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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI novembre
 2007~\decofourright\\Génie Mécanique - Génie Énergétique - Génie Civil\\Nouvelle-Calédonie}}
 \end{center}

%\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que  le sujet. Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

%Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est $3$~cm.

%On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

%On considère le point A d'affixe $a = 2$ et le point B d'affixe $b = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$.

\begin{enumerate}
\item  %On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par :
%\[ P(z) = z^2 -\left(2 + \sqrt{2}\right)z + \left(2 + \sqrt{2}\right).\] 
%Déterminer les solutions de l'équation : $P(z) = 0$.
Soit $\Delta = \left(2 + \sqrt{2} \right)^2 - 4 (2 + \sqrt{2}) = 4 + 2  + 4\sqrt{2} - 8 - 4\sqrt{2} = -2 = (2\text{i})^2$.

L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées :

\[z_{1} = \dfrac{2 + \sqrt{2} + 2\text{i}}{2}~\quad \text{et} \quad z_{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2} - 2\text{i}}{2}.\]
%Dans la suite de l'exercice, on note C le point du plan d'affixe $c = \dfrac{2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}{2}$.
On a donc $c = z_{1}$.
\item  %Étude du triangle AOB.
	\begin{enumerate}
		\item  %Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv.
Voir la figure.
		\item  %Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $b$.
$b = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$, donc $|b| = \sqrt{2 + 2} = 2$.

D'où en factorisant le module : $b = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\text{i} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.		
		\item  %En déduire la nature du triangle AOB, ainsi que la mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$.
On a $|a| = \text{OA} = 2 = |b| = \text{OB}$, donc OAB est isocèle en O.

Comme $b = 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = a\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$, on en déduit que B est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$.

Donc $\widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\pi}{4}$.
	 \end{enumerate}
\item  %Étude du triangle AOC.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que C est le milieu du segment [AB].
Le milieu de [AB] a pour affixe $\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}{2} = c$.

Le point C est le milieu du segment [AB].
		\item  %En déduire la nature du triangle AOC, ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{AOC}}$.
Le triangle AOB est isocèle en O et C est le milieu de la base [AB] : [OC] est donc médiane, hauteur, donc AOC est un triangle rectangle rectangle en C.

[OC] est aussi la bissectrice de $\widehat{\text{AOB}}$, donc $\widehat{\text{AOC}} = \dfrac{1}{2}\widehat{\text{AOB}} = \dfrac{\pi}{8}$.
		\item  %En déduire un argument du nombre complexe $c$.
Dans le triangle AOC, on a $|c| = \text{OC} = \text{OA}\cos \widehat{\text{AOC}} = 2\cos \frac{\pi}{8}$.
	 \end{enumerate}
\item  %Calcul de la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  %Démontrer que : $|c| =  \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
Par application du théorème de Pythagore dans le triangle AOC :

$\text{OA}^2 = \text{OC}^2 + \text{CA}^2 \iff 2^2 = |c|^2 + \left|\dfrac{2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}{2} - 2\right|^2 \iff 2^2 = |c|^2 + \left|\dfrac{-2 + \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}{2}\right|^2 \iff 4 = |c|^2  + \dfrac{4 + 2 - 4\sqrt{2} + 2}{4} \iff |c|^2 = \dfrac{16 - 8 + 4\sqrt{2}}{4} = \dfrac{8 + 4\sqrt{2}}{4} = 2 + \sqrt{2}$.

Donc $|c| = \sqrt{2 + \sqrt{2}}$.
		\item  %Déduire des questions précédentes que $\cos \left(\dfrac{\pi}{8}\right)	= \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
Des résultats obtenus au 3. c. et au 4. a. on déduit :

$|c| = 2\cos \dfrac{\pi}{8} = \sqrt{2 + \sqrt{2}} \Rightarrow \cos \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=3cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(2,0)(1.414,1.414)(1.707,0.707)%ABC
\pspolygon(0,0)(2,0)(1.414,1.414) \psline(0,0)(1.707,0.707)
\uput[ur](2,0){A} \uput[u](1.414,1.414){B} \uput[ur](1.707,0.707){C}
\rput{22.5}(1.707,0.707){\psframe(0,0)(-0.15,0.15)} 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm} 

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

%Une entreprise produit en série des objets qu'elle destine à la vente. Ces objets peuvent présenter deux types de défauts :

