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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}%tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\
septembre 2007}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Donner la lettre correspondant à cette réponse sur le tableau de la feuille annexe. Chaque réponse exacte rapporte un point. 

\medskip

\textbf{Question 1}
 
%La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ admet pour dérivée la fonction  $f'$ définie par $f'(x) = $

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad \text{e}^{-2x}$ &B. $\quad 2\text{e}^{-2x}$  & C.$\quad - 2\text{e}^{-2x}$ & D. $\quad - \text{e}^{-2x}$ \\
%\end{tabularx}
Réponse C.
\medskip
 
\textbf{Question 2} 

%L'équation, d'inconnue réelle $x,~~ \ln x + 2 = 0$ admet pour solution : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad \text{e}^{-2}$ &B. $\quad -2$ & C. $\quad -\text{e}^{-2}$& D. $\quad $ aucune \\
%\end{tabularx}
$\ln x + 2 = 0 \iff \ln x  = - 2 \iff \ln x \ln \text{e}^{-2} \iff x = \text{e}^{-2}$ d'après la croissance de la fonction $\ln$. Réponse A.

\medskip
 
\textbf{Question 3} 

%Le nombre $\text{e}^{- \ln 3}$ est égal à : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad - 3$ &B. $\quad \dfrac{1}{3}$ & C. $\quad - \dfrac{1}{3}$& D.  $\quad $ n'existe pas\\
%\end{tabularx}
$\text{e}^{- \ln 3} = \dfrac{1}{\text{e}^{\ln 3}} = \dfrac{1}{3}$. Réponse B.
\medskip

\textbf{Question 4}

%\medskip

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwith=0.3pt](0,0)(-3,-2)(3,2)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)(0,1)
%\uput[ur](3,0){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ul](-3,0){A$'$} \uput[dr](0,-2){B$'$} \uput[dl](0,0){O} 
%\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psellipse(0,0)(3,2)
%\end{pspicture}
%\end{center} 

% La courbe dessinée ci-dessus admet pour équation : 
% 
% \medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ &B. $\quad \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ & C. $\quad \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 0$& D.  $\quad \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$\\
%\end{tabularx}
La courbe est une ellipse. La réponse B est éliminée. Le point A n'appartient à la première courbe, ni à la troisième. Réponse D.
\medskip

\textbf{Question 5}
 
%Un des foyers de l'ellipse précédente est le point F de coordonnées : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad \text{F}\left(0~;~\sqrt{13}\right)$ &B.  $\quad \text{F}\left(\sqrt{13}~;~0\right)$& C. $\quad \text{F}\left(\sqrt{5}~;~0\right)$& D.  $\quad \text{F}\left(0~;~\sqrt{5}\right)$\\
%\end{tabularx}
On a $a = 3, b = 2$, d'où $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$. Les deux foyers ont pour coordonnées $\left(\sqrt{5}~;~0\right)$ et  $\left(-\sqrt{5}~;~0\right)$. Réponse C.
\medskip

%Les trois dernières questions portent sur les données suivantes: 

%\medskip
% 
%Une municipalité propose à ses habitants de choisir entre deux investissements possibles : 

%choix X : une médiathèque. 

%choix Y : un complexe sportif. 

%La municipalité a reçu \nombre{1000}~fiches réponses de ses électeurs. On a classé les électeurs par tranches d'âge: 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Tranche A : 18 à 30 ans& 	Tranche B : 30 à 50 ans& 	Tranche C : Plus de 50 ans  \\
%\end{tabularx}

%\medskip
% 
%Qn a obtenu les résultats suivants : 

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A &B &C &Total \\ \hline
%X&138&  214& 172& 524 \\ \hline
%Y& 176& 188&112& 476 \\ \hline
% Total& 314&402& 284& \nombre{1000}\\ \hline
% \end{tabularx}
 
%\medskip 
 
%On tire la fiche d'un électeur au hasard :

\medskip
 
\textbf{Question 6}
 
%La probabilité $p$(X) qu'il vote pour X vaut : 
524 habitants sur \nombre{1000} ont voté X. La probabilité est donc égale à $\dfrac{524}{\nombre{1000}} = 0,524$. Réponse C.
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,314$ &B. $\quad 0,138$ & C. $\quad 0,524$& D. $\quad \dfrac{524}{ 476 }$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 7}
 
