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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P. }
\lhead{\small  Baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat STI Arts appliqués -- Métropole~\decofourright\\septembre 2007}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte. Donner la lettre correspondant à cette réponse sur le tableau de la feuille annexe. Chaque réponse exacte rapporte un point. 

\medskip

\textbf{Question 1}
 
La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-2x}$ admet pour dérivée la fonction  $f'$ définie par $f'(x) = $

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \text{e}^{-2x}$ &B. $\quad 2\text{e}^{-2x}$  & C.$\quad - 2\text{e}^{-2x}$ & D. $\quad - \text{e}^{-2x}$ \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 2} 

L'équation, d'inconnue réelle $x,\:\: \ln x + 2 = 0$ admet pour solution : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \text{e}^{-2}$ &B. $\quad -2$ & C. $\quad -\text{e}^{-2}$& D. $\quad $ aucune \\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Question 3} 

Le nombre $\text{e}^{- \ln 3}$ est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad - 3$ &B. $\quad \dfrac{1}{3}$ & C. $\quad - \dfrac{1}{3}$& D.  $\quad $ n'existe pas\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-3,-2)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3.5,-2.5)(3.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)(0,1)
\uput[ur](3,0){A} \uput[ur](0,2){B} \uput[ul](-3,0){A$'$} \uput[dr](0,-2){B$'$} \uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psellipse[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(3,2)
\end{pspicture}
\end{center} 

La courbe dessinée ci-dessus admet pour équation : 
 
 \medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \dfrac{x^2}{3} + \dfrac{y^2}{2} = 1$ &B. $\quad \dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{4} = 1$ & C. $\quad \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 0$& D.  $\quad \dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 5}
 
Un des foyers de l'ellipse précédente est le point F de coordonnées : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad \text{F}\left(0~;~\sqrt{13}\right)$ &B.  $\quad \text{F}\left(\sqrt{13}~;~0\right)$& C. $\quad \text{F}\left(\sqrt{5}~;~0\right)$& D.  $\quad \text{F}\left(0~;~\sqrt{5}\right)$\\
\end{tabularx}

\medskip

Les trois dernières questions portent sur les données suivantes: 

\medskip
 
Une municipalité propose à ses habitants de choisir entre deux investissements possibles : 

choix X : une médiathèque. 

choix Y : un complexe sportif. 

La municipalité a reçu \np{1000}~fiches réponses de ses électeurs. On a classé les électeurs par tranches d'âge : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
Tranche A : 18 à 30 ans& 	Tranche B : 30 à 50 ans& 	Tranche C : Plus de 50 ans  \\
\end{tabularx}

\medskip
 
Qn a obtenu les résultats suivants : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		&A 		&B 	&C 	&Total \\ \hline
X		&138	&214&172& 524 \\ \hline
Y		&176	&188&112& 476 \\ \hline
Total	&314	&402&284& \np{1000}\\ \hline
 \end{tabularx}
 
\medskip 
 
On tire la fiche d'un électeur au hasard :

\medskip
 
\textbf{Question 6}
 
La probabilité $p$(X) qu'il vote pour X vaut : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,314$ &B. $\quad 0,138$ & C. $\quad 0,524$& D. $\quad \dfrac{524}{476}$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 7}
 
La probabilité $p(\text{B} \cap \text{X})$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,214$ &B. $\quad \dfrac{214}{402}$ & C. $\quad \dfrac{214}{524}$& D. $\quad 0,712$ \\
\end{tabularx}

\medskip
	 
\textbf{Question 8}
 
La probabilité $p(\text{B} \cup \text{X})$ est égale à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
A. $\quad 0,926 $ &B.  0,214$\quad $& C. $\quad \dfrac{214}{524}$& D.  $\quad 0,712 $\\
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

Archibald Nikolaüs veut faire graver et dorer ses initiales $\mathcal{A N}$ sur les volumes reliés de sa bibliothèque. Pour cela, il établit un modèle que l'on a reproduit en partie sur la feuille annexe, dans 
un repère orthonormé \Oij. 

\medskip

\textbf{PARTIE 1}

\medskip

\textbf{Étude d'une première courbe} \boldmath $\mathcal{C}_{1}$ \unboldmath 

\medskip

$\mathcal{C}_{1}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$, définie sur l'intervalle $[5~;~9]$, par 

\[g(x) = - x^2 + b x + c\]

où $b$ et $c$ sont des réels à déterminer.
  
\begin{enumerate}
\item Écrire les conditions que doivent vérifier les réels $b$ et $c$ pour que la courbe $\mathcal{C}_{1}$ passe par les 
points A(5~;~1) et B(9~;~5). 
\item  On admet que $g(x) = - x^2 +15x - 49$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $g'$ la dérivée de la fonction $g$. Calculer $g'(x)$ et étudier son signe. En déduire les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [5~;~9]. 
		\item Déterminer pour quelle valeur de $x$ la fonction $g$ admet un maximum. En déduire les coordonnées du sommet C de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et le placer sur le graphique de la feuille annexe.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE 2}
 
\textbf{Étude et tracé de la courbe} \boldmath $\mathcal{C}_{2}$ \unboldmath 

$\mathcal{C}_{2}$ désigne la courbe représentant la fonction $f$  définie, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~5]$, par :

\[ f(x) = 1 + \dfrac{1}{2}x^2  - 4 \ln x.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désignant la dérivée de la fonction $f$ calculer $f'(x)$.
		\item Vérifier que $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x}$.  
		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~5]. 
	\end{enumerate}
\item Établir le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1 ~;~5]. 
\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant des résultats arrondis au dixième. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&1,5&2 	&2,5&3		&3,5	&4	&4,5&5\\ \hline 
$f(x)$	&	&	&	&	&1,1	&		&	&	&7,1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Tracer $\mathcal{C}_{2}$ avec soin sur la feuille annexe, dans le même repère \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE 3} 

Archibald Nikolaüs veut faire dorer à la feuille d'or la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ les droites d'équation $x = 1$ et $x =5$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Hachurer sur le graphique de la feuille annexe la partie à dorer. 

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [1 ~;~ 5] par 

		\[F(x) = \dfrac{1}{6}x^3 -  4x \ln x + 5x\]

 est une primitive de $f$.
		\item En déduire la valeur exacte de l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^5 f(x)\:\text{d}x$.
		\item Quelle est l'aire de la partie hachurée ? (On donnera un résultat en unités d'aire, arrondi au dixième).	 

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(9.25,8.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(9,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(9.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{5}{9}{15 x mul 49 sub x dup mul sub}
\uput[ur](5,1){A} \uput[r](9,5){B}
\uput[u](0.75,0){$\vect{\imath}$} \uput[r](0,0.75){$\vect{\jmath}$} 
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.85cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question numéro	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8\\ \hline
Réponse			&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}