovoltaïque, en GW, installée dans le monde
fin 2025 (arrondir à l'unité).
		\item Quel est le pourcentage global d'augmentation de cette puissance solaire
mondiale entre 2015 et 2025 (arrondir à l'unité) ?
	\end{enumerate}
\item On veut déterminer l'année durant laquelle la puissance solaire photovoltaïque
installée dans le monde atteindrait \np{16000}~GW. Pour atteindre cette puissance,
les panneaux photovoltaïques occuperaient au sol l'équivalent d'un carré de 400 km de côté et suffiraient pour produire toute l'électricité consommée dans le
monde (consommation domestique, industrielle et des transports).
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'algorithme ci-dessous.
		
Recopier et compléter les lignes 3 et 7 afin que cet algorithme réponde à la
question posée.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l X|}\hline
1/& Affecter à $N$ la valeur $0$\\
2/& Affecter à $P$ la valeur 233\\
3/& Tant que \ldots\\
4/& Affecter à $N$ la valeur $N +1$\\
5/& Affecter à $P$ la valeur $P \times 1,30$\\
6/& Fin Tant que\\
7/& Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année durant laquelle
la puissance solaire photovoltaïque installée dans le monde dépasserait
\np{16000}~GW.
		\item Proposer une autre méthode, directe et non algorithmique, pour répondre à la
question précédente en détaillant la démarche utilisée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip

Deux amis ont monté un atelier associatif pour réparer des vélos. Le but de cette
association est que chaque adhérent puisse venir réparer son vélo dans cet atelier
avec l'aide d'un spécialiste. Le matériel et les outils sont fournis.

\begin{center}\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière
indépendante}
\end{center}

\textbf{Partie A : les roulements à billes}

\medskip

Nos deux amis commandent régulièrement des lots de $60$ roulements à billes pour
les vélos. Ils ont constaté que, lors de leur dernière livraison, sur le lot des $60$
roulements à billes, $3$ étaient défectueux. Ils s'inquiètent donc de la fiabilité du
fabricant. Le contrat précise que seulement 4\,\% des pièces sont défectueuses.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la fréquence des pièces défectueuses dans le dernier lot.

On considère que les pièces constituant ce lot forment un échantillon prélevé de
façon aléatoire dans un stock dans lequel 4\,\% des pièces sont défectueuses.
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des
roulements à billes non conformes dans un échantillon de $60$ roulements. Les
valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$.

\smallskip

\emph{On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% sur un échantillon
de taille $n$, avec $p$ la proportion de pièces défectueuses sur la population, est :}

\[\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

\item Nos amis ont-ils raison de s'inquiéter ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : les billes}

\medskip

Nos amis se demandent s'ils ne devraient pas plutôt commander des billes pour
réparer les roulements évoqués dans la partie A.

Ils commandent une grande quantité de billes de 6~mm de diamètre.

Malheureusement, certaines présentent un défaut de diamètre. Ils s'aperçoivent
qu'ils ne peuvent utiliser que les billes mesurant entre $5,9$~mm et $6,1$~mm.

Sur la note du fabricant est indiqué que la variable aléatoire $D$ qui, à chaque bille, lui
associe son diamètre, suit la loi normale d'espérance $\mu = 6$ mm et d'écart-type
$\sigma = 0,05$~mm.

\textbf{Question :} Calculer la probabilité $P(5,9 \leqslant D \leqslant 6,1)$. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.

\bigskip

\textbf{Partie C : les chaînes de vélo}

\medskip

Un tableau est mis à disposition pour permettre aux utilisateurs de savoir quand ils
doivent changer leur chaîne de vélo. Par exemple, pour une personne utilisant son
vélo en ville $\left(\text{vitesse moyenne }\right.$\\ $\left. 16~ \text{km.h}^{-1}\right)$ environ 2 heures par jour, la durée de vie moyenne de la chaîne est de 625~jours.

