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% Tapuscrit François Hache & Arié Yallouz
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Polynésie},
pdftitle = {21 juin 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 21 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  STI2D et STL/SPCL - Polynésie 21 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est composé de deux parties \textbf{indépendantes}.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$.

\parbox{0.3\linewidth}
{
\begin{enumerate}
\item $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
\item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$
\item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
\item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
\end{enumerate}
}
\parbox{0.7\linewidth}
{\begin{flushright}
\scalebox{0.8}
{% début du scalebox
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-4.6}   \def\xmax {4.8}
\def\ymin {-4.8}   \def\ymax {5.6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0,gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{1 x 1 sub div 4 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{\xmin}{0.99}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{1.01}{\xmax}{\f}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](1,\ymin)(1,\ymax)
\uput[u](3.5,0.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
\end{flushright}
}% fin du parbox


\item Une solution $g$ de l'équation différentielle $y''+9y=0$ vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\R$ par:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g(t)= \cos\left (9t\right ) + \sin \left (9t\right )$
\item $g(t)= 4\,\cos \left (3t\right ) - 3$
\item $g(t)=  \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$
\item $g(t)=  2\, \cos\left (3t\right ) - \sin \left (3t\right )$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item L'équation $\ln\left (x-2\right ) = -2$ admet pour solution dans $\R$:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $0$
\item $2+\e^{-2}$
\item $2,14$
\item $2-\e^{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item La dérivée de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x\e^{-2x}$ est la fonction $h'$ définie sur $\R$ par:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $h'(x)=\e^{-2x}$
\item $h'(x)=-2\e^{-2x}$
\item $h'(x)=-2x\e^{-2x}$
\item $h'(x)=\left (1-2x\right )\e^{-2x}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

On note $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives $z_{\mathrm A}$, $z_{\mathrm B}$ et $z_{\mathrm C}$:

\[z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \i \sqrt{2}}{\i} \hspace{2cm} z_{\mathrm B} = 2 \e^{\i \frac{\pi}{3}} \hspace{2cm} z_{\mathrm C} = -2\i \e^{-\i\frac{\pi}{6}}\]

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.\\
Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Affirmation 1:} La forma algébrique de $z_{\mathrm{A}}$ est $\sqrt{2}- \i\sqrt{2}$.
\item \textbf{Affirmation 2:} Un argument de $z_{\mathrm{C}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.
\item \textbf{Affirmation 3:} Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.
\item \textbf{Affirmation 4:} O est le milieu du segment [BC]. 
\end{list}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

\medskip


\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Dans cette partie on s'intéresse à l'évolution, depuis 2010, du nombre de véhicules \og 100\,\% électriques \fg{} en France.

Le 24 mars 2017, l'association nationale pour le développement de la mobilité électrique (Avere-France) a publié l'article suivant:

\bigskip

\fbox{
\parbox{\linewidth}{
\begin{center}
\Large
\textbf{La France célèbre son 100\ieme{} véhicule}

\textbf{\og 100\,\% électrique \fg{}, une première en Europe! }
\end{center}

Jeudi 23 mars, le marché français des véhicules particuliers et utilitaires \og 100\,\% électrique \fg{} a franchi le cap des \np{100000} immatriculations cumulées depuis 2010, date de lancement de la nouvelle génération de véhicules électriques. La France devient alors le premier pays européen à atteindre un tel parc de véhicules avec zéro émission.

\medskip

\begin{center}
%\scalebox{0.7}
{% début
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm,comma}
\def\xmin {-0.2}   \def\xmax {7.8}
\def\ymin {-1.5}   \def\ymax {11}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0,gridcolor=gray] (0,0)(-1,-2) (8,11)
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
%\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\psline[linecolor=blue,showpoints](1,0.0980)(2,0.5293)(3,1.4607)(4,2.8651)(5,4.3606)(6,6.5793)(7,9.31)
\psline[linewidth=1.2pt](0,0)(\xmax,0)
\multido{\i=0+1,\n=2009+1}{8}
{\uput[d](\i,0){\small \n}
}
\uput[50](1,0.0980){\blue\small 980}
\uput[-10](2,0.5293){\blue\small \np{5293}}
\uput[-5](3,1.4607){\blue\small \np{14607}}
\uput[-20](4,2.8651){\blue\small \np{28651}}
\uput[160](5,4.3606){\blue\small \np{43606}}
\uput[-10](6,6.5793){\blue\small \np{65793}}
\uput[160](7,9.31){\blue\small \np{93100}}
\uput*[u](4,9.9){\blue \bf LA ROUTE VERS LES \np{100000} VÉHICULES 100\,\% ÉLECTRIQUE!}
\uput*[u](2,5.2){\blue\small  \bf Cumul des immatriculations au}
\uput*[u](2,4.5){\blue\small  \bf 31 décembre de chaque année}
\end{pspicture*}
}% fin
\end{center}

\medskip

Dans ce contexte économique et environnemental, l'Avere-France estime qu'à l'horizon 2020, la France devrait compter plus de \np{350000} véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés.

\medskip

{\footnotesize D'après l'association Avere-France}
}% fin du parbox
}% fin du fbox
 
\medskip

La lecture du graphique précédent permet, par exemple, de dire qu'au 31 décembre 2015, il y avait en tout \np{65793} véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés.

