\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{eurosym}
\usepackage{pstricks,pst-plot}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\textheight}{23.5cm}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Baccalauréat STI Génie électronique, génie électrotechnique, génie optique}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI Novembre
 2007~\decofourright\\Génie électronique, électrotechnique, optique\\Nouvelle-Calédonie}}
\end{center}

\emph{Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même  temps que le sujet.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité $4$~cm).

On considère les trois nombres complexes suivants :

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X c >{\centering \arraybackslash}X}
$z_{1} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$&;&$z_{2} = 1 - \text{i}$&;& $z_{3} = \dfrac{z_{1}}{z_{2}}$.\\
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  Écrire  $z_{2}$ sous forme exponentielle.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Écrire $z_{3}$ sous forme exponentielle.
		\item  En déduire que 	$z_{3} = \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En remarquant que $z_{1} = z_{2} \times  z_{3}$, donner l'écriture de $z_{1}$ sous forme algébrique,
		\item  En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C d'affixes respectives $z_{1},~ z_{2}$ et $z_{3}$.
		\item  On désigne par I le point d'affixe $1$.
		
Placer le point I et préciser la nature du triangle OIB.
	\end{enumerate}
\item  On désigne par $R$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{3}.$
	\begin{enumerate}
		\item  Quelles sont les images respectives des points I et B par $R$ ?
		\item  En déduire la nature du triangle OAC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points}

\medskip

Lors d'une fête, le comité d'organisation a prévu une animation qui consiste à lancer un dé parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.

La partie est organisée selon les règles suivantes :
 
On mise $3$~euros puis on lance le dé ;

\begin{itemize}
\item  pour la sortie du 6, on reçoit $10$~euros ; 
\item  pour la sortie du 5, on reçoit $4$~euros ;
\item  pour la sortie du 4, on reçoit $1$~euro ;
\item  dans les autres cas on ne reçoit rien.
\end{itemize}

On appelle gain algébrique d'une partie la différence entre la somme reçue et la mise initiale.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item  On note $X$ la variable aléatoire qui à l'issue d'une partie associe le gain algébrique.
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les valeurs prises par $X$ ?
\item  Établir la loi de probabilité de $X$.
\item  Calculer l'espérance mathématique E($X$).
\item  Le comité d'organisation prévoit la réalisation de $150$ parties réalisées lors de cette fête.

Quelle bénéfice peut-il espérer tirer de ce jeu ?
\end{enumerate}
\item  Un joueur se présente, il dispose de $4$~euros.

Déterminer la probabilité $P$ que ce joueur puisse jouer deux parties.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le comité d'organisation a décidé en dernière minute de rendre ce jeu équitable.

 La règle du jeu reste identique, seule la mise est changée.
 
Déterminer cette nouvelle mise $x$ qui rend le jeu équitable.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$  par 

\[f(x) = \text{e}^{-x} +2x - 2.\]

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

Cette courbe est donnée sur la feuille annexe.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item  Montrer que la droite $(D)$ d'équation $y = 2x - 2$ est asymptote à la courbe $(\mathcal{C})$ en $+ \infty$.
	 \end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer  que pour tout réel $x$ on a l'égalité suivante : \[f(x) = \text{e}^{-x}\left(1 + 2x\text{e}^x - 2\text{e}^x\right).\]
		\item  En déduire $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ (on utilisera le fait que  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$).
	\end{enumerate}
\item   Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $f'(x)$ et montrer que pour tout réel $x,~ f'(x) = \dfrac{2\text{e}^x - 1}{\text{e}^x}$.
		
En déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~1].

Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ :
\item On considère le point A de la courbe $(\mathcal{C})$ d'abscisse $- \ln 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'ordonnée du point A.
		\item On note ($T$)la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.
		
Montrer que le coefficient directeur de la droite ($T$) vaut $-1$.
	\end{enumerate}
\item  Sur le graphique donné (feuille annexe), tracer les droites ($D$) et($T$).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = -\text{e}^x + x^2 - 2x\]

 est une primitive de $f$ sur $\R$.
\item Soit ($\mathcal{E}$) le domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$.

Hachurer le domaine ($\mathcal{E}$).
Soit ($\mathcal{A}$) l'aire du domaine ($\mathcal{E}$) en unités d'aire, calculer la valeur exacte de ($\mathcal{A}$).

Donner une valeur approchée de ($\mathcal{A}$) à $10^{2}$ près.
\item  Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $f$ sur [1 ; 3]. Interpréter graphiquement cette valeur.
\end{enumerate}
 
\newpage
 
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie} \end{center}
 
\bigskip  \bigskip  \bigskip
 
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(6,6)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-4,-3)(6,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-3)(6,6)
\uput[dl](0,0){O} \psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(1,0) 
\psline[linewidth=1.75pt]{->}(0,0)(0,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{-2.58}{3.98}{2.71828 x neg exp x 2 mul add 2 sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document} 