On admet que la durée de vie en jour, d'une chaîne de vélo pour un tel utilisateur est
une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que
la probabilité que $X$ soit inférieure ou égale à $t$ (exprimé en jour) vaut : 
$P(X \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $\lambda = \np{0,0016}$.
\item Le graphique en ANNEXE 1 représente la fonction de densité de la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0016}$ $\left(\text{exprimé en jour}^{-1}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter sur ce graphique la probabilité que $X$ soit comprise entre 350
jours et 700 jours.
		\item Calculer la probabilité que $X$ soit comprise entre $350$ jours et $700$ jours.
Arrondir le résultat à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que $X$ soit de moins de $550$ jours. Arrondir à $10^{-3}$.
\item Déterminer la valeur de $x$ pour que $P(X < x) = 0,8$. Le résultat sera arrondi à
l'unité. Interpréter ce résultat en le restituant dans le contexte.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Lecture graphique}

\medskip

On considère la courbe $C$ associée à une fonction $f$ représentée en \textbf{ANNEXE 2} avec
la droite T, tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement sur l'intervalle $[- 1~;~1,5]$ et avec la précision permise
par le dessin les deux inéquations suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) \geqslant 1$
		\item $f'(x) \geqslant 0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la tangente T à la courbe $C$ au point de
coordonnées (0~;~1) en sachant que cette tangente passe par le point de
coordonnées (2~;~7).
		\item En déduire le nombre dérivé $f'(0)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par la relation $f(x) =  \text{e}^{-2x} + 5x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en la justifiant, la limite de $f$ en $+ \infty$.

On admet pour la suite que la limite de $f$ en $- \infty$ est $+ \infty$.
\item Calculer $f'(x)$ et étudier son signe sur $\R$.
\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$ sur $\R$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de
l'équation $f(x) = 2$.
		\item Donner une valeur arrondie à $10^{-2}$ près de chaque solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. : Calcul d'aire}

\medskip

On admet :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] que la courbe $C$ de la partie A est la représentation de la fonction $f$ définie
dans la partie B ;
\item[$\bullet~~$] que la courbe $C$ se situe \og au-dessus \fg{} de la droite tangente T sur $\R$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

L'objectif de cette partie est de déterminer par un calcul l'aire $\mathcal{A}$ comprise entre la
courbe $C$, la droite T et les droites verticales d'équations $x = 0$ et $x = 1,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Hachurer sur le dessin, en ANNEXE 2, l'aire $\mathcal{A}$ que l'on veut déterminer.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
		
\[\text{pour tout réel }\:x,\: g(x) = \text{e}^{-2x} + 2x - 1.\]
		
		\item Justifier que l'aire $\mathcal{A}$ recherchée vaut, en unité d'aire :
		\[\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{1,5} g(x)\:\text{d}x.\]
		
		\item En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{- 2}$ de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1}

\textbf{à rendre avec la copie}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice \no 3}

\medskip

\textbf{Partie C : les chaînes de vélo}

\end{flushleft}

\psset{xunit=0.013cm,yunit=80cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-75,-0.002)(825,0.22)
\multido{\n=0+25}{34}
{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.21)}
\multido{\n=0.00+0.01}{22}
{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(825,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=0.2,labels=x](0,0)(0,0)(825,0.21)
\multido{\n=0.00+.02,\na=0.0000+0.0002}{11}
        {\uput[l](0,\n){\np{\na}}}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{825}{0.0016 2.71828 0.0016 x mul exp div 100 mul}
\uput[u](815,0){$t$} \uput[l](0,0.21){$y$}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{\large ANNEXE 2}

\medskip

\textbf{à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice \no 4}

\medskip

\textbf{Parties A et C}
\end{flushleft}
\bigskip

\psset{xunit=2.66cm,yunit=1.33cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-2,-0.5)(2.5,8.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\multido{\n=-1.75+0.50}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,8.5)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2,-0.25)(2.5,8.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{2}{5 x mul 1 2.71828 x 2 mul  exp div  add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{2.5}{3 x mul 1 add} 
\uput[r](2.25,7.7){T}
\uput[u](2.6,0){$x$}
\uput[l](0,8.35){$y$}
\uput[l](-1,2.25){\blue $C$}
\end{pspicture*}

\end{center}
\end{document}