%La probabilité $p(\text{B} \cap \text{X})$ est égale à : 
Il y a eu 214 habitants de 30 à 50 ans qui ont voté le choix X. La probabilité est donc égale à $\dfrac{214}{\nombre{1000}} = 0,214$. Réponse A.
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad 0,214$ &B. $\quad \dfrac{214}{402}$ & C. $\quad \dfrac{214}{524}$& D. $\quad 0,712$ \\
%\end{tabularx}

\medskip
	 
\textbf{Question 8}
 
%La probabilité $p(\text{B} \cup \text{X})$ est égale à : 
On a la formule $p(\text{B} \cup \text{X}) = p(\text{B}) + p(\text{X}) - p(\text{B} \cap \text{X}) = 0,402 + 0,524 - 0,214 = 0,712$. Réponse D.
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%A. $\quad 0,926 $ &B.  0,214$\quad $& C. $\quad \dfrac{214}{524}$& D.  $\quad 0,712 $\\
%\end{tabularx}

\vspace{1cm}

 \textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

%Archibald Nikolaüs veut faire graver et dorer ses initiales $\mathcal{A N}$ sur les volumes reliés de sa bibliothèque. Pour cela, il établit un modèle que l'on a reproduit en partie sur la feuille annexe, dans 
%un repère orthonormé \Oij. 

\medskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip
 
\textbf{Étude d'une première courbe} \boldmath $\mathcal{C}_{1}$ \unboldmath

\medskip 

%$\mathcal{C}_{1}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$, définie sur l'intervalle $[5~;~9]$, par 
%\[g(x) = - x^2 + b x + c\]
%où $b$ et $c$ sont des réels à déterminer.
  
\begin{enumerate}
\item %Écrire les conditions que doivent vérifier les réels $b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ passe par les points A(5 ~;~1) et B(9 ~;~5).
$\left\{\begin{array}{l c l}
\text{A}(5~;~1) & \in&\mathcal{C}_{1}\\
\text{B}(9~;~5) & \in & \mathcal{C}_{1}
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
-25 +  5b + c&=&1\\
- 81 + 9b + c&=&5
\end{array}\right.\Rightarrow~(\text{par différence}) - 56 + 4b = 4 \iff 4b = 60 \iff b = 15$.

D'où en reportant dans la première équation $- 25 + 75 + c = 1 \iff c = -49$. Donc $g(x) = - x^2 + 15x - 49$.
 
\item  %On admet que $g(x) = - x^2 +15x - 49$. 

	\begin{enumerate}
		\item  %On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [5 ~;~ 9]. 
$g$ est dérivable sur $\R$, et $g'(x) = - 2x + 15$.

$-2x + 15 > 0 \iff 15 > 2x \iff \dfrac{15}{2} > x$ ;

$-2x + 15 < 0 \iff 15 < 2x \iff \dfrac{15}{2} < x$ ;

La fonction $g$ est donc croissante sur $[5~ ;~7,5]$ et décroissante sur $[7,5~;~9]$.
		\item %Déterminer pour quelle valeur de $x$ la fonction $g$ admet un maximum. En déduire les coordonnées du sommet C de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et le placer sur le graphique de la feuille annexe.
L'extremum (maximum ici) est atteint pour $x = \dfrac{15}{2}$. Ce maximum est égal à $g\left(\frac{15}{2}\right) = - \left( \dfrac{15}{2}\right)^2 + 15 \times \left( \dfrac{15}{2}\right) - 49 = -\dfrac{225}{4} + \dfrac{225}{2} - 49 = \dfrac{225}{4} - 49 = \dfrac{225 - 196}{4} = \dfrac{29}{4}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE 2}
 
\textbf{Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_{2}$ \unboldmath 

%$\mathcal{C}_{2}$ désigne la courbe représentant la fonction $f$  définie, pour tout $x$ de l'intervalle $[1~;~5]$, par :

%\[ f(x) = 1+ \dfrac{1}{2}x^2  - 4 \ln x.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %$f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$ calculer $f'(x)$.
		$f$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, donc sur $[1~;~5],~f'(x) = \dfrac{1}{2} \times 2x - 4\dfrac{1}{x} = x - \dfrac{4}{x}$.
		\item %Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x}$.
$f'(x)  = x - \dfrac{4}{x} = \dfrac{x^2 - 4}{x} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x}$.  
		\item %En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1 ~;~5].
		Comme $x > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $(x - 2)(x + 2)$ : celui-ci est positif sauf entre entre les racines $-2$ et $2$.
		
