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% Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 18 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Métropole--La Réunion 18 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. }

\smallskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse. }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

On note $z_A$ l'affixe d'un point $A$ appartenant au cercle de centre O et de rayon 4. La partie réelle de $z_A$  est positive et sa partie imaginaire est égale à 2. 

Le nombre complexe $z_A$  a pour forme exponentielle: 

\textbf{a.~~} $4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

\textbf{b.~~} $- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

\textbf{c.~~} $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

\textbf{d.~~} $- 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

\item  Le nombre $- 3$ est solution de l'équation: 

\textbf{a.~~} $\ln(x) = - \ln (3)$ 

\textbf{b.~~} $\ln \left(\text{e}^x\right) = -3$ 

\textbf{c.~~} $\text{e}^{\ln (x)} = 3$ 

\textbf{d.~~} $\text{e}^x = 3$ 

\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$\left] - \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{2x+ 1}$. 

La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left] - \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ et sa fonction dérivée est définie sur $\left] - \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par : 

\textbf{a.~~} $g'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{2}$ 

\textbf{b.~~} $g'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(2x + 1)^2}$  

\textbf{c.~~} $g'(x) = \dfrac{(2x+3)\text{e}^x}{(2x + 1)^2}$ 

\textbf{d.~~} aucune des réponses précédentes 

\item On considère l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

Une fonction $f$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $f(0) = 1$ est définie sur $\R$ par : 

\textbf{a.~~} $f(x) = \text{e}^{2x}$ 

\textbf{b.~~} $f(x) = \cos (2x)$ 

\textbf{c.~~} $f(x) = \sin (2x)$ 

\textbf{d.~~} $f(x) = \cos (4x)$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  7 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes. }

\medskip

Le conservatoire des espaces naturels d'une région s'occupe d'une zone protégée de \np{1800}~hectares. Depuis plusieurs années, il surveille le domaine d'extension d'une plante invasive. Cette plante inhabituelle, d'origine exotique, devient envahissante et cause une régression de la biodiversité. Si le conservatoire constate qu'à la fin d'une année l'aire de la surface occupée par la plante dépasse $80$ hectares, cette plante fera alors l'objet d'un plan d'élimination progressive à partir de l'année suivante. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Des relevés de la surface occupée par cette plante ont été effectués sur le terrain, en fin d'année, de 2015 à 2018: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année   &2015   &2016   &2017   &2018\\ \hline   
Surface en hectares (ha)   &63   &66,2   &69,5   &73\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le conservatoire estime que l'aire de la surface occupée par cette plante a augmenté de 5\,\% environ chaque année. 

Vérifier que cette estimation est cohérente avec les relevés pris sur le terrain. 
\item On considère qu'à partir de l'année 2018 la surface occupée par la plante augmente chaque année de 5\,\%. 

Expliquer alors pourquoi la décision de commencer l'élimination de la plante devrait être prise à la fin de l'année 2020 par le conservatoire. 
\item  Le conservatoire décide de mettre en œuvre un plan d'élimination progressive. Ce plan prévoit d'éliminer la plante, par arrachage ou par brûlage thermique, sur une surface de $10$~hectares à chaque fin d'année, à partir de l'année 2021. 

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $P_n$ l'aire de la surface occupée par la plante, exprimée en hectares, en fin d'année \og $2020 + n$ \fg, en prenant $P_0 = 80,5$. 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P_1 = 74,525$. 
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $P_{n+ 1} = 1, 05P_n - 10$. 
		\item Donner une valeur arrondie de $P_2$ à $10^{-3}$ près. 
		\item Pourquoi la suite $\left(P_n\right)$ n'est-elle pas géométrique ? 
	\end{enumerate}
\item ~

\parbox{0.55\linewidth}{Le conservatoire décidera de mettre fin au plan d'élimination dès que l'aire de la surface occupée par la plante sera inférieure à $6$ hectares. 

