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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet 0}
\lfoot{\small{}}
\rfoot{\small{2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Sujet 0 2020}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 physique-chimie et mathématiques \hfill 4 points}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la fonction $f$ définie sur [0~;~4] par : 
\[f(x)= - \left(x^2 - 3,8x + 1,8\right)\e^{- x} + 1,8\]

admet pour primitive la fonction $F$ définie sur [0~;~4] par : 
\[F(x) = \left(x^2 - 1,8x\right)\e^{- x} + 1,8x.\]
\item Calculer une valeur approchée à 0,1 près de

\[\displaystyle\int_0^4 f(x)\:\text{d}x\]

à partir des fonctions données dans la question précédente.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 2  mathématiques \hfill 2 points}
\end{center}

\textbf{Question 1}

\medskip

Déterminer la forme algébrique du nombre complexe 
\[z_1 = \dfrac{2 - 6\text{i}}{2 - \text{i}}.\]

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $z_2$ le nombre complexe défini par : $z_2 = - 2 - 2\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme exponentielle de $z_2$.
\item Montrer que $z_2^4$ est un nombre réel que l'on déterminera.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère A, B et C les points du plan d'affixes :

\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i},\quad  z_{\text{C}} = 4.\]

\begin{enumerate}
\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité $1$~cm.
\item Démontrer que le triangle ABC est rectangle et isocèle.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

Résoudre l'équation différentielle
\[y' + 5y = 4.\]

Préciser l'expression de la solution $f$ vérifiant $f(0) = 4$.

\medskip

\textbf{Question 5}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par

\[g(x) = x \ln (x) - x + 4.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $g$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, et on note $g'$ sa fonction dérivée.

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, \:$g'(x) = \ln (x)$.
\item En déduire le sens de variation de $g$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6}

\medskip

On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par 
\[h(x) = x^2 \e^{- x}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $h$ en $- \infty$.
\item Justifier que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} h(x) = 0$.

On admet que $h$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[2~;~+\infty[$ et que l'équation $h(x) = 0,5$ admet une unique solution dans l'intervalle $[2~;~+\infty[$ que l'on note~$a$.
\item Recopier le programme ci-dessous et compléter les pointillés pour que la fonction \texttt{sol}-\texttt{bal} 
détermine une valeur approchée à $10^{-n}$ près de $a$ par balayage.
\end{enumerate}

\begin{center}

\texttt{
\begin{tabular}{|l|}\hline
from math import exp\\
%~\\
def sol-bal(n) :\\
\qquad x = 2\\
\qquad while ... $> 0.5$ :\\
\qquad \qquad x=...\\
\qquad return x\\ \hline
\end{tabular}}

\end{center}
\end{document}