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  le défaut S de nature esthétique ;
%\item[$\bullet~$]  le défaut F de fonctionnement.
%\end{itemize}

% Un objet est déclaré parfait s'il ne présente aucun des deux défauts.
\begin{enumerate}
\item  %On prélève un lot de $200$~objets sur la production et on constate que : 
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] le défaut S est observé sur 16 objets ;
%\item[$\bullet~$] le défaut F est observé sur 12 objets;
%\item[$\bullet~$] 180 objets sont déclarés parfaits.
%\end{itemize}

%Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}	&Avec le défaut F&	Sans le défaut F	&	Total\\ \hline
Avec le défaut S			&8			&8					&	16\\ \hline
Sans le défaut S			&4			&180				&184 \\ \hline
Total					&12				&188				&		200\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%On admet que la répartition des deux types de défauts, observée dans le lot de $200$~objets prélevés, reflète celle de l'ensemble de la production. On admet également que tout objet produit est vendu. On sait en outre que le coût de fabrication d'un objet est de $200$~\euro.
\item %Dans cette question, le prix de vente de l'objet est fixé à $250$~\euro.

%Si l'objet présente le seul défaut S, l'entreprise accorde au client une réduction de 15\:\% du prix.

%Si l'objet présente le seul défaut F, l'entreprise réalise les réparations, à ses frais, pour un coût de $45$~\euro.

%Si l'objet présente les deux défauts, l'entreprise réalise les réparations, à ses frais, pour un coût de $58$~\euro.

%On note X la variable aléatoire qui, à chaque objet choisi au hasard dans la production, associe le bénéfice algébrique, en euro, réalisé par l'entreprise à la vente de cet objet.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier le fait que X prend les valeurs (exprimées en euro) : 50 ; 12,50 ; 5 et $- 8$.
Si l'objet présente le seul défaut S, le prix de vente est ramené à : $250 \times 0,85 = 212,50$~\euro ; dans ce cas le bénéfice est égal à $212,50 - 2100 = 12,50$.

Si l'objet présente le seul défaut F, le bénéfice est égal à $250 - 245 = 5$~\euro ;

Si l'objet présente les deux défauts, perte est égale à $250 - 258 = 8$ ce qui correspond à X $ = -8$ ;

Enfin si l'objet est parfait le bénéfice est égal à $250 - 200 = 50$~\euro.
		\item 	%Démontrer que la probabilité pour qu'un objet présente le seul défaut S est $0,04$.
Il y a en moyenne 8 objets avec le seul défaut S ; la probabilité de tomber sur un tel objet est donc égale à $\dfrac{8}{200} = \dfrac{4}{100} = 0,04.$
		\item 	%Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X (On pourra représenter les résultats dans un tableau.)
De même la probabilité de tirer un objet avec le seul défaut F est égale à $\dfrac{4}{200} = \dfrac{2}{100} = 0,02$, la probabilité de tirer un objet avec les deux défauts est égale à $\dfrac{8}{200} = \dfrac{4}{100} = 0,04.$

Enfin la probabilité de tirer un objet parfait est égale à $\dfrac{180}{200} = \dfrac{90}{100} = 0,9.$ D'où le tableau :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&50&12,50&5&$-8$  \\ \hline
$p\left(X = x_{i}\right)$&0,9&0,04&0,02&0,04  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item 	%Calculer l'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. Que représente E(X) pour l'entreprise ?
E(X) $ = 50 \times 0,9 + 12,5 \times 0,04 + 5 \times 0,02  - 8 \times 0,04 = 45 + 0,5 + 0,1 - 0,32 = 45,6 - 0,32 = 45,28$~\euro.

Cette espérance représente, pour un grand nombre d'objets vendus, la moyenne du bénéfice sur chaque vente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

%Le plan est rapporté au repère orthogonal \Oij.

%(Unités graphiques : $3$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée).

\textbf{I. Résolution d'une équation différentielle}

%On note (E) l'équation différentielle : 
%\[y'+y = 3\text{e}^{-x} + x +  1\]
%où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\begin{enumerate}
\item %Résoudre l'équation différentielle : $y'+ y = 0$.
On sait que les solutions sont de la forme $y = K\text{e}^{-x},~K \in \R$.
\item  %Vérifier que la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) =  3x\text{e}^{-x} +x$, est une solution de l'équation différentielle.
La fonction $u$ est dérivable sur $\R$ et $u'(x) = 3\text{e}^{-x} - 3x\text{e}^{-x} + 1$.