Donc $f'(x) < 0$ si $1 \leqslant x < 2$ et $f'(x) > 0$ si $2 < x < 5$  
	\end{enumerate}
\item %Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ~;~5]. 
De la question précédente on déduit que :

Si $1 \leqslant x < 2, ~f$ est décroissante ;

Si $2 < x < 5~f$ est croissante.

D'où le tableau de variations de $f$ :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$}  \uput[u](2.2,2){$1$}  \uput[u](5,2){$2$}  \uput[u](7.8,2){5} \rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.5,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.4,0.3)(7.4,1.7)  
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des résultats arrondis au dixième. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&1,5&2 	&2,5 & 3& 3,5&4&4,5&5\\ \hline 
$f(x)$	&1,5	&0,5	&0,2	&0,5	&1,1	&2,1	&3,5	&5,1	&7,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer $\mathcal{C}_{2}$ avec soin sur la feuille annexe, dans le même repère \Oij.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{PARTIE 3} 

Archibald Nikolaüs veut faire dorer à la feuille d'or la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ les droites d'équation $x = 1$ et $x =5$. 
\begin{enumerate}
\item  %Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie à dorer. 
Voir plus bas.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1 ~;~ 5] par 
%		\[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 -  4x \ln x + 5x\]
%est une primitive de $f$.
$F$ est dérivable sur [1 ~;~ 5] et $F'(x) = 3 \times \dfrac{1}{6}x^2 - 4\ln x - 4x \times \dfrac{1}{x} + 5 = \dfrac{1}{2}x^2 - 4\ln x - 4 + 5 = \dfrac{1}{2}x^2 - 4\ln x + 1 = f(x)$.

$F$ est donc une primitive de $f$ sur [1~;~5].
		\item %En déduire la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x$.
		La fonction $f$ étant positive sur [1~;~5], on sait que l'aire (en unité d'aire) de la surface limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ les droites d'équation $x = 1$ et $x =5$ est égale à l'intégrale :
		
I $ = \displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{1}^5 = F(5) - F(1) = \dfrac{1}{6}5^3 -  4\times 5 \ln 5 + 5 \times 5 - \left(\dfrac{1}{6}1^3 -  4\times 1 \ln 1 + 5\times 1 \right) = \dfrac{125}{6} - 20\ln 5 + 25 - \dfrac{1}{6} - 5 = \dfrac{124}{6} - 20\ln 5 + 20 = \dfrac{62}{3} + 20 - 20\ln 5 = \dfrac{122}{3} - 20\ln 5.$
		\item	%Quelle est l'aire de la partie hachurée ? (On donnera un résultat en unités d'aire, arrondi au dixième).
		L'ai re de la partie hachurée est donc égale à $\dfrac{122}{3} - 20\ln 5 \approx 8,47 \approx 8,5$~(u. a.)	 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.25cm,comma=true}
\begin{pspicture}(9.25,8.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(9,8)
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan]{
\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{5}{x dup mul 2 div 1 add x ln 4 mul sub}
\psline(5,0)(1,0)
}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.5pt,plotpoints=5000]{5}{9}{15 x mul 49 sub x dup mul sub}
\uput[ur](5,1){A} \uput[r](9,5){B}
\uput[u](0.75,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.75){$\vect{\jmath}$}
%\psplot[linecolor=green,linewidth=2pt]{1}{5}{x dup mul 2 div 1 add x ln 4 mul sub} 
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.85cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question numéro	&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
Réponse			&C&A&B&D&C&C&A&D\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{document}