\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1\,\%.
\end{enumerate}

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés en France sera constante et égale à 40\,\%.

Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$.

Ainsi on a $u_0 = \np{93100}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} en France au 31 décembre 2017.
\item Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
\item L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés en France dépassera \np{1000000} avec ce modèle.

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.

\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|m{5cm}|}
\hline
$n \leftarrow 0$\\
$u \leftarrow \np{93100}$\\
Tant que ....................\\
\hspace{1cm} $n \leftarrow ....................$\\
\hspace{1cm} $u \leftarrow ....................$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item Laquelle des variables $n$ ou $u$ est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème?
\item Quelle est la valeur de cette variable?
\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}.

La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans.

On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
\item Pour la suite, on prendra $\lambda = 0,143$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans.
On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie.
On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.
\item Déterminer le réel $t_0$ tel que $P(T>t_0)=0,75$. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.


\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$.

On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\item Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
\end{enumerate}

\item On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$.

On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$.

En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
\begin{enumerate}
\item entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\item plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Depuis quelques temps, l'entreprise constate de nombreuses pannes parmi les 75 ascenseurs.

Ainsi, sur une période de 30 jours, il a été relevé 263 pannes en tout.

L'entreprise doit-elle remettre en cause, au seuil de 95\,\%, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $0,08$? Justifier la réponse.

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La droite $(d)$ est tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.

\begin{center}

{% début
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.7}   \def\xmax {4.8}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {5.3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0,gridcolor=gray] (-1,0)(10,11)
\psaxes[labelFontSize=\scriptsize,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(-1,0)(\xmax,\ymax) [$x$,120][$y$,-30]
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\def\f{3 2.7183 -2 x mul exp mul 1 add}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{-6 x mul 4 add}
\uput[r](0.6,0.5){\blue $(d)$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,1)(\xmax,1)
\end{pspicture*}
}% fin
\end{center}

Donner par lecture graphique:

\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$.
\item La limite de $f$ en $+\infty$.
\item Le tableau de variation de $f$.
\item Le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On considère l'équation différentielle $y'+2y = 2$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\R$.

On admet que la fonction représentée dans la \textbf{partie A} est la solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0) = 4$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x) = 3\e^{-2x}+1$.
\item Retrouver, en justifiant par des calculs, les résultats obtenus aux questions \textbf{2.} \textbf{3.} et \textbf{4.} de la \textbf{partie A.}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

L'unité graphique est le dm (décimètre).

On a représenté graphiquement ci-dessous la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe obtenue.
\begin{center}
%\scalebox{0.7}
{
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.7}   \def\xmax {4.8}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {4.4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0,gridcolor=gray] (0,0)(-2,-1)(10,10)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{3 2.7183 -2 x mul exp mul 1 add}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0}{4}{\f}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

On fait tourner la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.

On génère ainsi une surface dans l'espace ayant la forme d'un vase représenté ci-après en coupe et en perspective.

%\begin{center}
%\includegraphics*[scale=0.7]{STI2D.eps}
%\end{center}

%%% Dessin de Arié Yallouz
\begin{center}
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{C1}{.96 0.28 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid
\def\f{3*EXP(-2*x)+1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-5)(6,5)
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.25pt, linecolor=C1]{0}{4}{\f} \gsave
\psline(4,1.01)(4,-1.01)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{4}{0}{-3*EXP(-2*x)-1}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C1] \grestore }
\multido{\n=0+10}{18}{\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{0}{4}{cos(\n)*(3*EXP(-2*x)+1)}}
\end{pspicture}\hfill 
\psset{unit=.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{C1}{.96 0.28 .48}
\newrgbcolor{C2}{1 .62 .68}
%\psgrid
\psset{Alpha=120,Beta=0}
\pstThreeDCoor[xMin=-5,xMax=5,yMin=-5,yMax=5,zMin=-5,zMax=5,drawing=false]
\pstThreeDCircle[linecolor=bleu, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C1](0,0,0)(0,4,0)(0,0,4)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=40,yPlotpoints=36,linecolor=bleu, linewidth=.75pt](0,4)(0,360){t 3 2.71828 2 neg t mul exp mul 1 add u cos mul  3 2.71828 2 neg t mul exp mul 1 add u sin mul}
\pstThreeDCircle[linecolor=bleu, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C2](4,0,0)(0,1.001,0)(0,0,1.001)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=bleu,linewidth=1pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20,fillstyle=solid,fillcolor=white](112,246){4 1.001 t cos mul 1.001 t sin mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20](-70,80){2.6 1.01655 t cos mul 1.01655 t sin mul}
}
\end{pspicture}
\end{center}

Le volume de ce vase, en dm$^3$, est donné par:

\[V=\pi \times \ds\int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \d x.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x \in [0~;~4]$, on a $\left ( f(x)\right )^2 = 9\e^{-4x} + 6\e^{-2x}+1$.
\item Calculer le volume du vase, exprimé en dm$^3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\item On désire remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré qui est vendu par sac de 3~dm$^3$. Déterminer le nombre minimum de sacs qu'il faut acheter.
\end{enumerate}


\end{document}