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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque et François Hache
% RElecture :  Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Polynésie 19 juin 2024}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill physique-chimie et mathématiques \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Étude de l'évolution de la température d'un soda}
\end{center}

On verse, dans une tasse en porcelaine, du soda tout juste sorti du réfrigérateur. La tasse est ensuite posée sur une table. La température de l'air ambiant est supposée constante et égale à $21\:\degres$ C.

On mesure la température du soda à différents instants et on trace, en utilisant les données obtenues, le graphique ci-dessous.

\begin{center}
\textbf{Document \no 1 - Évolution de la température du soda en fonction du temps}

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.5cm,arrowsize=2pt 3,dotstyle=+,dotscale=2}
\begin{pspicture}(-10,-1.5)(130,23)
\multido{\n=0+20}{7}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,23)}
\multido{\n=0+5}{5}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(130,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(130,23)
\psplot[plotpoints=20,linewidth=0.05pt,linecolor=blue,showpoints=true]{0}{40}{21 14 2.71828 x 90 div exp div sub}
\psplot[plotpoints=40,linewidth=0.05pt,linecolor=blue,showpoints=true]{40}{120}{21 14 2.71828 x 90 div exp div sub}
\uput[r](0,22){$T$ (en \degres C)}
\uput[d](120,-1){$t$ (en min)}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Rappeler les trois modes de transfert thermique. 

Citer un exemple pour chacun d'eux.
\end{enumerate}

\emph{On admet que la fonction $f$ qui modélise l'évolution de la température (en degré Celsius) du contenu de la tasse en fonction du temps $t$ écoulé (en minute) depuis la
première mesure vérifie l'équation différentielle :}

\[y' = - \dfrac{1}{90}y + \dfrac{7}{30}\]

\begin{enumerate}[resume]
\item Sachant que $g(0) = 7$, démontrer que, pour tout réel $t$ positif ou nul:
\[f(t) = - 14 \e^{- \frac{1}{90}t} + 21.\]

\item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.
\item Déterminer, à partir de ce modèle, la valeur du temps $t$ pour lequel la boisson atteint la température de $20~\degres$ C. Arrondir le résultat (en minute) à l'unité.
\end{enumerate}

\emph{On renouvelle l'expérience en remplaçant la tasse en porcelaine par un gobelet en acier de mêmes dimensions.}

\medskip

Données :
\begin{itemize}
\item conductivité thermique de la porcelaine : 1,0 W . m$^{-1}$ . K$^{-1}$ ;
\item conductivité thermique de l'acier : 45,6 W . $^{-1}$ . K$^{-1}$.
\end{itemize}

\begin{enumerate}[resume]
\item Identifier, parmi les courbes $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ figurant ci-dessous, celle qui représente l'évolution, en fonction du temps, de la température du soda versé dans un gobelet en acier. Expliciter le raisonnement utilisé.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Document \no 2 - Influence des conductivités thermiques des matériaux sur l'évolution de la température d'un soda en fonction du temps}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.35cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-10,-1.5)(190,25)
\multido{\n=0+20}{10}{\psline[linewidth=0.145pt](\n,0)(\n,23)}
\multido{\n=0+5}{5}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(190,\n)}
\psaxes[linewidth=1.pt,Dx=20,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(190,25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.05pt,linecolor=blue,showpoints=true]{0}{180}{21 14 2.71828 x 100 div exp div sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.05pt,linecolor=red,showpoints=true]{0}{180}{21 14 2.71828 x 15 div exp div sub}
\uput[r](0,23){$T$ (en \degres C)}
\uput[d](175,-2){$t$ (en min)}
\uput[ul](20,17){\red $\mathcal{C}_1$}\uput[ul](20,9.9){\blue $\mathcal{C}_2$}
\rput(90,23){\textbf{Évolution de la température d'un soda en fonction du temps}}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3 \hfill Mathématiques \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Filtre et fonction de transfert}
\end{center}

Un filtre dans un circuit électrique permet de transmettre sélectivement certaines composantes du spectre en fréquence d'un signal.

On considère le filtre, composé d'une résistance $R$ et d'un condensateur $C$.


On appelle fonction de transfert de ce filtre, la fonction $H$ définie par: 
\[H(\omega) = \dfrac{1}{1 + RC \omega \cdot \text{i}}\]
où 
\begin{itemize}
\item i est le nombre complexe de module 1 et d'argument$\dfrac{\pi}{2}$ vérifiant i$^2 = -1$ ;
\item $R$ est la résistance, exprimée en Ohm, ayant pour valeur $10^6 \Omega$ ;
\item $C$ est la capacité du condensateur, exprimée en Farad, ayant pour valeur $10^{- 6}$ F ;
\item $\omega$ est la pulsation du signal aux bornes du circuit, exprimée en rad · s$^{- 1}$.
\end{itemize}

\medskip

La pulsation de coupure du filtre est définie par $\omega_{\text{C}} = \dfrac{1}{RC}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $\omega_{c}$, puis montrer que $H\left(\omega_{c}\right) = \dfrac12 - \dfrac12\text{i}$.
\item Écrire $H\left(\omega_{c}\right)$ sous forme exponentielle.

\emph{La réponse en gain du circuit, notée $G_{dB}$ et exprimée en décibel, vaut pour cette
fréquence de coupure:\\
\[G_{dB} = 20 \log \left(\left|H\left(\omega_{c}\right)\right)\right|\]
où $\left|H\left(\omega_{c}\right)\right|$ est le module de $H\left(\omega_{c}\right)$.}

\item Montrer que $G_{dB} = -10 \log (2)$.

On pose en cascade un deuxième filtre identique de même pulsation de coupure qui est tel que la fonction de transfert de ces deux filtres, notée $H_T\left(\omega_c\right)$, est égale au produit des fonctions de transfert de chacun des deux filtres. Ainsi:

\[H_T\left(\omega_c\right) = H\left(w_c\right) \times H\left(\omega_c\right).\]
\item Déduire de la question 2 le module et un argument de $H_T\left(\omega_c\right)$.
\end{enumerate}










\end{document}