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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{18 juin 2015}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Métropole--La Réunion 18 juin 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une
bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$. La forme algébrique du nombre complexe $z$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$&
\textbf{b.~~} $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$&
\textbf{c.~~} $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$&
\textbf{d.~~} $- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip

\item $z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - \text{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1 \times z_2$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$& 
\textbf{b.~~} $- 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&
\textbf{c.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&
\textbf{d.~~} $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Les solutions de l'équation différentielle $y" + \dfrac{1}{3} y = 0$ sont de la forme :


\textbf{a.~~} $t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3}}t^2$

\textbf{b.~~} $t \mapsto A \cos \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}t \right) + B \sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$

\textbf{c.~~} $t \mapsto A\text{e}^{-\sqrt{3}t}$

\textbf{d.~~} $t \mapsto - \dfrac{1}{3}$

\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x + 1}$. La limite de cette fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \infty$&
\textbf{b.~~} $+ \infty$&
\textbf{c.~~} $0$&
\textbf{d.~~} $2$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un
conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.

La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.

On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.

Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres (km), la relation liant $P_E$, $P_S$ et $L$ est donnée par : 

\[P_S = P_E \times  \text{e}^{- aL}\]

 où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.
 
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
 
Dans tout l'exercice :

\begin{itemize}
\item la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $7$ mW ;
\item à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $0,08$ mW;
\item pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $0,08$ mW.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le premier type de fibre de longueur $100$~km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$. 

Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la
variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle 
$[0~;~+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle

\[y' + 0,035 y = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035 y = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = 7\text{e}^{-0,035x}$.
		\item En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le signal sera-t-il encore détecté au bout de $100$~km de propagation ?
		\item Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal
à la sortie sans amplification.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en
France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil
et GPL).

Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à \og faible émission de
CO$_2$ \fg{} c'est-à-dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.

\medskip

\textbf{Document 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{5}{|m{11.6cm}|}{Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l'ADEME (Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d'élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux,
l'ADEME prévoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'émission de CO$_2$ par véhicule
de 100 g/km.}\\
\multicolumn{5}{|>{\centering \arraybackslash}c|}{\textbf{Ventes et prévisions}}\\ \hline
\small \textbf{Véhicules (VP-VUL)} &\small \textbf{Ventes 2010}&\small  \textbf{Parc 2010}&\small \textbf{Prévisions ventes 2030}& \textbf{Prévisions parc 2030}\\ \hline 
Véhicules thermiques 	&100\,\% &100\,\% &64\,\% &89\,\%\\ \hline 
Véhicules hybrides 		&0\,\% &0\,\% &24\,\% &7\,\%\\ \hline 
Véhicules électriques 	&0\,\% &0\,\% &12\,\% &4\,\%\\ \hline 
\textbf{Total des voitures VP et VUL}& 2,2 millions& 35 millions& 2 millions& 35 millions\\ \hline 
Emission moyenne de CO$_2$ par véhicule& 127 g/km &165 g/km &49 g/km &100 g/km\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Document 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013}}\\ \hline
\textbf{Véhicules (VP- VUL)}& \textbf{Ventes 2011}& \textbf{Ventes 2012}& \textbf{Ventes 2013}\\ \hline
Véhicules hybrides &\np{13600} &\np{27730} &\np{41340}\\ \hline
Véhicules électriques&\np{4313} &\np{9314} &\np{13954}\\ \hline
\textbf{Total des ventes y compris véhicules thermiques}&
\np{2204065}& \np{1898872} &\np{1790000}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides
vendus?
\item Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à
faible émission de CO$_2$ dans le parc automobile?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d'augmentation des ventes
de véhicules hybrides de 2012 à 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Véhicules VP et VUL&\multicolumn{2}{|c|}{ Augmentation des ventes de véhicules}\\ \hline
&de 2011 à 2012 &de 2012 à 2013\\ \hline
Véhicules hybrides& 103,9\,\% &\ldots\\ \hline
Véhicules électriques &116\,\% &49,8\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16\,\% par an de 2013 à 2030.

Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de \np{41340}.

On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique
de raison $1,16$.

On note $u_n$ le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année $2013 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner $u_0$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item L'augmentation de 16\,\% par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle
d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030 ?
	\end{enumerate}
\item Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques
de 2013 à 2030.
	
Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de \np{13954}.
	\begin{enumerate}
		\item On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules
électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16\,\% à partir de 2013.
		
\begin{center}
		
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1&Année &Prévisions des ventes de voitures électriques\\ \hline
2& 2013& \np{13954}\\ \hline
3& 2014&  \np{16186,64}\\ \hline
4& 2015&  \np{18776,5024}\\ \hline
5& 2016&  \np{21780,74278}\\ \hline
6& 2017&  \np{25265,66163}\\ \hline
7& 2018&  \np{29308,16749}\\ \hline
8& 2019&  \np{33997,47429}\\ \hline
9& 2020&  \np{39437,07017}\\ \hline
10& 2021&  \np{45747,0014}\\ \hline
11& 2022&  \np{53066,52163}\\ \hline
12& 2023&  \np{61557,16509}\\ \hline
13& 2024&  \np{71406,3115}\\ \hline
14& 2025&  \np{82831,32134}\\ \hline
15& 2026&  \np{96084,33276}\\ \hline
16& 2027&  \np{111457,826}\\ \hline
17& 2028&  \np{129291,0782}\\ \hline
18& 2029&  \np{149977,6507}\\ \hline
19& 2030&  \np{173974,0748}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour
compléter le tableau par \og recopie vers le bas \fg.
		\item Ce taux d'augmentation annuel permettrait-il d'atteindre les prévisions de l'ADEME
des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
	\end{enumerate}
\item Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle
des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l'ADEME
en 2030.
	
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline	
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.4cm}$u$ : un nombre réel\\
\hspace{0.4cm}$q$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $u$ la valeur \np{173974}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $q$ la valeur $1,16$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant  \np{240000}$\\
\hspace{0.8cm}$q$ prend la valeur $q + 0,01$\\
\hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $\np{13954} \times  q^{17}$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $(q - 1) \times 100$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que représente la valeur \np{173974} prise par la variable $u$ dans l'initialisation de l' algorithme ?
		\item Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c||*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Étapes de l'algorithme&\multicolumn{2}{|c|}{ Variables}\\ \hline
&$q$& $u$\\ \hline
Initialisation& 1,16& \np{173974}\\ \hline
Étape 1 &\ldots & \ldots\\ \hline
Étape 2 &\ldots&\ldots\\ \hline
\ldots& \ldots&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme ? Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip

\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5~litre
de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1, 55~litre.

À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire
$X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,015$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'une des trois figures donne la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant
votre choix.
		
\begin{center}

\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-08} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%                                     zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}

\def\m{0.5}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densité
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}%          tracé de la fonction densité
\rput(1.15,-8){Figure 1}
\end{pspicture}


\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-8} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%                                     zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}

\def\m{1}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densité
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}%          tracé de la fonction densité
\rput(1.15,-8){Figure 2}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-8} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}



\def\m{1.5}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%  fonction densité
\psplot[plotpoints=10000]{\xmin}{\xmax}{\f}%         tracé de la fonction densité
\rput(1.15,-8){Figure 3}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Déterminer $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de
jus de fruits ?
		\item Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage?
On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de $1,55$ litre.
	\end{enumerate}
\item Une bouteille est dite conforme si elle contient entre $1,46$~litre et $1,54$~litre de jus de fruits.
Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est \np{0,0077}.
Un supermarché achète un lot de \np{10000}~bouteilles.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence observée
de bouteilles non conformes dans un tel lot.
		\item Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le
gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement
élevé.
		
L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}