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%Tapuscrit : François Hache
% RElzcture :  Denis Vergès
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\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Métropole Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Métropole Antilles--Guyane 19 juin 2024}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill physique-chimie et mathématiques \hfill 4 points}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{Concert musical}
\end{center}

Lors d'un concert de musique rock organisé dans la ville de Venise, une scène flottante était placée à 120~m au large de la côte et donc des spectateurs du premier rang. Cette configuration particulière a posé des problèmes d'acoustique liés à l'atténuation différentielle du son émis par les différents instruments, notamment du fait de l'influence de la fréquence du son sur la directivité de l'émission par les haut-parleurs.\\
L'exercice propose de modéliser cette situation à partir de données expérimentales.

\begin{list}{\textbullet}{\textbf{Données:}}
\item Fréquences correspondant à certaines notes de musique:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}m{2cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}
\hline
\cellcolor{lightgray} \textbf{Note} & Do1 & La1 & Mi2 & Ré3 & Do4 & Fa4 & Si4\\
\hline
\cellcolor{lightgray} \textbf{Fréquence}\newline \textbf{(Hz)} & $65,4$ & $110$ & $165$ & $294$ & $523$ & $698$ & $988$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Le niveau sonore $L$ (en dB) d'une onde sonore est relié à son intensité acoustique $I$ (en W·m$^{-2}$) par la relation:

\[L=10 \,\log \dfrac{I}{I_0},\]

où $I_0=10^{-12}$~W.m$^2$  et $\log$ désigne le logarithme décimal.
\end{list}

\medskip

[...]

\medskip
On étudie mathématiquement le modèle obtenu en introduisant les fonctions $f$ et $g$ définies sur $[1\;;\;+\infty[$ par:

\[f(x) = 125 -10 \ln(x) \text{ et } g(x) = 117 - 7,5 \ln(x).\]

Ces fonctions modélisent respectivement les niveaux sonores du La1 et du Fa4 en fonction de la distance.

\medskip

\textbf{Q5.} Déterminer une expression de $f '(x)$ où $f '$ est la fonction dérivée de $f$ sur $[1\;;\;+\infty[$.

\medskip

On modifie désormais les réglages d'émission pour améliorer la qualité du son. Les expressions des nouvelles fonctions décrivant la dépendance de $L_1$ et $L_2$ avec la distance sont alors :

\[f_m(x) = 148 - 10 \ln(x) \text{ et } g_m(x) = 136 - 7,5 \ln(x),\]

respectivement, pour les notes La1 et Fa4.

\medskip

\textbf{Q6.} Résoudre l'équation $f_m(x) = g_m(x)$ correspondant à $148 - 10 \ln(x) = 136 - 7,5 \ln(x)$ (arrondir le résultat à $10^{-1}$).

En déduire la distance $d_m$ des enceintes à laquelle doit se trouver le public pour que les deux notes aient le même niveau sonore.

\medskip

\textbf{Q7.} Pour les réglages modifiés, calculer le niveau sonore du son reçu par les
spectateurs à la distance $d_m$ des enceintes pour chacune des notes.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3  \hfill mathématiques \hfill 4 points}
\end{center}

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 peuvent être traitées de façon indépendante les unes des autres.}

Un parachutiste est en chute libre dans l'air jusqu'à l'instant $t = 0$ où il ouvre son parachute. Sa vitesse est alors de 50~m.s$^{-1}$. On admet par la suite que sa vitesse $v$, en m.s$^{-1}$, en fonction du temps $t$, en $s$, est solution de l'équation différentielle sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$:

\[(E)\;:\quad y'=-5y+10.\]


\begin{flushleft}
\textbf{Question 1}
\end{flushleft}

La fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$ par $g(t)=2$ est-elle une solution de l'équation différentielle $(E)$? 
Justifier la réponse.

\begin{flushleft}
\textbf{Question 2}
\end{flushleft}

Montrer que les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle $[0\;;\;+\infty[$ sont les fonctions $f$ définies sur cet intervalle par $f(t)=k\e^{-5t}+2$,  où $k$ est un nombre réel donné.

\begin{flushleft}
\textbf{Question 3}
\end{flushleft}

En admettant le résultat de la question précédente, montrer que la fonction $v$ est donnée sur $[0\;;\;+\infty[$ par $v(t) = 48 \e^{-5t} + 2$.

\begin{flushleft}
\textbf{Question 4}
\end{flushleft}

La distance parcourue, en mètre, par le parachutiste pendant les 10 premières secondes après ouverture du parachute est donnée  par l'intégrale:

\[\ds\int_{0}^{10} \left ( 48 \e^{-5t} +2 \right ) \d t\]

Calculer cette intégrale (arrondir à $10^{-1}$).

\end{document}