$u' + u = 3\text{e}^{-x} - 3x\text{e}^{-x} + 1 + 3x\text{e}^{-x} + x = 3\text{e}^{-x} + x + 1$, donc $u$ est une solution de (E).

\item %On admet que toute solution $f$ de l'équation (E) est de la forme $f(x) = u(x) + C\text{e}^{-x}$ où $C$ est une constante réelle et $u$ la fonction définie à la question 2. 

%Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) telle que : $f(0) = 2$.
Avec $f(x) = 3\text{e}^{-x} + x +  1 + C\text{e}^{-x}$, $f(0) = 2 \iff 3\text{e}^{-0} + 0 +  1 + C\text{e}^{-0} = 2 \iff 4 + C = 2 \iff C = - 2$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II. Étude d'une fonction auxiliaire \boldmath $g$ \unboldmath}

%On note $g$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : 
%\[g(x) =  \text{e}^{-x}(- 3x + 1) + 1.\]
\begin{enumerate}
\item  %Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
$g$ est dérivable sur $\R$ et 

$g'(x) = - \text{e}^{-x}(- 3x + 1) - 3\text{e}^{-x} = \text{e}^{-x}(3x - 4)$.
\item  %Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$, et dresser le tableau de variations (On ne demande pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$.)
Comme $\text{e}^{-x} > 0$ quel que soit le réel $x$, $g'(x)$ est du signe de $(3x - 4)$.

Or $3x - 4 > 0 \iff 3x > 4 \iff x  > \dfrac{4}{3} $.

Conclusion : sur $\left]\dfrac{4}{3}~;~+ \infty\right[,~ g$ est croissante et de la même façon sur $\left]-\infty~;~\dfrac{4}{3}\right[,~g$ est décroissante. D'où le tableau de variations :

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](5,2){$\frac{4}{3}$} \uput[u](7.5,2){$+ \infty$} 
\rput(1,1){$g(x)$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.5,0.3)\psline{->}(5.4,0.3)(7.7,1.7) 
\end{pspicture}
\end{center}
\item  %Calculer $g\left(\dfrac{4}{3}\right)$ et en déduire le signe de la fonction $g$ sur $\R$.
$g\left(\dfrac{4}{3}\right) = \text{e}^{-\frac{4}{3}}\left(- 3\times \frac{4}{3} + 1\right) + 1 = -3\text{e}^{-\frac{4}{3}} + 1 \approx 0,21 > 0$.

Le minimum de la fonction étant supérieur à zéro, on peut en déduire que la fonction $g$ est positive non nulle sur $\R$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
 
\textbf{III. Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath déterminée en I.}

%On rappelle que $f$ est définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
% \[ f(x) =  \text{e}^{-x}(3x + 2)+ x.\]
%On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le repère orthogonal \Oij.
\begin{enumerate}
\item  Étude des limites.
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
$f(x) =  3x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x} + x$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0, \quad \displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ ; donc :

\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.\]
		\item %Déterminer la limite de $f$ en  $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = - \infty$ et comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x = - \infty$, par somme des limites 

\[\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty.\]
	\end{enumerate}
\item   Étude des variations de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$, et démontrer que, pour tout réel $x :  f'(x) = g(x)$.
$f$ est une somme de produits de fonctions dérivables sur $\R$, donc $f'(x) = - \text{e}^{-x}(3x + 2) + 3\text{e}^{-x} + 1 = \text{e}^{-x}(-3x -  2 + 3) + 1 = \text{e}^{-x}(- 3x + 1) + 1 = g(x)$.
		\item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
On a vu que pour tout réel, $g(x) > 0$, donc la positivité de $f'(x)$ entraîne la croissance sur $\R$ de la fonction $f$. D'où le tableau de variations :

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(6,3)
\psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2){$x$} \uput[u](2.4,2){$-\infty$} \uput[u](5.5,2){$+ \infty$} 
\rput(1,1){$f(x)$}
\psline{->}(2.7,0.3)(5.3,1.7)
\uput[u](2.4,0){$-\infty$} \uput[d](5.6,2){$+ \infty$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item  %Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$  est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$, et préciser la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$. (On notera A leur point d'intersection.)
On a $f(x) - x = \text{e}^{-x}(3x + 2)+ x - x = \text{e}^{-x}(3x + 2)$ et on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x}(3x + 2) = 0$, ce qui montre que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$.

