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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI2D et STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL  Polynésie~\decofourright\\[4pt]14 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.25cm}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.

\smallskip

Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et
indiquerez la seule réponse choisie.

Dans tout l'exercice :

\begin{itemize}
\item on désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.
\item $x \mapsto \e^x$ désigne la fonction exponentielle.
\item  $x \mapsto \ln x$  désigne la fonction logarithme népérien.
\end{itemize}

\begin{enumerate}


\item La forme exponentielle du nombre complexe $z: -1 + \mathrm{i}\sqrt{3}$ est:
\renewcommand\arraystretch{2}

\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} $-2\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$& \textbf{B.~~} $2\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$\\
\hline
\textbf{C.~~} $\mathrm{i}\sqrt{3}- 1$&  \textbf{D.~~}$\sqrt{3}\e^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$\\
\hline
\end{tabular}

\item L'intégrale $\displaystyle \int_{1}^{\ln 2} \e^{-x}\mathrm{d}x $ est égale à :

\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline

\textbf{A.~~} $ \ln2-1$& \textbf{B.~~} $\frac{1-\e}{\e}$\\ \hline
\textbf{C.~~} $\frac{2-\e}{2\e}$&~\textbf{D.~~} $1-\ln2$\\ \hline
\end{tabular}


\item Si $f$ est la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f (x)= 2x - \ln x$, alors :

\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$ &\textbf{B.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= 0$\\\hline
\textbf{C.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)=2$ & \textbf{D.~~} $\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)= \ln 2$ \\\hline
\end{tabular}

\item Soit $G$ la fonction définie pour tout réel $x$ strictement positif par
\[G(x):x\ln x-x+2\]
$G$ est une primitive de la fonction $g$ définie sur $]0,~+\infty[$ par :

\begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|}
\hline
\textbf{A.~~} $g(x)=x\ln x-1$ & \textbf{B.~~} $g(x) =\ln x+ 2x$ \\\hline
\textbf{A.~~} $g(x)=1-\frac{x^2}{2}+2x $ & \textbf{D.~~} $g(x)= \ln x$ \\\hline
\end{tabular}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (4  points)}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\
Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à $10^{-3}$ près.}

\medskip

En 2016, l'Organisation Mondiale de la Santé (OMS) affirme que 5,1 millions de
personnes en France souffraient de diabète, soit 8\,\% de la population.

Chaque personne dispose d'un dossier médical régulièrement actualisé.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans le cadre de la semaine nationale de prévention du diabète qui s'est tenue en
2016, une campagne de sensibilisation de cette maladie a été menée.

Sur 85 dossiers médicaux prélevés au hasard, on a compté 3 cas de diabète.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la fréquence de cas de diabète dans l'échantillon prélevé ?
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95\,\% de la
fréquence de cas de diabète sur cet échantillon de 85 dossiers.

\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de
fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de
taille $n$ est :}

\[I=\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]

\item L'échantillon est-il représentatif de la population française ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans le corps humain, la régulation du taux de glycémie est assurée grâce à un
équilibre permanent entre différentes substances principalement hormonales.

Le tableau suivant présente trois états de la glycémie :

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{3cm}|m{5cm}|}
\hline
Hypoglycémie 		&À jeun : inférieur à {0,70}\:g/l\\\hline
Glycémie normale 	&À jeun : entre \np{0,70}\:g/l  et \np{1,10}\:g/l \\\hline
Hyperglycémie  		&À jeun : supérieur à \np{1.10}\:g/l\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque dossier médical prélevé au hasard dans
la population, associe le taux de glycémie à jeun en g/l de la personne.

On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne 0,9 et d'écart type 0,1.

\vspace {0.25cm}

Dans le cadre de cet exercice, on considère qu'une personne souffre de diabète si
cette personne ne présente pas une glycémie normale à jeun.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en
hypoglycémie.
\item Déterminer la probabilité pour que le dossier prélevé soit celui d'une personne en
hyperglycémie.
\item Déterminer la probabilité que le dossier prélevé soit celui d'une personne souffrant
de diabète.\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

Une note de musique est émise en pinçant la corde d'une guitare électrique.

La puissance du son émis, initialement de 100 watts, diminue avec le temps $t$,
mesuré en seconde.