\textbf{Recopier} et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'à la fin de son exécution, la variable $n$ contienne le nombre d'années de mise en œuvre du plan. }\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{\hspace{1cm}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|}\hline
$n \gets 0$\\
$P \gets 80,5$\\ 
Tant que $P \geqslant 6$\\
\hspace{0.6cm} $ P \gets  \ldots$\\ 
\hspace{0.6cm}$n \gets  \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}}
\item À la fin de quelle année le plan d'élimination prendra-t-il fin ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

\parbox{0.63\linewidth}{Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l'une de l'autre, dessinées ci-contre. }\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(1.8,1.1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1}{0.2}{0.2 x div}
}
\rput{90}(2,0){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x div}
%}
\rput{90}(2,0){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x div}}
\rput(1,0.9){\small\emph{Préserver}}
\rput(1,0.1){\small \emph{l’environnement}}
\end{pspicture*} }

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $f(x) = \dfrac{0,2}{x}$ et $g(x) = - x^2 + 0,2x + 1$.

On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci-
 dessous. 

On admet que ces deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points. 

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma} 
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(1.6,2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1}{0.2}{0.2 x div}
}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.5,-0.49)(1.6,2)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.1}{1.25}{0.2 x div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.1}{1.25}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}
\uput[ur](0.7,0.65){\small $\mathcal{C}_g$}
\uput[dl](0.45,0.45){\small $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que $0,2$ est une solution de l'équation $f(x) = g(x)$. 
\item Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.\item 
	\begin{enumerate}
		\item Interpréter graphiquement l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \:\text{d}x$. 
		\item Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $F(x) = \dfrac{1}{5} \ln (x)$ est une primitive sur l'intervalle [0,1~;~1,25] de la fonction $f$. 
		\item Calculer la valeur exacte de $J =\displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \:\text{d}x$.  
	\end{enumerate}
\item  On admet que la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle [0,2~;~1]. 

L'unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm. 

En déduire, au cm$^2$ près, une valeur approchée de l'aire totale du logo. 
\end{enumerate} 
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$). 

Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{900000}~dm$^3$. 

À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6\,\%. 

\medskip

 \begin{enumerate}
\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{5400}~dm$^3$ . 
\item Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l'entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après $20$~h, exprimé en minutes. $t$ varie ainsi dans l'intervalle [0~;~690] puisqu'il y a $690$ minutes entre 20 h et 7 h 30. 

On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle 

\[ \quad (E) : y' + 0, 01y = 4,5.\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. 
		\item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$. 
	\end{enumerate}
\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21 h ? 
\item Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7 h 30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06\,\%. 

Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. 

\item  Déterminer l'heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à $10^{-3}$ près. Les trois parties sont indépendantes.} 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Les téléphones portables intègrent des capteurs photographiques de plus en plus évolués. Ces capteurs sont fragiles et ont une durée de vie limitée. 

La durée de fonctionnement sans panne, exprimée en années, d'un capteur photographique est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 4$ et $\sigma = 1,23$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Quelle est la durée moyenne de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique ? 
\item Déterminer la probabilité $P(3,5 \leqslant D \leqslant 4,5)$. 
\item Lors de l'achat d'un téléphone portable, la garantie pièces et main d' œuvre est de deux ans. 

Quelle est la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Lorsqu'un téléphone portable devient défectueux et qu'il est encore sous garantie, le client peut le déposer dans un point de vente agréé pour réparation ou échange contre un appareil neuf. 

On s'intéresse au temps d'attente, exprimé en jours, avant le retour de l'appareil, réparé ou échangé. Ce temps peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,025$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance E($T$) de la variable aléatoire $T$.
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte. 
	\end{enumerate}
\item Un téléphone portable, défectueux et encore sous garantie, a été déposé par un client dans un point de vente agréé. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(T \leqslant 7)$ et interpréter ce résultat. 
		\item Calculer la probabilité que le client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

Un magazine spécialisé souhaite comparer l'efficacité des services après-vente (S.A.V.) pour les téléphones portables de deux marques A et B. Après une enquête auprès de clients, le magazine obtient les résultats suivants: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Marque de téléphone&   Nombre de clients du S.A.V.  ayant répondu à l'enquête & Nombre de clients indiquant avoir   
  récupéré leur téléphone en moins   de 20 jours \\ \hline
A 	&120 	&47\\ \hline  
B	&92		&26\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On admet que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque A est [0,304~;~0,480]. 

Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B. 
\item Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer à ses lecteurs qu'il y a une différence significative dans l'efficacité des deux S.A.V. ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}
\end{document}