La position de $\mathcal{C}$ par rapport à $\mathcal{D}$ est donnée par le signe de la différence $f(x) - x =  \text{e}^{-x}(3x + 2)$.

Donc si $x < - \dfrac{2}{3}$, $\mathcal{C}$ est au dessous de  $\mathcal{D}$ et si $x > - \dfrac{2}{3}$, $\mathcal{C}$ est au dessus de  $\mathcal{D}$.

Le point commun A a pour abscisse $- \dfrac{2}{3}$.
\item  %Déterminer l'abscisse du point B de la courbe $\mathcal{C}$ où la tangente $\mathcal{T}$ est parallèle à la droite $\mathcal{D}$.
La droite $\mathcal{D}$ a un coefficient directeur égal à $1$. Il faut donc trouver le(s) point(s) de $\mathcal{D}$ où le nombre dérivé de $f$ est égal à $1$, soit :

$f'(x) = 1 \iff g(x) = 1 \iff \text{e}^{-x}(- 3x + 1) + 1 = 1 \iff \text{e}^{-x}(- 3x + 1) = 0 \iff -3x + 1 = 0 \iff \dfrac{1}{3} = x$.

Le seul point de $\mathcal{C}$ où la tangente a un coefficient directeur égal à $1$ est le point d'abscisse $\dfrac{1}{3}$.
\item  %Tracer, dans le repère \Oij, les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{T}$. Placer les points A et B puis tracer la courbe $\mathcal{C}$.
 \end{enumerate}
\medskip
\psset{xunit=3cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(3,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,-1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dr](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed](0.3333,0)(0.3333,2.48293)
\uput[l](-0.6667,-0.6667){A}\uput[dr](0.3333,2.48293){B}
\psline{<->}(0.0003,2.18293)(0.6333,2.78293)
\psline(-1,-1)(3,3)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue]{-0.72}{3}{x 3 mul 2 add 2.71828 x exp div x add}
\uput[d](3,3){$\mathcal{D}$}\uput[u](3,3.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center} 
\medskip

\textbf{IV. Calcul d'une aire}

\begin{enumerate}
\item  %Démontrer que la fonction $F$, définie sur $\R$ par :

%\[F(x) = -f(x)  - 3\text{e}^{-x} + \dfrac{x^2}{2} + x,\]
%est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
$F$ est dérivable sur $\R$ et $F'(x) = - f'(x) + 3\text{e}^{-x} + x + 1 = - g(x) + 3\text{e}^{-x} + x + 1 = -\text{e}^{-x}(- 3x + 1) - 1 + 3\text{e}^{-x} + x + 1 = 3x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} + 3\text{e}^{-x} + x = 3x\text{e}^{-x} + 2\text{e}^{-x} + x = (3x + 2)\text{e}^{-x} + x  = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de la fonction $f$.
\item  %En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$, et l'axe des abscisses. (On donnera un résultat arrondi au mm$^2$.)
On a vu que sur [0~;~1], la fonction $f$ est croissante ; comme $f(0) = 2$, on en déduit que sur [0~;~1], la fonction $f$ est positive.

Conclusion : l'aire (en unité d'aire) de la surface limitée par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale :

$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0}^1 = F(1) - F(0) = -f(1)  - 3\text{e}^{-1} + \dfrac{1^2}{2}+ 1 - (-f(0)  - 3\text{e}^{-0} + \dfrac{0^2}{2}+ 0) = - 5\text{e}^{-1} - 1 - 3\text{e}^{-1} + \dfrac{1}{2} + 1  + 2 + 3 = \dfrac{11}{2} - 8\text{e}^{-1}$~(u. a.).

Comme l'unité d'aire est égale à $3 \times 1 = 3$~cm$^2$
l'aire est égale à $3\left(\dfrac{11}{2} - 8\text{e}^{-1} \right) =  \dfrac{33}{2} - 24\text{e}^{-1} \approx 7,670 \approx 7,67$~cm$^2$ au mm$^2$ près.
\end{enumerate}
\end{document}