On modélise par $f(t)$ la puissance du son émis, exprimée en watt, $t$ secondes après
le pincement de la corde.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
On considère l'équation différentielle (E) suivante où $y$ est une fonction de la variable
$t$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~,~ +\infty[$ et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$ :

\[(\mathrm{E}) :\quad 25y'+ 3y = 0\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $25y' + 3y = 0$.
\item Déterminer la fonction $f$ solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la
condition initiale $f(0) = 100$.
\item Quelle est la puissance du son deux secondes après le pincement de la corde ?

\emph{Arrondir au watt près}.
\end{enumerate}

\bigskip

Pour la suite de l'exercice, on admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle
$[0~;~+\infty[$ par :

\[f(t) = 100\e^{-\np{0.12}t}\]
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse à l'instant à partir duquel la puissance du son émis après le pincement
de la corde sera inférieure à $80$watts.

On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}

\begin{tabular}{|l|}
\hline
\textbf{Initialisation}\\
$a$ prend la valeur 0\\
$b$ prend la valeur 5\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $|b - a|> 0,2$\\
\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
$m$ prend la valeur $\frac{a+b}{2}$\\
\hspace{1cm}Si $f(m)$ > 80\\
	\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}
	\hspace{0.5cm}$a$ prend la valeur $m$\\
	Sinon\\
	\hspace{0.5cm}$b$ prend la valeur $m$\\
	\end{tabular}\\
\hspace{1cm}Finsi\\
\end{tabular}\\
Fintantque\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $a$, $b$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de l'algorithme ci-dessus, compléter le tableau donné en Annexe située
page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage} et à rendre avec la copie.
\item Quelles sont les valeurs affichées en sortie de cet algorithme ?
\item Dans le contexte de cet exercice, que représentent ces valeurs ?

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre par le calcul l'équation $f(t) = 80$, \emph{on donnera la valeur exacte et la
valeur approchée à $10^{-3}$ près}.

Interpréter ce résultat
\item Calculer et interpréter la limite de $f$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill ( 6 points)}  

\vspace{0.25cm}

Dans un parc régional, on étudie une espèce de renards. Cette population était de
\np{1240} renards à la fin de l'année 2016.

On modélise par $u_n$ le nombre de renards dans le parc régional à la fin de l'année
$2016 + n$. On a donc $u_0 = \np{1240}$.

\smallskip

On estime à 15\,\% par an la baisse du nombre $u_n$.

On suppose que cette évolution restera identique pour les années à venir.


\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'à la fin de l'année 2017 ,la population de renards sera de \np{1054}.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $u_1$ puis calculer $u_2$.
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
		\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\item Déterminer une estimation du nombre de renards présents dans le parc régional à
la fin de l'année 2020.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Comment interpréter ce résultat ?
\item Des scientifiques considèrent que l'espèce des renards présents dans le parc sera
en situation d'extinction à partir du moment où le nombre de renards deviendra
strictement inférieur à 100.

À partir de quelle année l'espèce de renards présents dans le parc sera-t-elle en
situation d'extinction ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\smallskip

Afin de préserver l'espèce, on décide d'introduire à chaque année 30 renards à partir
de la fin de l'année 2017.

On note $v_n$ le nombre de renards présents dans le parc à la fin de l'année $2016 + n$.

On estime à 15\,\% par an la baisse du nombre $v_n$.

On a $v_0=\np{1240}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_1$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de réponse cohérente sera prise en compte.}

On admet que pour tout entier naturel $n$ on a $v_n = 200 + \np{1040} \times 0,85^n$.

Que pensez-vous de l'affirmation suivante : \og Le nombre de renards va diminuer
et se stabiliser vers 200 \fg.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf {\textsc{Annexe} (à rendre avec la copie)}.
\end{center}

\vspace{0,25cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hspace{2em}Partie B}  

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\vspace{1.5cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$			&0		&0	&	&	&	&\\\hline
$b$ 		&5		&2,5&	&	&	&\\\hline
$b-a$ 		&5		&	&	&	&	&\\\hline
$|b-a|>0,2$	&Vrai	&	&	&	&	&\\\hline
$m$ 		&2,5	&	&	&	&	&\\\hline
$f(m)$		& 74,1	&	&	&	&	&\\\hline
$f(m) > 80$	& Faux	&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}
\label{annexe}
\end{document}